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RISIKO MANAGER 23.2015

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32 Ausgabe 23/2015 für

32 Ausgabe 23/2015 für eine Longposition (Kauf, Derivat) für eine Shortposition (Vorverkauf, Derivat) t Gleichung 01 t Gleichung 02 t Gleichung 03 t Gleichung 04 Hierfür sind aus der Menge der vorhandenen einzelnen Aktien im Index möglichst solche auszuwählen, die ein möglichst großes L,t bei den Longpositionen und ein möglichst kleines S,t bei den Shortpositionen aufweisen [Zur Bedeutung der Alpha vgl. Scholtz 2005a S. 201- 206, Scholtz 2006 S.165-171, Frazzini/Kabiller 2013]. Da das Risiko in einem Portfolio dieser Art diversifiziert werden soll, genügt es nicht, nur zwei Anlagen i=L und i=S in ein solches Portfolio einzubeziehen. Vielmehr wird man für die Longpositionen i=1 .. k Investments i und für die Shortpositionen i=k+1....n Investments i in das Portfolio aufnehmen. Bei einem solchen Portfolio nimmt dann die Gesamtvolatilität ab, da sich die Auf- und Abwärtsbewegungen der einzelnen Kurse der Investments im Zeitablauf teilweise aufheben. Im Vergleich zu Einzelanlagen kann sich damit das Gesamtrisiko des Mix erheblich mindern. Frage ist nun, wie sich der gewünschte Mix berechnen lässt, sodass unter Berücksichtigung der Kovarianzen zwischen den Einzelinvestments das Portfolio optimal ist. Oder anders formuliert, wie kann man den Erwartungswert der Rendite maximieren, die Marktkomponente eliminieren und gleichzeitig die Varianz minimieren? Berechnung eines optimalen Portfoliomix • (R mu,t –r f,t ) kennzeichnet die Überrendite der Rendite des allgemeinen Markts über der risikofreien Rendite bei einem mit der Wahrscheinlichkeit p steigenden oder gleich bleibenden Index des Markts (u entspricht up). • (R md,t –r f,t ) kennzeichnet die Überrendite bzw. den Verlust abzüglich der risikofreien Rendite bei einem mit der Wahrscheinlichkeit q fallenden Index des allgemeinen Markts (d entspricht down). • e i,t ist die Errorkomponente einer einzelnen Anlage i im Zeitraum t. • p,q Wahrscheinlichkeit, dass der allgemeine Markt ansteigt bzw. gleich bleibt (p) oder abfällt (q). Betrachtet sei nun wie oben angegeben unter Weglassung von r f,t die Rendite eines Portfolios x, in dem eine Anlage gekauft wird, mit Suffix L wie long, und eine weitere Anlage, mit Suffix S wie short, gleichzeitig vorverkauft wird, vgl. t Gleichung 01 [vgl. Jegadeesh 1993, S. 65-91, Haugen1997, S. 267-287, Rouwenhorst 1998, S. 267-284, Moskowitz/Grinblatt 1999, S. 1249-1290, Hong/Lim/Stein 2000, S. 265-296, Scholtz 2008] mit den Renditen der Einzelinvestments (vgl. t Gleichung 02, t Gleichung 03). Es ergibt sich dann durch den Mix beider Positionen die Rendite eines Portfolios (vgl. t Gleichung 04). Gelingt es nun, durch die Optimierung die Summen der positiven und negativen ß und die Summen der positiven und negativen in den Klammern der letzten Gleichung für R x,t Null zu setzen, dann folgt für die Rendite des Portfolios x die t Gleichung 05. t Gleichung 05 Die Berechnung zielt wie oben angegeben darauf ab, die Differenz der i,t bzw. der Teilmengen der Longpositionen und Shortpositionen L,t – S,t zu maximieren und gleichzeitig die Streuung zu minimieren. Gleichzeitig ist dabei die Marktkomponente zu eliminieren. Die Vorgehensweise braucht an dieser Stelle nicht im Einzelnen dargestellt zu werden [vgl. hierzu vertiefend Scholz 2008, vgl. insbesondere die dort gezeigten t Gleichung 05 bis t Gleichung 14]. Ein Unterschied wird hier insoweit berücksichtigt, dass hier nicht die Differenzen der Renditen R i,t , sondern der Driften i,t maximiert werden. Weiterhin werden hier die Teilmengen der positiven Kursentwicklungen des Index und der negativen Kursentwicklungen des Index jeweils getrennt in die Berechnungen einbezogen. Für die Optimierung des Portfolios ergibt sich somit die folgende t Gleichung 06 [zur Maximierung der Renditen beziehungsweise der Differenz der beiden Verteilungen der Alpha nach t Gleichung 05 mit Hilfe der Differenzialrechnung vgl. unter anderem Linder 1964, S. 238-246]. Die Gewichtung W i der einzelnen Investments i ... n im Mix spiegelt t Gleichung 06 wider. für i =1...n, t Gleichung 06 wobei die W i im Mix für das gefragte Portfolio x noch zu normieren sind, sodass die absolute Summe der Anteile 1 oder 100 Prozent ergibt. In der t Gleichung 06 ist V ei gemäß t Gleichung 07 definiert.

33 für i =1...n, mit: V ei Residualvarianz eines Investments i, V i Varianz eines Investments i, V Ru Varianz der Teilmenge der ansteigenden oder gleich bleibenden Kurse des Marktindex, V Ru Varianz der Teilmenge der abfallenden Kurse des Marktindex C 1 und C 2 sind in t Gleichung 08 sowie t Gleichung 09 definiert. für i=1...n für i=1...n. Der gefragte Anteil X i eines Investments i im gesamten Mix berechnet sich dann aus der Gleichung für das gesamte Portfolio (vgl. t Gleichung 10): für i=1...n. t Gleichung 07 t Gleichung 08 t Gleichung 09 t Gleichung 10 Es ist nun interessant, wie ein solcher Ansatz in die Praxis umzusetzen ist. Vergleich der Kursentwicklungen von Index und Portfolio In die Berechnungen eines optimalen Mix fließen nun nicht nur die oben angeführten mathematischen Lösungsformeln ein. Vorab ist das Vorgehen hinsichtlich verschiedener auf die zukünftige Rentabilität des Mix einwirkenden Größen genau zu planen: • Länge der Zeitreihe, auf deren Grundlage die Parameter berechnet werden, • die Auswahlmethodik für die in das Portfolio aufzunehmenden Investments bzw. die Rangreihenbildung, um die vermutlich geeigneten hohen und niedrigen Alpha zu bestimmen, • die Anzahl der aufzunehmenden Investments, • die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p und q des Index • die Haltedauer eines mit diesen Wirkungsfaktoren strukturierten Portfolios, • Analyse spezieller Eigenschaften der in das Portfolio einzubeziehenden Aktien (Kapitalmaßnahmen, Dividendenabschläge, Management, Beteiligungen, Marktgängigkeit etc.), die auf die Parameterbestimmung und die Gesamtperformance des Portfolios Einfluss haben könnten. Diese Wirkungsfaktoren haben erheblichen Einfluss auf die Rentabilität. Denn die oben gezeigte mathematische Optimierung bezieht sich allein auf die Vergangenheit, den Zeitraum t. Es wird nun auf diesen Grundlagen, wie auch bei anderen Portfoliokonzepten, erwartet, dass die Optimierung für die Zukunft ein besonders geeignetes und rentables Portfolio ergibt. Hinsichtlich der Länge der Zeitreihe für die Parameterbestimmung haben Auswertungen zum deutschen und amerikanischen Aktienmarkt ergeben, dass sich in beiden Märkten ein Zeitraum t von neun Monaten beziehungsweise 194 Tageswerten auch über Jahre hinweg als grundsätzlich geeignet zeigt. Für bestimmte Perioden im historischen Vergleich mögen zwar andere Zeiträume und andere Modellansätze vorteilhafter sein. Aus Anschaulichkeitsgründen und um die in der Literatur gezeigten Berechnungen vergleichen zu können, beschränkt sich die folgende Auswertung auf diesen Zeitraum von 194 Tagen. Dabei werden für die Parameterbestimmung die natürlichen Logarithmen der täglichen relativen Kursveränderungen des Index beziehungsweise der Einzelwerte verwandt. Dadurch ermäßigt sich die Stichprobe auf nn=193 Ereignisse. Davon zeigten 82 Ereignisse also p 42,5 Prozent einen ansteigenden Index und 111 also q 57,5 Prozent einen Abfall des Index. Es ist dabei p=82/193 und q=111/193 beziehungsweise nn=193/193=1 sodass p+q =1. Die Auswahl der in das Portfolio aufzunehmenden Aktien erfolgte hier auf der Grundlage des Treynor-Index, beziehungsweise des um r f,t verkürzten Quotienten aus R i,t / . i. Dies entspricht, wenn man die Marktgleichung durch Beta i teilt, bei der Rangbildung letztlich einer Reihung von i,t / . i. Sortiert man die Rangreihe von dem größten Wert zum kleinsten Wert, dann erhält man am Anfang die größten durch Beta geteilten Quotienten der Alphawerte und am Schluss die kleinsten. Die Konstante . i( R m,t –r f,t ) spielt bei der Rangreihenbildung keine Rolle. Dabei ist zu beachten, dass das . i sich in dem Ausdruck durch die Division mit . i wegkürzt. Die Division der Alpha durch Beta i weist nach Auffassung des Autors zudem den Vorteil auf, dass extreme Alpha durch die Division mit dem allgemeinen Marktrisiko . i bereits geglättet werden und insoweit Ausreißer eine geringere Bedeutung erlangen. Andere Reihungen sind möglich. Auf die Literatur sei verwiesen [Vgl. Artzner/ Delbaen/Eber/Heath 1999, S. 203-228, Bacmann/Scholz, 2003, Bernardo/Ledoit 2000, S. 144-172, Berry/Burmeister/McElroy 1988 S. 29-42, Brooks/Kat 2002 S. 26- 44, Burke 1994, S. 56, Chen 1983, S. 1393- 1414, Fabozzi 1977, S. 1093-1099, Favre/ Galeano 2002, S. 21-25, Gregoriou/Gueyie 2003 S. 77-83, Kestner 1996 S. 44-46, Mahdavi 2004, S. 47-57]. Darüber hinaus hat der Autor verschiedene andere Reihungen getestet. Insbesondere auf der Grundlage von Entscheidungstabellen mit bis zu vier Bedingungen (beispielsweise Beta >1, Gamma >1, Beta absolut größer als Gamma, Beta/Gamma>1, Alpha >0 etc). Die Ergebnisse eines Beispiels werden für den Zeitraum 2006 bis 2008 unten gezeigt. Aktuell hat sich jedoch, wie auch schon im Jahr 2014, die Reihung R i,t / . i bzw. i,t / . i als günstigstes Auswahlkriterium herausgestellt. Für die Anzahl der aufzunehmenden Investments i in den Mix wurden hier die vier ersten Aktien des Dax aus der Reihung und die vier letzten aus der Reihung des Dax, also insgesamt acht Werte, verwandt. Ist der Mix umfangreicher, dann ist die Handhabung des Portfolios für Privatanleger komplizierter. Allerdings fällt mit zunehmender Anzahl die Streuung des Portfolios und die Sharpe-Ratio verbessert sich üblicherweise. In verschiedenen Tests der tatsächlichen Effizienz des strukturierten Portfolios hat der Autor dieser Zeilen einen Zeitraum von etwa 42 bis 43 Tagen out of sample ausgewählt. Es hat sich gezeigt, dass ein solcher Zeitraum oft ohne Einbußen bei der Rentabilität des Mix verlängert werden und zu höheren Gesamtrenditen führen kann. Ein am 24. Juni 2015 berechnetes optimales Portfolio gibt die (vgl. t Tab. 01)

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