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RISIKO MANAGER 11.2015

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16 Ausgabe 11/2015 Wird

16 Ausgabe 11/2015 Wird ein OpRisk-Modell verwendet, bei dem jedem Risiko eine eindeutige Schadenshöhen-Verteilung zuzuordnen ist, so gilt es, sich für eine der beiden Berechnungsvorgaben zu entscheiden. Ausschlaggebend bei der Beurteilung von Risiken und somit deren Parametern sollten neben Auswertungen historischer Schadensfälle auch die Angemessenheit und Verständlichkeit sein. Wird innerhalb eines Risikoworkshops von schiefen Verteilungen gesprochen, so haben die Teilnehmer eher einen Bezug zu Schadenshöhen gemäß LN 1 (μ 1, ; 1 ) mit einem Glockenkurven-ähnlichen Verhalten als zu Verteilungen gemäß LN 2 (μ 2, ; 2 ), bei denen Median und Erwartungswert in einem deutlich größeren Verhältnis voneinander entfernt sind. Welche Form der Berechnung Anwendung findet, sollte von Analysen der Schadensfalldatenbank, den Workshop- Teilnehmern und dem OpRisk-Controller angemessen gewürdigt werden. Restriktion des Prognoseverfahrens t Gleichung 08 Eine weitere Möglichkeit ist das Verwenden des Modus als Prognosemaß. Dieser beschreibt den Schaden, der am häufigsten vorkommt und somit die meiste Wahrscheinlichkeitsmasse auf sich vereint. Für die Berechnung des μ ergibt sich x˜ = Modus(X) = e μ–2 μ = ln(x˜ ) + 2 . Mit t Gleichung 01 und t Gleichung 05 folgen t Gleichung 10 sowie die Parat Gleichung 09 Lageparameter der Log-Normal-Verteilung Konfidenz LN1 LN2 μ 7,24 0,35 0,85 3,81 EW 2.000 ¤ 2.000 ¤ 50,00% 1.399 ¤ 1 ¤ 90,00% 4.134 ¤ 187 ¤ 95,00% 5.620 ¤ 747 ¤ 97,50% 7.336 ¤ 2.47 ¤ 99,00% 10.000 ¤ 10.000 ¤ 99,90% 19.076 ¤ 183.254 ¤ Findet das Verfahren mithilfe der Parameter des Erwartungswertes x˜ =E(X) und eines Quantilsschadens qs Anwendung, so gilt es eine mathematische Restriktion zu beachten. t Gleichung 06 weist für das Berechnen der Streuung innerhalb der Wurzelfunktion einen negativen Term auf. Sollte unter bestimmten Prognosen t Gleichung 08 gelten, führt dies zu einer Wurzel aus einer negativen reellen Zahl und somit zu nicht kalkulierbaren Parametern μ und der Logarithmischen Normalverteilung. Ausschlaggebend für die Beschränkung ist dabei das Konfidenzniveau q des Prognoseverfahrens, welches somit das maximale Verhältnis von Quantilsschaden zu Erwartungswert determiniert. Dies wird in t Tab. 02 für ausgewählte Konfidenzniveaus dargestellt. Wird innerhalb des Risikoworkshops eine Schätzung auf dem 90 Prozent Konfidenzniveau abgegeben und somit das Maß für „ … einer von zehn Schäden ist größer als …“, so darf der Quantilsschaden qs nicht größer als das 2,27-fache des erwarteten Schadens x˜ sein. Im zuvor aufgezeigten Beispiel – Schätzung des Erwartungswerts von 2.000 ¤, Quantilsschaden von 10.000 ¤, Konfidenzniveau von 99 Prozent – liegt das Verhältnis von qs = 5 unterhalb der x Schranke von 14,97. Gerade in Bezug auf Schäden, die innerhalb eines Risikoworkshops prognostiziert werden, gilt es zu beachten, dass diese Grenzen dem Auditorium verständlich gemacht werden. Zumeist sind es die Elementarschäden, wie Wasser-, Feuer- oder Sturmschäden, bei denen sehr oft kleine Schäden beobachtet werden, jedoch der Quantilsschaden sehr hoch werden kann. Sollten Workshop-Teilnehmer vermehrt nah am Grenzwert prognostizieren oder diesen überschreiten, so gilt es, die gewählte Parametrisierung mit Erwartungswert und Quantilsschaden zu überdenken. Median und Quantilsschaden Neben dem Erwartungswert ist der Median ein weiterer Lageparameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, der zur Prognose herangezogen werden kann. An dieser Stelle gilt es eine Schadensprognose abzugeben, für deren Wert die Hälfte aller möglichen Schäden darunter und gleichzeitig die andere Hälfte darüber liegen. Dies beschreibt das 50-Prozent-Quantil und ist geeignet, eine weitere Herleitung für die Kalkulation der Parameter μ und zu definieren. Die Schätzung mittels des Medians führt zu x˜ =Median(X) = e μ μ = ln(x˜ ) t Tab. 01 t Tab. 02 Maximale parametrisierbare Relationen Konfidenz Faktor 60,0% 1,03 70,0% 1,15 80,0% 1,42 90,0% 2,27 95,0% 3,87 99,0% 14,97 99,9% 118,48 Mit t Gleichung 01 und t Gleichung 05 ergibt sich der Streuungsparameter in t Gleichung 09 Die Berechnungsvorschriften für die Parameter μ und sind mithilfe des Medians trivial. Dies ergibt sich durch die Eigenschaft μ = ln(x˜ ), bei der die Verknüpfung mit dem Streuungsparameter wesentlich simpler ist. Modus und Quantilsschaden t Gleichung 10

17 metrisierung der Verteilung in t Gleichung 11 und t Gleichung 12. Die Beschränktheit des Verhältnisses von Quantilswert und Erwartungswert kommt trotz ähnlicher Berechnungsvorschrift des Modus im Allgemeinen nicht zum Tragen. Diese ist nur bedingt darauf, dass der Quantilsschaden qs zum Konfidenzniveau q größer als der Modus sein muss und somit das Verhältnis der beiden stets größer als eins ist. Somit ist der Logarithmus aus diesem Verhältnis eine positive Zahl. Weiterhin ist es theoretisch möglich, als Lösung der t Gleichung 11 ein negatives zu generieren, jedoch ist die Log-Normal-Verteilung für diese nicht definiert. Aufgrund dessen ergibt sich für die Parametrisierung von μ und mithilfe des Modus und eines Quantilsschadens ein eindeutiges Ergebnis. Vergleich der Schätzverfahren Die Zusammenhänge von Median, Modus und Erwartungswert in schiefen Verteilungen sind Workshop-Teilnehmern ohne fachspezifische Vorkenntnisse zumeist nicht vertraut und sollten im Vorfeld detailliert dargelegt werden. Zur Prognose des Erwartungswerts eines operationellen Risikos haben die Teilnehmer zumeist eine bessere Assoziation mit der sich ergebenden Verteilung als beim Vorhersagen des Medians oder gar des Modus. Der Modus weist den Vorteil auf, dass sein Wert direkt visuell in einer abgebildeten Verteilung erkannt werden kann und zudem eine visuelle Vergleichbarkeit unterschiedlicher Risikoklassen vereinfacht. Angenommen ein fiktiver Risikomanager assoziiert eine symmetrische Verteilung und hat somit seine zu prognostizierenden Zahlen für sich festgelegt. Er würde auf die Frage nach dem Erwartungswert, dem Median und dem Modus immer die gleichen Zahlen, bspw. x˜ = 2.000 ¤ und qs =10.000 ¤ , angeben. Die Auswirkungen auf die sich ergebende Verteilung der Risikoklasse sind in t Abb. 04 und t Tab. 03 dargestellt. Die Prognose x˜ = 2.000 ¤, stellvertretend für den Erwartungswert, generiert den niedrigsten Wert für μ mit 7,24 und den höchsten Streuungsparameter mit 0,85. Zudem weist sie den kleinsten Modus und das größte 99,9-Prozent-Quantil auf und ist somit die „schiefste“ der drei Verteilungen. Sehr interessant ist weiterhin die mithilfe des Modus generierte Verteilung, die den höchsten Erwartungswert von 3191 ¤ aufweist und unterhalb des 99-Prozent- Quantils zu höheren Schäden je Konfidenzniveau führt als die anderen beiden. Die Tail-Schäden nach dem 99-Prozent- Konfidenzniveau können mithilfe des Risikomaßes Expected Shortfall (ES) verglichen werden. In dieser Hinsicht bildet die durch den Erwartungswert prognostizierte Verteilung wieder die konservativste Approximation und die des Modus die risikofreundlichste. Es gilt festzuhalten, dass je größer das Verhältnis zwischen Quantilsschaden qs und x˜ geschätzt wird, desto größer wird der Streuungsparameter und somit der Abstand zwischen den Lagemaßen. Diese Differenz ist terminiert zwischen Modus Ergebnisse unterschiedlicher Prognose-Methoden Wahrscheinlichkeitsdichten unterschiedlicher Prognose-Methoden 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 Wahrscheinlichkeitsdichten mit fixiertem t=2.000 ¤ t Gleichung 11 t Gleichung 12 vom Median mit dem Faktor e 2 sowie zwischen Median und Erwartungswert mit dem Faktor e 2 1 . Weiterhin gilt es zu beachten, dass bei der Verwendung eines Schätzverfahrens auch die Auswertung der simulierten Risikovektoren an das Verfahren anzupassen ist. Wird beispielsweise im Risikoworkshop auf Median oder Modus prognostiziert, jedoch auf Gesamtbankebene ein Schadens-Erwartungswert kommuniziert, so ist dieser nicht auf den ersten Blick aus den geschätzten Parametern des Risikoworkshops abzuleiten. t Tab. 03 EW Median Modus μ 7,24 7,60 7,91 0,85 0,69 0,56 Modus 685 ¤ 1.239 ¤ 2.000 ¤ Median 1.399 ¤ 2.000 ¤ 2.731 ¤ EW 2.000 ¤ 2.541 ¤ 3.191 ¤ VaR 90% 4.134 ¤ 4.854 ¤ 5.582 ¤ VaR 95% 5.620 ¤ 6.241 ¤ 6.837 ¤ VaR 99% 10.000 ¤ 10.000 ¤ 10.000 ¤ VaR 99,9% 19.076 ¤ 16.963 ¤ 15.315 ¤ ES 99% 13.864 ¤ 12.977 ¤ 12.284 ¤ ES 99,9% 24.783 ¤ 20.919 ¤ 18.080 ¤ Erwartungswert Median Modus t Abb. 04 0 T 2 T 4 T 6 T 8 T 10 T 12 T 14 T

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