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RISIKO MANAGER 17.2015

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12 Ausgabe 17/2015 Zudem

12 Ausgabe 17/2015 Zudem sollte bei der Ausarbeitung der Transferlogik auch auf eine zeitsensitive Gestaltung des Signifikanzmaßes geachtet werden. Zwei Effekte bedürfen einer besonderen Berücksichtigung. Einerseits wird für die Forward-Lifetime-PD für weit in der Zukunft liegende Zeiträume eine differenzierte Prognose aufgrund der abnehmenden Bedeutung der heute vorliegenden Informationen immer schwieriger, was sich in einer deutlich zunehmenden Streuung um den Erwartungswert manifestiert. Eine relative Abweichung vom bei Kreditvergabe zukünftig erwarteten Kreditrisiko direkt nach der Kreditvergabe sollte also früher zu einem Stufenübergang führen als die gleiche Abweichungen zu einem späteren Zeitpunkt, da insbesondere für spätere Abweichungen durchaus auch eine größere Erhöhung des tatsächlichen Risikos der Transaktion aufgrund der mit dem Prognosezeitraum ansteigenden Schwankungsbreite noch nicht außergewöhnlich sein muss. Andererseits ist eine systematische Verzerrung zugunsten kurzer Restlaufzeiten zu vermeiden. Für kurze Restlaufzeiten sind die Lifetime-PDs deutlich volatiler als für längere Restlaufzeiten. So werden üblicherweise etwa makroökonomische Erwartungen annähernd vollständig in die Lifetime-PDs kurzer Restlaufzeiten übertragen, während für lange Laufzeiten eine Abschwächung durch eine Rückkehr der PDs zum „Normalzustand“ in zukünftigen Perioden erfolgt. Auch eine Veränderung des aktuellen Ratings um etwa eine Klasse bedeutet häufig bei einer Restlaufzeit von einem Jahr eine starke prozentuale Erhöhung der Lifetime-PD, wohingegen der Einfluss bei einer Restlaufzeit von 20 Jahren aufgrund der asymptotischen Annäherung an die Central Tendency sich lediglich auf die ersten Jahre auswirkt und über die gesamte Restlaufzeit wesentlich geringer wirkt. [Anm.: Der genaue Faktor ergibt sich in Abhängigkeit der Ausgestaltung der institutsspezifischen Masterskala. Typischerweise nehmen die Relationen zwischen zwei Ratingklassen jedoch Werte an, die durchaus jenseits eines Werts von etwa 1,5 liegen können.] Würden nun vermehrt Transaktionen mit kurzer statt langer Laufzeit Stufe 2 zugeordnet, würde die Risikovorsorge in der Regel weniger stark steigen. Ein Signifikanzmaß, das sowohl eine relative Ausrichtung reflektiert als auch zeitsensitiv ist, wäre die Betrachtung eines Quantils der Verteilung der Lifetime-PD (oder auch der Ein-Jahres-PD). Die Umsetzung eines Quantil basierten Schwellenwerts besitzt zudem den Vorteil, dass der Begrifflichkeit einer „signifikanten“ Erhöhung im Sinn der formalen statistischen „Signifikanz“-Definition entsprochen wird und empirische Beobachtungen berücksichtigt werden können. Ein Transfer würde genau dann stattfinden, wenn zum Bilanzstichtag eine Risikoeinschätzung getroffen wird, die signifikant im Sinn einer Quantilsüberschreitung gegenüber den damaligen Erwartungen beim Vergabezeitpunkt erhöht ist. Zur Ableitung der Signifikanz wird zum Zeitpunkt des erstmaligen Bilanzansatzes für jeden zukünftigen Bilanzierungsstichtag eine Verteilung der erwarteten Lifetime-PD über die Restlaufzeit benötigt. Durch die Definition eines Quantils (beispielsweise der Ordnung p=75 Prozent) kann nun für jeden zukünftigen Bilanzierungsstichtag ein Schwellenwert abgeleitet und gespeichert werden. Es handelt sich um genau jenes Quantil der Verteilung für den jeweils betrachteten Bilanzierungsstichtag ( R ) aus Sicht des in der Vergangenheit liegenden Kreditvergabezeitpunkts ( 0 ). Zu einem betrachteten tatsächlichen Bilanzierungsstichtag wird nun jedes Finanzinstrument Stufe 2 zugeordnet, wenn es den zuvor definierten Quantil-Schwellenwert überschreitet. Hat das Finanzinstrument zu einem vorherigen Bilanzierungsstichtag den zu dem Zeitpunkt gültigen Schwellenwert überschritten und liegt zum aktuellen Bilanzierungsstichtag unterhalb der Schwelle, erfolgt eine Zuordnung wiederum zurück zu Stufe 1. Die zum erstmaligen Bilanzansatz berechnete Forward-Lifetime-PD entspricht hierbei dem Erwartungswert der Verteilung. Viele Lifetime-PD-Modelle berechnen eine Ausfallwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der aktuellen Ratingklasse und Restlaufzeit. Mindestens entlang dieser beiden Faktoren sowie der bisherigen Laufzeit sind dann auch entsprechend die Schwellenwerte zu definieren. t Abb. 02 skizziert einen typischen Verlauf. Der Erwartungswert (dargestellt durch ein Kreuz) der Lifetime-PD nimmt für zukünftige Bilanzierungsstichtage ab. Gleichzeitig wird die Verteilung um diesen Erwartungswert breiter (Der Kasten um das Kreuz markiert den Bereich, in dem 50 Prozent der Werte liegen, dessen untere und obere Begrenzung markieren das 25-Prozent- bzw. 75- Prozent-Quantil). Dieser Ansatz ist somit relativ (immer in Relation zum Erwartungswert) und zeitsensitiv (Verteilung wird breiter). Für die Ermittlung der Verteilung der Lifetime-PD sind unterschiedliche Vorgehensweisen denkbar. So kann etwa direkt das empirisch beobachtete Quantil realisierter Lifetime-Ausfallraten herangezogen werden. Liegt keine ausreichende Datenhistorie vor, kommt alternativ auch die t Abb. 02 Boxplot zu Lifetime-PDs und Ableitung der Schwellen - werte zur Festlegung einer signifikanten Kreditrisikoerhöhung

13 Bedingte Zustandswahrscheinlichkeiten nach einer bisherigen Laufzeit von fünf Jahren Verwendung von Verteilungsannahmen, z. B. einer Normalverteilung, in Betracht, deren Parameter mithilfe der zur Verfügung stehenden Historie bestimmt werden können. Je nach verwendetem Modell zur Bestimmung der Lifetime-PD kann die Verteilung auch analytisch abgeleitet werden. Bei der am Markt aktuell weit verbreiteten Verwendung von Ein-Jahres-Migrationsmatrizen zur Berechnung der Lifetime- PD kann unmittelbar die Verteilung der zukünftigen Lifetime-PD über die Restlaufzeit berechnet werden. [Anm.: Es sei in diesem Zusammenhang darauf hingewiesen, dass die Schätzung von Migrationsmatrizen erhebliche Umsetzungsund Pflegeaufwände generieren und gleichzeitig für die Schätzung von Lifetime-PDs kritische Aspekte aufweisen kann. Beispielhaft sei die nicht zwingend gegebene Reproduktion empirischer Ausfallprofile mittels Ein-Jahres-Migrationsmatrizen genannt. Gleichwohl ist die Anwendung von Migrationsmatrizen für andere Zwecke als IFRS 9 im Markt durchaus verbreitet.] Das folgende Beispiel veranschaulicht dies. Betrachtet wird die gleiche Transaktion wie in dem vorangegangenen Beispiel. Die Laufzeit beträgt t Tab. 03 ab dem Zeitpunkt der Kreditvergabe, dem 1. Januar 2015, zehn Jahre. Die Lifetime- PD wird mittels einer Matrixmultiplikation berechnet. Es soll nun der Schwellenwert für den Bilanzierungsstichtag 31. Dezember 2019 ermittelt werden. Hierzu sind zunächst die bedingten Zustandswahrscheinlichkeiten für den 31. Dezember 2019 zu ermitteln. Dies sind die Wahrscheinlichkeiten, mit der die Transaktion zum 31. Dezember 2019 einer Ratingklasse i zugeordnet wird, jeweils unter der Bedingung des Nichtausfalls bis zu diesem Zeitpunkt. Für jede Ratingklasse wird nun eine Lifetime-PD für die Restlaufzeit über die verbliebenden fünf Jahre ermittelt (diese entspricht der letzten Spalte aus der fünffachen Multiplikation der Ein-Jahres- Migrationsmatrix). In Verbindung mit den Zustandsverteilungen und den Werten der Lifetime-PD ergeben sich die bedingten Zustandswahrscheinlichkeiten. Diese werden so skaliert, dass die Summe den Wert eins annimmt, und entsprechen der Verteilung der Lifetime-PD zum 31. Dezember 2019 für die verbleibenden fünf Jahre. Durch die Festlegung des Quantils kann nun der Schwellenwert abgelesen werden. Das Beispiel zeigt auch, dass die Verteilung der Lifetime-PD ausschließlich durch die Zustandswahrscheinlichkeit der Ratingklassen getrieben ist, also auch durch die erwartete Ein-Jahres-PD für den Bilanzierungsstichtag. Unter der Annahme eines konstanten Modells zur Ermittlung der Lifetime-PD kann somit die Transferlogik äquivalent auf Ein-Jahres-PDs oder Lifetime-PDs abstellen. In t Tab. 03 sind die bedingten Zustandswahrscheinlichkeiten nach einer bisherigen Laufzeit von fünf Jahren enthalten. Zudem wird die untere Grenze der jeweiligen Ratingklasse angegeben, die der kumulierten Zustandswahrscheinlichkeit der vorherigen Ratingklassen entspricht. Sobald diese untere Grenze gleich dem gewählten Quantil ist oder dieses überschreitet, erfolgt ein Transfer zu Stufe 2. Im gewählten Beispiel liegt somit eine Wahrscheinlichkeit von 20,41 Prozent vor, dass der Vertrag in der Ausgangsratingklasse Ba3 verbleibt – vorausgesetzt er ist bislang nicht ausgefallen. Für das Beispiel wird zudem die völlig willkürliche und nicht substantiierte Annahme getroffen, dass eine signifikante Kreditrisikoerhöhung bei einem Überschreiten des 75-Prozent-Quantils gegeben ist. Auf die Herausforderungen bei der Wahl der Ordnung des Quantils wird in dem Abschnitt zum Signifikanzniveau eingegangen. Bei einer bisherigen Laufzeit von fünf Jahren und unter der Verwendung des 75-Prozent- Quantils als Transferkriterium erfolgt im Beispiel ein Übergang zu Stufe 2 ab einer Verschlechterung von zwei Notches von Ratingklasse Ba3 zum Zeitpunkt t 0 in die Ratingklasse B2, da dies die erste Ratingklasse ist, in welcher die untere Grenze einen Wert größer gleich 75 Prozent annimmt. Die oben beschriebene Verschlechterung von 3 Notches in die Ratingklasse B3 würde somit einen Transfer zu Stufe 2 auslösen. Die Quantils-Sicht auf Basis der Ratingklasse ist in t Abb. 03 veranschaulicht. Eine farblich rote Hinterlegung deutet auf eine Ratingverschlechterung hin. Eine grüne Einfärbung bedeutet eine Verbesserung der Ratingklasse. Die blau hinterlegte Fläche markiert das Ausgangsrating. Zur Erstellung der Grafik werden wie oben in dem Beispiel zu jedem Stichtag die bedingten Zustandswahrscheinlichkeiten berechnet und dann je Stichtag geschichtet, wobei mit der besten Ratingklasse begonnen wird. Hierbei stellt jede farbige

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