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RISIKO MANAGER 20.2015

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8 Ausgabe 20/2015 rung

8 Ausgabe 20/2015 rung der Rechnungslegung umgerechnet worden sind, wird der deltagewichtete Wert mit der entsprechenden Anzahl der Optionskontrakte multipliziert, um das Deltaäquivalent der Position zu erhalten. Die Summe aller Deltaäquivalente auf einen identischen Basiswert entspricht dessen Nettoposition. t Abb. 02 zeigt vier Optionspositionen auf die BMW-Aktie: Position 1 – Kauf von 20 Kaufoptionen (Long Call), Position 2 – Verkauf von 5 Kaufoptionen (Short Call), Position 3 – Kauf von 15 Verkaufsoptionen (Long Put) und Position 4 – Verkauf von 10 Verkaufsoptionen (Short Put). Die Optionen haben jeweils unterschiedliche Ausübungspreise. Die Berechnung des Deltaäquivalents von Position 1 ergibt einen Wert von +1.232,96 ¤ (= +20 * 80 ¤ * 0,7706). Dieser wird anschließend vorzeichengerecht mit den Deltaäquivalenten der anderen drei Positionen verrechnet, woraus eine Netto-Long-Position in Optionen auf BMW in Höhe von +1.467,56 ¤ resultiert. Analog ergibt sich bei der Position 5 eine Netto-Short-Position von -54,60 ¤. Bei der Bestimmung der Gesamtnettoposition im Aktienkursrisikobereich ist gem. Art. 341 CRR zunächst die Bruttound Nettogesamtposition zu bestimmen. Bei der Berechnung der Bruttogesamtposition werden alle nach Art. 327 CRR ermittelten Nettokauf- und Nettoverkaufspositionen getrennt voneinander addiert und anschließend die Summe der absoluten Werte der beiden Positionen gebildet. Die Berechnung der Nettogesamtposition ist etwas aufwendiger; es wird dabei die Differenz aus der Summe der Nettokaufund Nettoverkaufspositionen für jeden „Markt“ getrennt gebildet. Die Summe der absoluten Werte dieser Differenz ergibt die Nettogesamtposition. Gem. Art. 341 Abs. 3 CRR sollte der Begriff „Markt“ bis zum 31. Januar 2014 seitens der EBA mittels eines technischen Regulierungsstandards konkretisiert werden. Dieser Aufforderung ist die EBA am 20. Dezember 2013 mit dem Final Draft EBA/ RTS/2013/16 nachgekommen [European Banking Authority 2013b], der als delegierte Verordnung Nr. 525/2014 am 12. März 2014 veröffentlicht wurde [EU- Kommission 2014b]. Zur Verdeutlichung des Vorgehens bei der Bestimmung der Brutto- und Nettogesamtposition betrachten wir das in t Abb. 02 dargestellte Optionsportfolio Black/Scholes-Formel für europäische Aktienoptionen ohne Dividendenzahlung Call- und Put-Preis: mit acht Positionen. Die Bruttogesamtposition ergibt sich aus der Summe der absoluten Werte der Nettopositionen für die einzelnen Basiswerte, die ein spezifisches Risiko besitzen. Aus diesem Grund wird die Index-Position 6 in Höhe von 415,39 ¤ nicht berücksichtigt [European Banking Authority 2013c, EU-Kommission 2014c]. Die Bruttogesamtposition ist 3.092,53 ¤ (t Abb. 03). Zur Berechnung der Nettogesamtposition werden die Optionen zunächst innerhalb ihrer zugehörigen Märkte getrennt bewertet. Dann werden in jedem Markt die Long- und Short-Positionen saldiert. Die Summe der absoluten Werte der Nettopositionen für die Märkte ergibt die Nettogesamtposition. In dem Beispiel sind die anrechnungspflichtigen Nettopositionen wie folgt: EU-Markt 1.412,96 ¤ (1.467.56 ¤ – 54,60 ¤), CH-Markt 415,39 ¤ und US-Markt -637,77 ¤. Die Nettogesamtposition beträgt 2.466,12 ¤ und das Delta- Risiko 197,29 ¤. und der standardisierten Normalverteilung mit und Optionssensitivitäten t Kasten 01 Delta-Risiko: Änderung des Optionspreises aufgrund einer marginalen Änderung des Aktienkurses: Gamma-Risiko: Änderung des Optionspreises aufgrund einer marginalen Änderung des Deltawerts: Vega-Risiko: Änderung des Optionspreises aufgrund einer marginalen Änderung der Standardabweichung des Aktienkurses: Notation: Optionspreis (Prämie) einer Kaufoption C (Call), Optionspreis einer Verkaufsoption P (Put), Aktienkurs S, Ausübungspreis K, Laufzeit der Option T, risikoloser Zinsfaktor R (= 1 + r) zur diskreten Diskontierung des Ausübungspreises, Verteilungsfunktion N(...) und Dichtefunktion N‘(...) der standardisierten Normalverteilung und Standardabweichung des Aktienkurses . Optionssensitivitäten geben approximativ an, um welchen Betrag sich der Wert einer Option bei ändernden Marktkonstellationen verändert. Von den Instituten soll ermittelt werden, wie sich der Wert ihrer Optionen oder ihres Optionsportfolios in einem vorgegebenen ungünstigsten Fall („Worst Case“) verändern würde. Ergibt sich insgesamt ein potenzielles Verlustrisiko, so wäre dies die vorzuhaltende Eigenmittelunterlegung. Grundlage der Bestimmung von Sensitivitäten ist ein Bewertungsmodell für Optionen, wobei zur Demonstration der Zusammenhänge von relativ einfachen Aktienoptionen ausgegangen wird. Das von Fisher Black und Myron Scholes im Jahre 1973 veröffentlichte Modell bewertet diesen Optionstyp, nämlich europäische Kaufoptionen auf Aktien ohne Dividendenzahlungen [Black/Scholes 1973, Kesting/Schul-

9 Approximation durch Taylorpolynome te-Mattler 1992]. Die Black/Scholes-Formel sowie die für den vorliegenden Zusammenhang wichtigen Sensitivitätsmaße sind im t Kasten 01 zusammengefasst. Das Black/Scholes-Modell basiert auf zwei grundsätzlichen Annahmen: zum einen der unterstellte stochastische Prozess (Log-Normalverteilung der Aktienkurse, keine Korrelation der Kurse während verschiedener Zeitperioden, gleiche Standardabweichung in allen Zeitperioden gleicher Länge), zum anderen die Möglichkeit der Marktteilnehmer, ihre Portfolios stetig und ohne Transaktionskosten anzupassen (keine Arbitragemöglichkeiten). Keine dieser Voraussetzungen ist streng genommen in der Realität erfüllt [Cox/Rubinstein 1985, Hull 2012]. Insgesamt herrscht aber die Meinung vor, dass das Black/Scholes- Modell hinreichend genau ist und plausible Ergebnisse produziert. Grundlage des Delta- und Nicht-Delta- Risikos ist eine Taylorsche-Approximation, die es erlaubt, die Veränderung einer beliebigen Funktion mit Hilfe von Polynomen zu approximieren (t Kasten 02). Da der Preis einer Option nach der Black/ Scholes-Formel von fünf fundamentalen Größen abhängt (t Kasten 01), bietet die Taylorsche-Formel eine mathematisch elegante Möglichkeit, die Einflussgrößen der einzelnen Parameter auf den Optionspreis zu separieren. Für die aufsichtlich relevanten Parameter – Aktienkurs S und Volatilität des Aktienkurses – zeigt t Gleichung 01 die Approximation der Optionspreisveränderung einer Kaufoption (C). Nach der VO Nr. 528/2014 sollen neben dem Preisrisiko (Delta-Risiko) insbesondere die Nicht-Delta-Risiken von den Instituten analysiert werden. Dies sind Risiken aufgrund von Veränderungen des Gammawerts der Option (Konvexitätsrisiko), Risiken aufgrund von Veränderungen des Vegawerts der Option (Volatilitätsrisiko), Risiken aufgrund von Veränderungen des Rhowerts der Option (Zinsänderungsrisiko), Nichtlinearitäten – die nicht durch das Gamma-Risiko erfasst werden – sowie das Risiko der impliziten Korrelation bei Korb- Optionen oder Korb-Optionsscheinen. In der bankaufsichtlichen Ermittlung von Eigenmittelanforderungen sind bislang nur die Sensitivitätsfaktoren Delta, Gamma und Vega berücksichtigt. Wurden die Berechnungen des Delta- und Nicht-Delta- Risikos vor Einführung der CRR als ein Gesamtrisikobetrag ausgewiesen, so müssen seit dem Inkrafttreten der VO Nr. 528/2014 die Eigenmittelanforderungen aus Nicht-Delta-Risiken separat berechnet und ausgewiesen werden. Eine Eigenmittelunterlegung des Theta- und Rho-Risikos ist bislang nicht vorgesehen, allerdings wird von den Instituten erwartet, dass sie diese Risiken bei der internen Bestimmung der Risikotragfähigkeit berücksichtigen. Vereinfachter Ansatz t Kasten 02 Für eine n-mal differenzierbare Funktion lässt sich die Differenz = 1 0 mit dem n-ten Taylorpolynom zum Punkt 0 berechnen, das wie folgt definiert ist: Dabei bezeichnet n die n-te Ableitung von f, n! die n-te Fakultät und = 1 0 Für 1 nahe 0 werden die höheren Potenzen n sehr klein, sodass die entsprechenden Glieder in der obigen Gleichung vernachlässigt werden können. Je mehr Glieder wegfallen, umso ungenauer wird allerdings die Abschätzung. Für den in diesem Beitrag behandelten Sachverhalt sind insbesondere die Approximationen erster und zweiter Ordnung relevant. Sie lauten wie folgt: aufsicht einen Eigenkapitalunterlegungssatz in Höhe von insgesamt 16 Prozent festgelegt (jeweils acht Prozent für das spezifische und allgemeine Kursrisiko). Für Optionen im Fremdwährungs- und Rohwarenrisikobereich gelten andere Unterlegungssätze [Schulte-Mattler 2014a]. Die Eigenmittelanforderung für Nicht- Delta-Risiken von gekauften Optionen oder Optionsscheinen (Long Calls und Long Puts) ist der höhere Wert aus Null oder der Differenz von Bruttobetrag und dem risikogewichteten Betrag des Deltaäquivalents. Der Bruttobetrag wird auf drei verschiedenen Wegen ermittelt. Sind gem. Art. 3 Abs. 3 VO Nr. 528/2014 die Long- und Short- Positionen aus den gekauften Optionen durch entsprechende gegenläufige Positionen in den Basistiteln abgesichert, dass heißt, handelt es sich um geschlossene Positionen, wird der Bruttobetrag als Höchstwert zwischen Null und dem Marktwert des zugrunde liegenden Basistitels – multipliziert mit der Summe der für spezifische und allgemeine Marktrisiken geltenden Eigenmittelanforderungen der zugrunde liegenden Position abzüglich eines möglichen Gewinnbetrags einer Option, welcher bei sofortiger Ausübung resultieren würde („In-the-Money-Option“) – ermittelt. Handelt es sich bei den Optionspositionen um offene Posi tionen wird gem. Art. 3 Abs. 4 jeweils der niedrigere der beiden folgenden Beträge verwendet: Marktwert des zugrunde liegenden Wertt Gleichung 01 Ausgangspunkt des vereinfachten Ansatzes (Simplified Approach) gem. Art. 2 und 3 VO Nr. 528/2014 sind die von Instituten am Optionsmarkt häufig verfolgten Handelsstrategien und die daraus resultierenden Optionspositionen. Er darf nur von Instituten benutzt werden, die ausschließlich als Käufer von Optionen und Optionsscheinen auf den Märkten tätig sind (also Long Call und Long Put). Die zur Nutzung des vereinfachten Ansatzes berechtigten Institute können natürlich auch ein anderes Verfahren wählen. Dies wurde durch die Berichtigung des Art. 2 VO Nr. 528/2014 im Final Draft EBA/RTS/2015/09 klargestellt [European Banking Authority 2015]. Das spezifische und allgemeine Preisänderungsrisiko aus Optionskontrakten mit Aktien oder Zinstiteln als Basiswert wird mithilfe konstanter Prozentsätze abgeschätzt [Schulte-Mattler 2014b]. Im Aktienkursrisikobereich hat die Banken-

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