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RISIKO MANAGER 11.2015

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8 Ausgabe 11/2015 sogar

8 Ausgabe 11/2015 sogar verstärken können. Niedrige Werte des Quotienten hingegen sprechen für Marktbewegungen der Einzelaktien, die entgegengesetzt verlaufen können. Allerdings ist zu bemerken, dass die Aussagekraft des Komonotonie-Verhältnisses für Call-Preise, die am Geld gehandelt werden, vermeintlich am größten ist. Bei Call-Optionen, welche weit im Geld liegen, spielt die Abhängigkeitsstruktur der Basiselemente keine große Rolle mehr, da die erwartete Auszahlung, und somit der Call- Optionspreis, in etwa dem inneren Wert der Option entspricht. Auch dies motiviert die Einführung des folgenden Prospektiven-Abhängigkeitsmaßes (PAM). Eine untere Abschätzung für Call-Preise, bei gegebenen Randverteilungen aber freier Abhängigkeitsstruktur, ist leider schwieriger zu finden als eine Abschätzung nach oben, da es für Dimensionen d > 2 kein eindeutiges Konzept zur Beschreibung einer minimalen Abhängigkeit gibt, [vgl. Bignozzi et al. 2014]. Mithilfe von Jensens Ungleichung geben wir später eine Abschätzung nach unten an, diese wird aber in der Regel durch keine Abhängigkeitsstruktur angenommen. Im Zusammenhang mit Aktienkursen innerhalb eines Index beobachtet man aber höchst selten negative Abhängigkeiten, was die Wahl der Unabhängigkeit-Copula (u 1 ,…,u d ) = u 1 · …· u d als Abhängigkeitsstruktur für einen unteren Vergleich motiviert. Wir definieren als Maß für den Level an marktimplizierter Abhängigkeit das Prospektive- Abhängigkeitsmaß, vgl. t Gleichung 02, wobei Call(T,K) den am Markt beobachteten Call-Preis bezeichnet und Call(T,K) sowie Call(T,K) M die synthetischen Preise, berechnet unter Unabhängigkeit bzw. Komonotonie, bezeichnen. der Finanzmathematik besagt, dass in Abwesenheit von Dividenden und einem nicht-negativem Zins, identische europäische und amerikanische Call-Option denselben Preis haben müssen, da eine vorzeitige Ausübung nie optimal ist (es ist immer vorteilhafter, die Option zu verkaufen und den Zeitwert auch noch mitzunehmen). Werden allerdings Dividenden ausgezahlt, so kann es vorkommen, dass amerikanische Call-Optionen zu höheren Preisen gehandelt werden als europäische. Amerikanische Put-Optionen dagegen können immer, unabhängig von der Dividende, höhere Preise haben als europäische. Die Entwicklung des Black-Scholes-Merton-(BSM)-Modells zu Beginn der 70er Jahre hat wesentlich zur Entstehung von liquiden Optionsmärkten beigetragen, da Markteilnehmer mit der gleichnamigen Formel nicht nur einen verlässlichen Bewertungsmaßstab für europäische Optionen hatten, sondern auch ein Rezept dafür, wie im Fall eines Verkaufs solche Optionen zu hedgen waren. Einige Jahre später wurde es mit der Einführung des Cox-Ross- Rubinstein-(CRR)-Modells auch möglich, amerikanische Optionen innerhalb desselben Rahmens zu bewerten. Die zugrunde liegende Verteilung des Aktienkurses ist die Lognormalverteilung, die wie die Normalverteilung von zwei Parametern, dem Mittelwert und der Varianz, bestimmt wird. Die Varianz lässt sich direkt aus dem Zeithorizont T und der sogenannten Volatilität berechnen. Den Wert des Parameters , den man in die BSM-Formel einsetzen muss, um einen am Markt beobachteten Optionspreis zu treffen, nennt man die implizite Volatilität. Im Laufe der 80er Jahre stellte sich heraus, dass sich die zu einer Aktie am Markt gehandelten Optionen nicht mit ein und derselben Volatilität korrekt bewerten lassen, sondern man diesen Parameter in Abhängigkeit der Laufzeit T und des Ausübungspreises K auswählen muss. Für Optionen mit derselben Laufzeit führte dies zum sogenannten „volatility smile”, da die impliziten Volatilitäten, als Funktion des Ausübungspreises K, üblicherweise einen leicht U-förmigen Graphen darstellen. Im Zuge der 90er Jahre wurde nach Verallgemeinerungen des BSM-Modells gesucht, die innerhalb eines Rahmens die am Markt gehandelten Optionen korrekt bewerten konnten. Zwei für die Praxis relevante Modelle sind das Stochastic-Volatilit Gleichung 02 Dieses Maß ist zwingend kleiner oder gleich eins, da die Komonotonie-Copula größtmögliche Call-Preise impliziert. Nach unten gibt es keinen Beweis für eine Abschätzung größer gleich null, doch dies trifft in allen von uns betrachteten Beispielen zu. Interpretieren wollen wir diese Zahl als eine Messgröße für das implizit gehandelte Level an zukünftiger Abhängigkeit auf einer Skala die typischerweise in [0,1] liegt. Nach dieser allgemeinen Einführung beschreiben wir nun die konkrete technische Umsetzung. Diese besteht im Wesentlichen aus zwei Schritten: (a) der Bestimmung der Randverteilungen sowie (b) der konkreten Berechnung des Index unter den benötigten Abhängigkeitsannahmen. Berechnung der Randverteilungen In diesem Abschnitt gehen wir nun auf die zu ermittelnden Randverteilungen ein. Der DAX besteht aus d = 30 Einzelwerten, von Adidas (ADS) bis Volkswagen (VOW3). Auf jeden dieser Einzelwerte gibt es einen liquiden Markt an Derivaten. Die beliebtesten hierunter sind europäische und amerikanische Call- und Put-Optionen. Diese Optionen haben eine gewisse Laufzeit T und einen Ausübungspreis (engl. strike) K. Bezeichnet S t den Kurs einer Aktie S zum Zeitpunkt t, dann ist die Auszahlung einer Call-Option bei Ausübung S t – K, und die einer Put-Option K – S t . Wie es ihr Name schon andeutet, stellen Optionen keine Verpflichtung zur Ausübung dar, sondern nur deren Möglichkeit. Der Besitzer der Option wird sie also nicht ausüben, wenn der Auszahlungsbetrag negativ ist. Der Unterschied zwischen europäischen und amerikanischen Optionen besteht nun darin, dass die Ersteren nur am Ende der Laufzeit, während die Letzteren zu einem beliebigen Zeitpunkt bis zum Ende der Laufzeit ausgeübt werden können. In manchen Fällen werden auch sogenannte digitale, oder binäre Call- und Put-Optionen gehandelt. Diese sind immer europäischer Natur und haben das Auszahlungsprofil 1 (EUR), falls S T > K und 0, falls S T < K (Call) sowie 1 (EUR), falls S T < K und 0, falls S T > K (Put). Die Höhe der Auszahlung hängt also nicht davon ab, wie weit der Aktienkurs über oder unter dem Ausübungspreis liegt, sondern lediglich davon, ob er darüber oder darunter liegt. Es muss aber erwähnt werden, dass digitale Optionen weit weniger aktiv gehandelt werden als die zuerst beschrieben Plain-Vanilla-Optionen und Marktpreise deshalb oft nicht zur Verfügung stehen. Wie auf Einzelaktien werden auch Optionen auf den DAX selbst gehandelt. Diese sogenannten Index-Optionen sind normalerweise sehr liquide und können zur Absicherung oder zur Spekulation eingesetzt werden. Ein wichtiges Merkmal der Aktien im DAX ist die meist jährliche Auszahlung von Dividenden. Ein bekanntes Ergebnis

9 ty-Modell von Heston (1993) und das Local- Volatility-Modell von Dupire, Derman- Kani und Rubinstein (1994). Es ist wichtig hervorzuheben, dass diese Modelle, wie schon die BSM- und CRR-Modelle, den gesammten stochastischen Verlauf (Pfad) des Aktienkurses beschreiben. Es gibt in der Praxis allerdings auch oft Situationen, so wie in dem in diesem Artikel betrachteten Fall, in denen es nur darauf ankommt, die Verteilung des Aktienkurses zu einem gegebenen Zeitpunkt zu beschreiben. Die Verteilungsfunktion F soll nun die Eigenschaft haben, dass man Preise von europäischen Optionen mit entsprechender Laufzeit T exakt trifft, wenn man sie zur Berechnung der abgezinsten erwarteten Auszahlung der Option heranzieht. t Gleichung 03 fasst dies zusammen, wobei DF der Diskont-Faktor, die Auszahlungsfunktion der Option und f die Dichtefunktion von F ist. Da wir uns im Folgenden auf einen festen Zeithorizont konzentrieren, fixieren wir von nun an die Laufzeit T. Hat man beispielsweise europäische Call-Optionspreise für alle K [0,], dann kann man durch zweifaches Ableiten die Dichte f eindeutig bestimmen. Natürlich hat man in der Praxis nicht die Preise für unendlich viele Call-Optionen, sondern nur die Preise Call(K 1 ),… ,Call(K n ) für bestimmte Ausübungspreise K 1 ,…,K n . Ein Ansatz ist es nun, durch Interpolation eine Funktion K Call(K) zu definieren und diese zweimal abzuleiten, um f zu bestimmen. Ein ähnlicher Ansatz ist es, die impliziten Volatilitäten (K i ) zu berechen, eine interpolierende Funktion K (K) zu definieren, um dann alle Call(K) zu berechnen und wie oben fortzufahren. Bei beiden Ansätzen muss man allerdings darauf achten, arbitrage-freie Preise zu erhalten. Ein weiterer Ansatz ist es, eine Art von Dichtefunktion vorzugeben – beispielsweise in Anlehnung an das BSM- Modell stückweise lognormal – und dann die Parameter dieser Dichte so zu bestimmen, dass alle Preise Call(K i ) exakt getroffen werden. Hierbei sollte allerdings genau begründet werden, warum man sich für eine bestimmte parametrische Form entschieden hat, was nicht immer leicht ist. Eine überall nicht-negative Dichte hat t Gleichung 03 t Gleichung 04 allerdings den Vorteil, dass sie die Arbitragefreiheit der durch sie gegebenen Optionspreise garantiert. Unser Ansatz ist es, die funktionale Form der Dichte nicht ad hoc vorzugeben, sondern ein Kriterium zu verwenden, welches uns dann zu dieser Form führt. Ein klassisches, aus der Thermodynamik (Clausius, Boltzmann) und Informationstheorie (Shannon) bekanntes, Kriterium ist dasjenige der maximalen Entropie. Eine so gefundene Dichte ist die am wenigsten voreingenommene bezüglich der gegebenen Information [vgl. Jaynes 1957]. Beispielsweise ist unter den Dichten auf dem Einheitsintervall [0,1] die Dichte der Gleichverteilung diejenige, welche die Entropie maximiert. Auf dem Intervall der reellen Zahlen gibt es keine Dichte mit maximaler Entropie; gibt man aber das Mittel und die Varianz vor, dann ist die Dichte der Normalverteilung diejenige mit der maximalen Entropie. Shannon definiert die Entropie einer diskreten Verteilung {p 1 ,...,p n } mit p i [0,1] und p i = 1 als p i log (p i ). Anschaulich lässt sich diese Definition folgendermassen motivieren. Geschieht ein Ereignis von Wahrscheinlichkeit p = 0, so ist man unendlich überrascht. Steigt die Wahrscheinlichkeit bis auf p = 1, so nimmt die Überraschung bis auf 0 ab. Shannon definiert die Überraschung eines Ereignisses mit Wahrscheinlichkeit p als – log(p). Die Entropie ist demnach die erwartete Überraschung. Analog zum diskreten Fall definiert man die Entropie H einer stetigen Verteilung mit Dichte f als t Gleichung 04. Für unser oben beschriebenes Problem lautet der Lösungsansatz unter dem Kriterium der maximalen Entropie nun: Unter Maximum Entropie Dichte für den DAX an verschiedenen Tagen, die Laufzeit ist jeweils T = 1. t Abb. 01

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