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RISIKO MANAGER 23.2015

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8 Ausgabe 23/2015

8 Ausgabe 23/2015 schiedene Anpassungsmethoden sowohl für einjährige als auch für mehrjährige PDs diskutiert und auf Basis praktischer Erfahrung gegenübergestellt sowie bewertet. Es ist jedoch zu beachten, dass eine Anpassung der einjährigen PDs in der Regel dann nicht notwendig sein wird, wenn die bestehenden Ratingmodelle bereits den konjunkturellen Status quo und Ausblick entsprechend in der Zwölf-Monats-PD-Schätzung reflektieren. Grundidee der Anpassung der PD Grundidee der makroökonomischen Anpassung der PDs DR & PD Rating implizierte Portfolio PD Portfolio Ausfallrate (DR) Langfristige durchschnittliche Portfolio Ausfallrate = Central Tendency Konjunkturelle Abhängigkeit des Ratingmodells für den Zwölf-Monats-Zeitraum nach Bilanzstichtag geschätzte Ausfallrate 1 2 3 4 5 6 7 Bilanzstichtag t Abb. 01 Point-in-time (PIT) Anpassung Zeit Für die nachfolgenden Ansätze werden stets die folgenden Voraussetzungen angenommen: 1. Vorhandenen Zwölf-Monats-PD-Schätzungen entsprechen bis auf die im vorigen Kapitel aufgezählten Aspekte bereits grundsätzlich den IFRS-9-Anforderungen. 2. Makroökonomische Informationen haben eine weitestgehend gleichmäßige Auswirkung auf homogene Teilportfolios (später vereinfacht als „Portfolio“ bezeichnet). 3. Verwendbare Modelle zur Prognose von zukünftigen Ausfallraten (Default Rate, DR) in Abhängigkeit von Ausprägungen makroökonomischer Variablen auf Ebene von Portfolios liegen bereits vor (z. B. für den Stresstest [Anm.: Hierbei ist zu beachten, dass diese Prognosemodelle auch für den erwarteten Konjunkturverlauf („Base case“) und nicht nur für Extremsituationen sinnvolle Ergebnisse liefern müssen]) oder können zumindest entwickelt werden. 4. Es liegen Erwartungswertprognosen für die im DR-Modell verwendeten makroökonomischen Parameter für einen institutsspezifisch definierten Zeitraum vor, die typischerweise auch für die Geschäftsplanung und -steuerung herangezogen werden. Unter diesen Voraussetzungen ist in Banken mit bestehenden Ratingmodellen über das DR-Prognosemodell bereits der passende Zielwert für das Portfolio gegeben, dem die durchschnittliche IFRS-9-PD des Portfolios möglichst genau entsprechen sollte. [Zur Abgrenzung: Mit (Portfolio-)DR wird die empirisch beobachtete Ausfallrate im Portfolio für eine definierte (regelmäßig zwölf Monate lange) Periode bezeichnet (nämlich für alle nicht ausgefallenen Kreditnehmer am Anfang der Periode im Portfolio das Verhältnis der Anzahl derer Ausfälle innerhalb der Periode zu deren gesamter Anzahl) und mit (Portfolio-)PD wird die zum Beginn der Periode geschätzte mittlere Zwölf-Monats-Ausfallwahrscheinlichkeit des gesamten Portfolios bezeichnet.] Hierfür ist festzu legen, wie die PDs der einzelnen Trans ak tionen anzupassen sind, damit dieser Zielwert erreicht wird. Dabei ist zu berücksichtigen, dass auch die bestehenden Ratingmodelle typischerweise bereits eine Konjunkturabhängigkeit in unterschied lichen Intensitäten zeigen. Es ist daher für jedes Portfolio zunächst notwendig, die Zusammenhänge zwischen Basel-PDs und Ausfallraten über die Zeit zu analysieren. t Abb. 01 stellt die zu erwartenden Zusammenhänge schematisch und vereinfacht unter der Voraussetzung eines leicht konjunkturabhängigen PD-Modells ohne Sicherheitsaufschlag dar. Die rote Kurve in t Abb. 01 repräsentiert den Verlauf der Portfolio-DR über die Zeit. Die DRs weisen typischerweise eine erkennbare konjunkturelle Abhängigkeit auf und schwanken demgemäß zeitlich. Die graue Kurve repräsentiert den Verlauf der rating-implizierten durchschnittlichen Portfolio-PD (ohne Konjunkturanpassung, nachfolgend kurz „Portfolio-PD“) über die Zeit. Wie oben beschrieben sind die Basel- Ratingmodelle auf das langfristige Durchschnittsniveau der Portfolio-Ausfallraten kalibriert und berücksichtigen darüber hinaus in der Regel meistens keine makroökonomischen oder andere stärker zukunftsgerichteten Informationen. Dadurch schwanken die Basel-PDs regelmäßig weniger als die DRs. Ziel ist es nun, am jeweiligen Bilanzstichtag die Basel-PDs so anzupassen, dass die Portfolio-PD der für die nächsten zwölf Monate prognostizierten Portfolio-DR entspricht. Diese Anpassung wird häufig als Point-in-time (PIT)-Anpassung bezeichnet. Die für zukünftige Perioden prognostizierten DRs (die gestrichelte grüne Kurve) können somit verwendet werden, um die PIT-Anpassung der mehrjährigen PDs durchzuführen und damit die über das DR-Prognosemodell integrierte „Forward Looking Information“ zu berücksichtigen. Anpassung der einjährigen PD Im Folgenden werden vier PIT-Anpassungsmethoden hinsichtlich der schuldnerspezifischen PDs vorgestellt – der variable Skalaransatz (VSA), der Bayes’sche Skalaransatz (BSA), der Ankerpunkt-Ansatz (APA) und der Vasicek-Ansatz (VSKA). Ein gemeinsamer Inputfaktor dieser Ansätze ist die für die nächsten zwölf Monate prognostizierte Portfolio-DR. Die PIT-Anpassung erfolgt in zwei Schritten. Im ersten Schritt wird sichergestellt, dass jegliche Ratingklassen-übergreifenden Sicherheitszuschläge, die während der Kalibrierung des Basel-Ratingsystems angewandt worden sind, entfernt werden. Um dieses Ziel zu erfüllen, bietet sich die Verwendung der mittels des Lifetime-PD-Modells für t = 1 geschätzten PD als Basis für die PIT-Anpassung anstelle der Basel-PDs an. Die Lifetime PDs für t = 1 sind häufig so kalibriert, dass sie (vor Sicherheitsaufschlägen) die langzeitdurchschnittliche DR des Portfolios widerspiegeln und werden auch zumeist gegen diese validiert. Damit gewährleistet der erste Schritt, dass die PDs, die als Basis für die PIT-Anpassung dienen (nachfolgend „Basis-PDs“), nicht nur keine Sicherheitsaufschläge mehr enthalten, sondern auch einen Langzeitdurchschnitt widerspiegeln und damit auch die konsistente Anwen-

9 dung dieser Ansätze für mehrjährige PDs erleichtern. Mit dem zweiten Schritt der PIT-Anpassung, der nachfolgend für die vier verschiedenen Ansätze vorgestellt wird, wird das Ziel verfolgt, die Basis-PDs auf die erwartete Ausfallrate des folgenden Jahres zu skalieren. Der VSA (vgl. Financial Services Authority, 2006) basiert auf einer linearen Skalierung der schuldnerspezifischen PDs, welche sich durch das Verhältnis zwischen der prognostizierten Portfolio-DR und der Portfolio-PD ergibt (t Gleichung 02). Dabei bezeichnet (. ) bzw. –1 (. ) jeweils die kumulative bzw. die inverse kumulative Standardnormalverteilung, t die aktuelle Realisierung des normalverteilten systematischen Faktors,steht für die Asset-Korrelation, und beschreibt die schuldnerspezifischen Basis-PDs, die hier dann eigentlich vollständig throughthe-cycle sein müssten. Das noch von der aktuellen Portfolio-Ausfallrate abhängende t und das zeitlich konstante werden mithilfe eines Momentenschätzers aus der historischen Zeitreihe der Ausfallraten im Portfolio abgeleitet. Carlehed und Petrov (2012) etwa beschreiben das VSKA-Modell ausführlich und schlagen eine Erweiterung für Ratingsysteme vor, die nicht vollständig throughthe-cycle sind. Eine sinnvolle Parametrisierung des VSKA-Modells setzt die Verfügbarkeit von DRs und PDs über einen sehr langen Zeitraum voraus. Darüber hinaus werden im Modell zahlreiche Annahmen gemacht, die für bankinterne Portfolios nur selten erfüllt sind, wie die Normalverteilung des systematischen Faktors, die Unabhängigkeit der Jahres-DRs oder die zeitlich konstante Zusammensetzung des Portfolios. Folglich weist das VSKA-Modell in der praktischen Anwendung häufig tendenziell instabile Ergebnisse auf. Nachfolgend sollen die Ansätze zur PIT- Anpassung auf Basis ausgewählter qualitativer und quantitativer Kriterien bewertet werden. Hierfür wurden die vier Ansätze zur PIT-Anpassung sowohl auf bankinternen Retail- und Corporates-Portfolios als auch auf externen S&P-Daten (für globale Unternehmen) getestet. [Bei den genannten Portfolien handelte es sich um Portfolien mit statistisch relativ stabilen Ausfallt Gleichung 02 Dabei stellt die für das kommende Jahr vorhergesagte Portfolio-DR dar, repräsentiert die Portfolio- Basis-PD, sind die schuldnerspezifischen Basis-PDs, und steht für PITangepasste schuldnerspezifische PDs. Ein Nachteil des VSA ist, dass die PIT- PDs nicht auf 100 Prozent begrenzt sind und dass in diesen Fällen eine angemessene Obergrenze gewählt werden muss. Des Weiteren stellt die Verwendung des gleichen Skalierungsfaktors auf das gesamte Portfolio auch eine erhebliche Vereinfachung dar. Eine direkte Folge dessen ist die tendenzielle Unter- bzw. Überschätzung der DRs für schlechte Ratingklassen in Phasen des Ab- bzw. des Aufschwungs. Das Problem der Unbegrenztheit des VSA wird beim BSA behoben. Außerdem bietet der BSA eine individuelle Anpassung der schuldnerspezifischen Basis-PDs und ist somit auch grundsätzlich besser geeignet als der VSA, PDs in schlechten Ratingklassen zu skalieren. Dies resultiert daraus, dass im Gegensatz zu der einfachen linearen Skalierung beim VSA der BSA sich aus Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung ableitet. Der Satz von Bayes wird dabei verwendet, um über eine gemeinsame invariante Wahrscheinlichkeitsgröße den Zusammenhang zwischen Basis-PDs und PIT-PDs herzuleiten (t Gleichung 03). Gemäß dem Satz von Bayes ergibt sich folgende Relation der Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis Ausfall (‚D‘) und für das Vorliegen eines bestimmten Scores (‚s‘) für einen Schuldner . Mithilfe des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeiten (angewendet auf wird diese Relation umgeformt und jeweils für sowie formuliert. Unter der Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit für einen ausgefallenen bzw. nicht aus ge fallenen Schuldner, einen bestimmten Score zu besitzen, bzw. invariant ist bei Übergang in ein PIT-PD-Szenario, lässt sich aus beiden Relationen in wenigen Schritten t Gleichung 03 ableiten, wenn man beachtet, dass bzw. die jeweilige Portfolio-Größe bzw. repräsentiert. Der APA wird in drei Schritten durchgeführt: 1. Analyse der bestehenden Kalibrierung, um festzustellen, in welcher Phase die Adjustierung der Scores auf einen zuvor festgelegten Zielwert („Ankerpunkt“ – in Basel PDs meist die sogenannte Zentraltendenz bzw. CT) für die Portfolio-PD stattfindet. 2. Der Zielwert wird durch die prognostizierte Portfolio-DR des nächsten Jahres ersetzt und die Kalibrierungsfunktion neu berechnet. Für die neue Berechnung der Kalibrierungsfunktion werden die Daten, welche bereits für die Schätzung der Basel-Kalibrierungsfunktion genutzt wurden, verwendet und ggf. über die zuvor genannte Bayes- Formel (t Gleichung 03) auf den neuen Zielwert ausgerichtet (wenn dies die etablierte Vorgehensweise in der Basel- Kalibrierung ist). 3. Anschließend wird durch ein geeignetes Optimierungsverfahren die Kalibrierungsfunktion so parametrisiert, dass die Abweichung der kalibrierten PDs zu einerseits dem Zielwert (DR-Prognose) und andererseits den (neuausgerichteten) DRs der einzelnen Ratingklassen möglichst gering wird. Die Verfügbarkeit von Scores in den Systemen sowie ein gutes Verständnis der Kalibrierung bilden somit Grundvoraussetzungen t Gleichung 03 für die korrekte Implementierung des APA-Verfahrens. Der VSKA basiert auf einer asymptotischen Version des einfaktoriellen Vasicek- Modells (Vasicek Single-Factor-Model). In der Grundidee des VSKA wird die bedingte PD des Vasicek-Ansatzes als PIT-PD interpretiert und diese aus der aktuellen Ausprägung des systematischen Faktors, der Asset-Korrelation und den Basis-PDs berechnet (t Gleichung 04). t Gleichung 04

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