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RISIKO MANAGER 21.2015

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24 Ausgabe 21/2015 Das

24 Ausgabe 21/2015 Das Positionsdelta beträgt +16, das heißt, bei einem Rückgang des Aktienkurses um -8 ¤ würde der Wert der Optionsgesamtposition schätzungsweise um -128 ¤ (= +16 * -8 ¤) fallen (t Abb. 05). Die exakte Barwertveränderung der Optionsgesamtposition bei einem unterstellten Rückgang des Aktienkurses um 8 ¤ beträgt -136,00 ¤ (t Abb. 06). Im Rahmen des bankaufsichtlichen Delta-plus-Ansatzes wäre der Betrag in Höhe von 128 ¤ gleichsam die Eigenmittelunterlegung für das Deltafaktorrisiko. Das gesamte Optionsportfolio verhält sich bei Veränderungen des derzeitigen Aktienkurses wie eine Netto-Long-Position, also genauso wie ein Bestand in Höhe von 16 Aktien. Es lässt sich somit festhalten: Ein positives (negatives) Positionsdelta ist aus Sicht des Preisänderungsrisikos äquivalent zu einem Bestand (Leerverkauf) des Basisinstruments in Höhe des Deltawerts. Die Zusammenfassung der Werte in t Abb. 06 verdeutlicht, dass das Positionsdelta die Wertänderung einer Optionsposition nur für kleine Variationen des Preises des Underlyings relativ gut angibt. Das Positionsdelta ist nämlich mathematisch die erste Ableitung der Wertfunktion des Optionsportfolios nach dem aktuellen Kassapreis des Underlyings und kann deshalb nur eine lokale Abschätzung des Gewinn- oder Verlustpotenzials bieten (Positionsdelta in t Abb. 03 dargestellt als Gerade mit positiver Steigung in Höhe von 16). Die Schätzung der Wertänderung des Optionsportfolios bei einer größeren Aktienkursänderung kann in der Regel verbessert werden, wenn neben der linearen Delta- noch die quadratische Gammaapproximation hinzugefügt wird. Positionsgamma Das Positionsgamma misst die Sensitivität (Reagibilität) des Positionsdeltas gegenüber Preisveränderungen des Optionsgegenstands. Es ist also ein Maß für die Stabilität des Positionsdeltas und damit für die Stabilität einer auf diesem Delta aufgebauten Sicherungsposition. Um das Positionsgamma zu berechnen, wird die Summe der Gammawerte der einzelnen Optionen bestimmt (t Abb. 01, Spalte 3), jeweils gewichtet mit der Anzahl (n) der Optionen oder der per Option gekauften Stücke in der Position i (t Gleichung 03). t Abb. 08 zeigt die Positionsgammas für Änderungen des Aktienkurses in der Spanne von +/-20 t Abb. 07 Vorzeichenkonvention für das Gamma- und Vegafaktorrisiko Vorzeichen Long Call (Kauf einer Kaufoption) Short Call (Verkauf einer Kaufoption) Long Put (Kauf einer Verkaufsoption) Short Put (Verkauf einer Verkaufsoption) Konvention (Kauf/Verkauf) Prozent. Das Positionsgamma für den derzeitigen Kassapreis des Underlyings in Höhe von 100 ¤ beträgt -1, das heißt, bei einem Rückgang des Aktienkurses um 1 ¤ vergrößert sich das Positionsdelta schätzungsweise um 1 von +16 auf +17. Das gesamte Optionsportfolio verhält sich bei Aktienkursveränderungen wie ein Bestand in Höhe von 17 Aktien. Der „exakte“ Wert für die Veränderung des Positionsdeltas bei einem unterstellten Rückgang des Aktienkurses um 1 ¤ beträgt +0,92. Die Veränderung des Positionsdeltas gemessen mit dem Positionsgamma kann theoretisch nur positiv sein, da die Gammawerte für Call- und Put-Optionen immer positiv sind (t Abb. 01, Spalte 3). Um die Wirkung gegenläufiger Geschäfte und damit tendenziell geschlossener Positionen risikoadäquat zu berücksichtigen, wird die schon erwähnte Konvention B verwendet: Der Gammaeffekt bei gekauften Optionen (Long Call und Long Put) wird mit einem positiven Vorzeichen und bei verkauften Optionen (Short Call und Short Gamma- und Vegawert (theoretisch) (1) (2) + (Kauf) - (Verkauf) + (Kauf) - (Verkauf) + (Call) + (Call) + (Put) + (Put) Positionsgamma und Positionsvega (3) = (1) x (2) + (+ x +) - (- x +) + (+ x +) - (- x +) Put) mit einem negativen Vorzeichen versehen (t Abb. 07). Im Rahmen des Delta-plus-Ansatzes sind für jeden Basistitel die Gammaeffekte verschiedener Optionen vorzeichengerecht zu addieren, um das Netto-Positionsgamma zu bestimmen. In die weiteren Berechnungen sind nur negative Netto-Gammaeffekte einzubeziehen. Durch diese Regelung wird sichergestellt, dass eine zusätzliche Eigenmittelunterlegung für das Gammafaktorrisiko nur dann erfolgt, wenn das Positionsdelta bei einer unvorteilhaften Bewegung des Preises des Underlyings in Höhe der von der Aufsicht im Aktienkursrisikobereich unterstellten acht Prozent das Verlustrisiko unterschätzt. Die Eigenmittelanforderung für das Gammarisiko in Höhe von 32 ¤ ergibt sich nach t Gleichung 05. t Abb. 06 zeigt, dass bei einem Rückgang des Aktienkurses in Höhe von acht Prozent die Verlustschätzung anhand des Positionsdeltas (-128 ¤) die exakte Barwertveränderung der Optionsgesamtposition t Gleichung 03 t Gleichung 04 t Gleichung 05

25 (-136 ¤) geringfügig unterschätzt. Der Netto-Gammaeffekt ist -1, also negativ. Das heißt, bei einem Rückgang des Aktienkurses um 1 ¤ steigt das Positionsdelta und damit die Steigung der Optionsgesamtposition auf +17. t Abb. 03 zeigt, dass der Kurvenverlauf der Optionsgesamtposition bei einem geringfügigen Rückgang des Aktienkurses tatsächlich unter der Geraden des Positionsdeltas liegt (in diesem Fall ist die Steigung größer). Das Positionsdelta unterschätzt damit das potenzielle Verlustrisiko. Die Eigenmittelanforderung für das Delta- und Gammafaktorrisiko beträgt 160 ¤ (= 128 ¤ + 32 ¤). Die exakte Barwertveränderung in Höhe von absolut 136 ¤ wird deutlich überschätzt, weil die Bankenaufsicht bei der Berechnungsformel für das Gammafaktorrisiko den „Absolutwert“ des Netto-Gammaeffekts verwendet. Nach der dem Delta-plus-Ansatz zugrunde liegenden Approximation durch Taylor-Polynome müsste bei einem negativen Positionsgamma der quadratische Gammaterm von dem linearen Deltaterm abgezogen werden (128 ¤ - 32 ¤ = 96 ¤). In t Abb. 03 ist zu erkennen, wie dadurch die Approximation an den Graphen der Optionsgesamtposition verbessert wird. Die Eigenmittelunterlegung für einen angenommenen Rückgang des Aktienkurses um acht Prozent wäre allerdings mit 96 ¤ geringer als nur mit der Deltaabschätzung. Insgesamt würde das Preisänderungsrisiko unterschätzt. Positionsvega Eine weitere wichtige Einflussgröße auf den Wert einer Option ist die Volatilität des Preises des Underlyings (gemessen mit der Standardabweichung der Preisveränderungen ). Genau genommen ist die erwartete Volatilität über die Restlaufzeit der Option als Inputvariable in der Optionspreisformel zu verwenden. Das Positionsvega gibt den Betrag in Euro an, um den sich der Wert des Optionsportfolios verändert, wenn sich ceteris paribus die Volatilität geringfügig ändert (zum Beispiel um ein Prozent). Wird eine größere Änderung der Volatilität () unterstellt, so wäre das Positionsvega nach dem Approximationsansatz mit dem Ausmaß der Volatilitätsänderung (in Prozentpunkte, also ·100) zu multiplizieren. Das Positionsvega berechnet sich aus der Summe der Vegawerte der einzelnen Optionen (t Abb. 01, Spalte 4), jeweils gewichtet mit der Anzahl (n) der Optionen oder der per Option gekauften Stücke in der Position i (t Gleichung 04). Das Positionsvega beträgt -8,7, das heißt, bei einem Anstieg der Volatilität des Basispreises um ein Prozent verringert sich der Wert der Optionsgesamtposition schätzungsweise um 8,70 ¤. Der exakte Wert für die Veränderung der Optionsposition beträgt bei einem Anstieg der Volatilität um ein Prozent -9,39 ¤ und bei einem Fallen der Volatilität um ein Prozent + 8,00 ¤. t Abb. 09 zeigt, wie die Positionsvegas bei einer unterstellten Volatilitätsänderungsspanne von +/-62,5 Prozent variieren. Wie ungenau eine proportionale Abschätzung der Wertänderung des Optionsgesamtportfolios mithilfe des Vegafaktors ist, zeigt t Abb. 10. Nur bei sehr kleinen Veränderungen der Volatilität des Underlyings sind die Schätzfehler gering. Da der Delta-plus-Ansatz eine feste proportionale Volatilitätsänderung in Höhe von +/-25 Prozent unterstellt, wäre in diesem Fall der Verlust in Höhe von 43,50 ¤ die erforderliche Eigenmittelunterlegung für das Vegafaktorrisiko (t Abb. 09). Eine feste proportionale Volatilitätsänderung in Höhe von +/-25 Prozent bedeutet eine Änderung der im Beispiel unterstellten Volatilität in Höhe von 20 Prozent um absolut +/-5 Prozent. Die Eigenmittelunterlegung für das Vegafaktorrisiko erhält man dann wie folgt: 5 * 8,70 ¤ = 43,50 ¤. Im Delta- Positionsgammas bei Variation des Preises des Underlyings t Abb. 08 Preis Aktie XYZ 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 Preisänderung Aktie XYZ -20% -16% -12% -8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20% Positionsgammas Position 1: 100 Long Calls 0,8 1,5 2,2 2,8 3,1 3,2 2,9 2,4 1,9 1,4 0,9 Position 2: 200 Short Calls -0,3 0,0 -1,3 -2,2 -3,3 -4,4 -5,3 -5,7 -5,6 -5,1 -4,4 Position 3: 40 Long Puts 0,7 1,0 1,3 1,4 1,3 1,1 0,9 0,6 0,4 0,3 0,2 Position 4: 30 Short Puts -0,2 -0,3 -0,5 -0,7 -0,8 -0,9 -0,9 -0,8 -0,7 -0,5 -0,4 Positionsgamma der Gesamtposition 1,0 2,2 1,7 1,3 0,3 -1,0 -2,4 -3,5 -4,0 -3,9 -3,7 Änderung des Positionsdeltas (geschätzt) 20,0 16,0 12,0 8,0 4,0 0,0 -4,0 -8,0 -12,0 -16,0 -20,0 Positionsvegas bei Variation der Volatilität des Preises des Underlyings t Abb. 09 Volatilität 7,5% 10,0% 12,5% 15,0% 17,5% 20,0% 22,5% 25,0% 27,5% 30,0% 32,5% Volatilitätsänderung -63% -50% -38% -25% -13% 0% 13% 25% 38% 50% 63% Positionsvegas Position 1: 100 Long Calls 25,0 25,1 25,2 25,2 25,2 25,2 25,2 25,2 25,2 25,2 25,2 Position 2: 200 Short Calls -2,9 -10,4 -18,7 -25,8 -31,3 -35,4 -38,6 -41,0 -42,9 -44,3 -45,5 Position 3: 40 Long Puts 4,6 6,4 7,5 8,1 8,5 8,8 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 Position 4: 30 Short Puts -5,4 -6,3 -6,8 -7,1 -7,2 -7,3 -7,4 -7,5 -7,5 -7,5 -7,5 Positionsvega der Gesamtposition 21,3 14,8 7,2 0,4 -4,8 -8,7 -11,8 -14,2 -16,0 -17,3 -18,4 Änderung der Gesamtoptionsposition (geschätzt) 108,8 87,0 65,3 43,5 21,8 0 -21,8 -43,5 -65,3 -87,0 -108,8

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