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RISIKO MANAGER 21.2015

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22 Ausgabe 21/2015

22 Ausgabe 21/2015 Optionspreise und Optionssensitivitäten Werte für jeweils eine Option Preis Deltafaktor Gammafaktor Vegafaktor (1) (2) (3) (4) Long Call (Kauf einer Kaufoption) 4,67 0,5 0,032 0,252 Short Call (Verkauf einer Kaufoption) 1,33 0,2 0,022 0,177 Long Put (Kauf einer Verkaufsoption) 2,58 -0,3 0,027 0,22 Short Put (Verkauf einer Verkaufsoption) 7,44 -0,6 0,031 0,244 Wert der Optionsgesamtposition in Abhängigkeit vom Preis des Underlyings ler / Niemeier [2015] und Schulte-Mattler [1996a]. Der Wert des gesamten Portfolios (V) in Höhe von 81 ¤ wird berechnet, indem zunächst die einzelnen Optionspreise (t Abb. 01, Spalte 1) mit der Anzahl der jeweils gekauften und verkauften Optionen multipliziert werden. Gekaufte (verkaufte) Optionen werden dabei mit einem positiven (negativen) Vorzeichen versehen. Anschließend bildet man die Summe aus diesen Multiplikationen (t Gleichung 01). Der positive Wert des Portfolios besagt, dass dem Institut bei einem sofortigen Glattstellen der Positionen durch den Verkauf oder Kauf der entsprechenden Gegenpositionen ein Gewinn in Höhe von 81 ¤ verbleibt. So könnte die Position 1 durch einen Verkauf der 100 Kaufoptionen und die Position 2 durch Kauf von 200 Kaufoptionen gleicher Art geschlossen werden. Dem Institut würden dadurch aus der ersten Transaktion 467 ¤ zufließen und für den Kauf der Optionen in der Position 2 müsste es 266 ¤ aufwenden (t Abb. 02). Die Frage, wie sich der Wert dieses Optionsportfolios verändert, wenn der Risikofaktor „Preis des Underlyings“ um +/-20 Prozent variiert, lässt sich durch Neubewertung der Optionen unter Beibehaltung der Portfoliostruktur beantworten. t Abb. 02 zeigt die numerischen Werte und t Abb. 03 den Graphen der Wertänderung der Optionsgesamtposition bei Variation des Preises des Optionsgegenstands (Underlyings). Die Positionsveränderung (V) kann, in Abhängigkeit von der Richtung, in der sich der Preis des Underlyings bewegt, positiv oder negativ sein. Aufgrund der „Wellenform“ der unterstellten Optionsgesamtposition verliert diese sowohl bei einem sehr starken Anstieg als auch bei einem Rückgang des Basistitels an Wert. Damit an späterer Stelle die Eigenmittelunterlegungsbeträge nach dem Szenario-Matrix-Verfahren mit denen des Delta-plus-Ansatzes verglichen werden t Abb. 01 t Gleichung 01 t Abb. 03 können, wird zunächst die Eigenmittelanforderung des Delta-plus-Ansatzes für das Beispielportfolio bestimmt. Diese ergibt Veränderung der Optionsgesamtposition bei Variation des Preises des Underlyings t Abb. 02 Preis Aktie XYZ 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 Preisänderung Aktie XYZ -20% -16% -12% -8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20% Wert der Optionsposition Wert der Position 1: 100 Long Calls 15 39 86 167 292 467 692 962 1.272 1.611 1.973 Wert der Position 2: 200 Short Calls -3 -9 -27 -65 -139 -266 -464 -746 -1.118 -1.579 -2.122 Wert der Position 3: 40 Long Puts 593 457 337 238 160 103 63 37 21 11 6 Wert der Position 4: 30 Short Puts -725 -609 -498 -395 -302 -223 -159 -108 -71 -45 -28 Gesamtoptionsposition -120 -122 -102 -55 11 81 132 145 104 -2 -171 Änderung der Gesamtoptionsposition -201 -203 -183 -136 -70 0 51 64 23 -83 -252

23 sich als Addition der Teilanforderungen für das Delta-, Gamma- und Vegafaktorrisiko. Positionsdelta Zur Messung des „reinen“ Preisänderungsrisikos eines Optionsportfolios wird beim Delta-plus-Ansatz ein Approximationsverfahren benutzt. Grundlage der Methode bilden die Deltawerte der einzelnen Optionen, die zum Positionsdelta des Gesamtportfolios aggregiert werden (Deltafaktorrisiko). Das Positionsdelta gibt an, t Gleichung 02 um welchen Betrag sich der Wert eines Optionsportfolios bei einer nur geringfügigen Veränderung des Preises des Underlyings ändert. Das Positionsdelta berechnet sich aus der Summe der Deltawerte der einzelnen Optionen (t Abb. 01, Spalte 2), jeweils gewichtet mit der Anzahl (n) der Optionen oder der per Option gekauften Stücke in der Position i (t Gleichung 02). Zwei Vorzeichenkonventionen, die jeweils mit identischem Ergebnis die Richtung der Preisveränderung des Optionsportfolios angeben, lassen sich unterscheiden. Bei der Konvention A werden die Absolutwerte der Deltas zugrunde gelegt, das heißt insbesondere die Deltawerte von Put-Optionen werden mit einem positiven Vorzeichen versehen (t Abb. 04, Spalte 3). Insgesamt aktivische (passivische) Positionen werden mit „+“ („-“) kenntlich gemacht (t Abb. 04, Spalte 4). Diese Konvention wird beim Deltafaktorrisiko benutzt. Bei der Konvention B, die beim Gamma- und Vegafaktorrisiko verwendet wird, werden die theoretischen Vorzeichen der berechneten Faktoren beibehalten, und die Anzahl der Optionen oder per Option gekauften Stücke einer erworbenen Option werden mit positiven Vorzeichen beziehungsweise einer verkauften Option mit negativen Vorzeichen versehen (t Abb. 07 Spalte 1 und 2). Vorzeichenkonventionen für das Deltafaktorrisiko t Abb. 04 Vorzeichen Long Call (Kauf einer Kaufoption) Short Call (Verkauf einer Kaufoption) Long Put (Kauf einer Verkaufsoption) Short Put (Verkauf einer Verkaufsoption) Konvention (Kauf/Verkauf) Deltawert (theoretisch) Deltawert (Konvention) Optionsposition (theoretisch) (1) (2) (3) (4) + (Kauf) - (Verkauf) + (Kauf) - (Verkauf) + (Call) + (Call) - (Put) - (Put) + + + + + (aktivisch, long) - (passivisch, short) - (passivisch, short) + (aktivisch, long) Positionsdelta (5) = (1) x (2) = (3) x (4) + (+ x +) - (- x + oder + x -) - (+ x - oder + x -) + (- x -) Positionsdeltas bei Variation des Preises des Underlyings t Abb. 05 Preis Aktie XYZ 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 Preisänderung Aktie XYZ -20% -16% -12% -8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20% Positionsdeltas Position 1: 100 Long Calls 4 8 16 25 37 50 62 73 81 88 93 Position 2: 200 Short Calls -1 -3 -6 -13 -24 -40 -60 -82 -104 -126 -145 Position 3: 40 Long Puts -36 -32 -27 -22 -17 -12 -8 -5 -3 -2 -1 Position 4: 30 Short Puts 29 28 27 25 22 18 14 11 8 5 4 Positionsdelta der Gesamtoptionsposition -4 1 10 15 18 16 8 -3 -18 -35 -49 Änderung der Gesamtoptionsposition (geschätzt) -320 -256 -192 -128 -64 0 64 128 192 256 320 Barwert- versus Delta-Methode zur Quantifizierung des Preisrisikos t Abb. 06 Preis Aktie XYZ 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 Preisänderung Aktie XYZ -20% -16% -12% -8% -4% 0% 4% 8% 12% 16% 20% Änderung der Gesamtoptionsposition - Barwertveränderung (exakt) -201 -203 -183 -136 -70 0 51 64 23 -83 -252 - Positionsdelta (geschätzt) -320 -256 -192 -128 -64 0 64 128 192 256 320 Schätzfehler ("+" überschätzt; "-" unterschätzt) 119 53 9 -8 -6 0 13 64 169 -339 -572

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