Aufrufe
vor 2 Jahren

RISIKO MANAGER 11.2015

  • Text
  • Gleichung
  • Erwartungswert
  • Unternehmen
  • Optionen
  • Modus
  • Verteilung
  • Euler
  • Hermes
  • Parameter
  • Randverteilungen
RISIKO MANAGER ist die führende Fachzeitschrift für alle Experten des Financial Risk Managements in Banken, Sparkassen und Versicherungen.

12 Ausgabe 11/2015

12 Ausgabe 11/2015 mittels der Konvexität der Call-Auszahlungsfunktion sowie Jensens Ungleichung eine untere Schranke hergeleitet werden, die für beliebige Abhängigkeitsstrukturen gilt: Call(T,K) = DF · Q [(h(S 1T , ... , S dT ) – K) + ] ≥ DF · , wobei Q [S iT ] dem bis zur Laufzeit T aufdiskontierten, aber um erwartete Dividenden bereinigten Ausgangskurs S i0 entspricht, da wir unter dem risikoneutralen Maß arbeiten. Diese untere Schranke wird aber in den üblichen Modellen für die Randverteilungen nicht angenommen, da eine solche untere Schranke eine besondere Form von sogenannter Joint-Mixability benötigen würde, was bei Aktienkursen mit Dichte auf [0,) nicht möglich ist [vgl. Wang, Wang 2015]. Bei einer Moneyness von 0,8 liegt der beobachtbare Call-Preis an beiden Tagen mittig zwischen dem unabhängigen und dem komonotonen Preis mit einem Abstand von +/– 200 Punkten. Während die Kurve der unabhängigen Call-Preise eine starke Krümmung aufweist, verlaufen die komonotone und tatsächliche Preiskurve nahezu parallel und deutlich flacher. Die Krümmung von Call-Preisen lässt sich allgemein über den Zusammenhang der Griechen „Delta“ und „Vega“ herleiten. Es gilt: je geringer die Volatilität, umso größer die Veränderung des Call-Preises für im Geld gehandelte Optionen und umso kleiner für aus dem Geld gehandelte Optionen bei einer Veränderung des Spotkurses. Während Komonotonie zwischen den Einzelaktien die Varianz der Summe maximiert, mit entsprechender maximaler Varianz für den so synthetisierten DAX, fängt bei Unabhängigkeit schon das starke Gesetz der großen Zahlen an zu wirken, sodass die Varianz einer Summe im vorliegenden Fall sehr gering ist. Dies erklärt den starken Abfall der Kurve, welche die unter Unabhängigkeit berechneten Preise abbildet. Die komonotone Preiskurve sowie die tatsächliche Preiskurve verlaufen entsprechend flacher. Für eine Moneyness größer als 1,3 werden die Preisunterschiede der Optionen wieder geringer und konvergieren für Optionen mit einer sehr unwahrscheinlichen Ausübung, das heißt einem Strikepreis der weit aus dem Geld liegt, gegen die erwartete Auszahlung von null. Die relative Lage der tatsächlichen Call- Preise bietet bereits einen Hinweis auf die Marktmeinung der Investoren. Verläuft die Call-Preiskurve im oberen Bereich (nahe der oberen Grenze; in rot gezeichnet), so wird von den Marktteilnehmern offensichtlich eine starke, positive Abhängigkeit zwischen den Einzelwerten vermutet. Liegt die Kurve der Marktpreise jedoch nahe der Preiskurve der unabhängigen Call-Preise, so wird keine oder nur eine geringe Abhängigkeit zukünftiger Aktienkurse angenommen. Im direkten Vergleich sehen wir, dass am 4. Oktober 2011 eine höhere Abhängigkeit erwartet wird als noch am 4. März 2010. Wir wenden nun die zwei vorgestellten Maße an, welche Auskunft über das Level an Abhängigkeit zwischen den Basiswerten geben und werden damit Rückschlüsse auf die Meinung der Marktteilnehmer ziehen. Die Ergebnisse sind in t Abb. 03 dargestellt. Das Komonotonie- Verhältnis fällt monoton mit leichter Krümmung. Wie bereits angesprochen, ist die Aussagekraft des Komonotonie-Verhältnisses für Optionen, die weit im Geld gehandelt werden, eingeschränkt, sodass eine direkte Schlussfolgerung auf die Furcht der Investoren im Kapitalmarkt unserer Einschätzung nach nicht ableitbar ist. Das Komonotonie-Verhältnis sowie das Prospektive-Abhängigkeitsmaß. Das Komonotonie-Verhältnis approximiert die Kurve des neu eingeführten Prospektiven-Abhängigkeitsmaßes am rechten Intervallrand. Im Gegensatz zum Komonotonie-Verhältnis verläuft das Prospektive- Abhängigkeitsmaß nicht monoton. Für Optionen, die deutlich im Geld liegen, liefert die Auswertung des prospektiven Maßes erheblich geringere Werte um 0,5. Die Kurve erreicht in unserem Beispiel ihr Maximum für am Geld gehandelte Optionen und fällt anschließend analog zum Komonotonie-Verhältnis mit steigender Moneyness ab, der Verlauf ähnelt dem Vega einer Call-Option. Dem Prospektiven-Abhängigkeitsmaß zufolge ist dies genau das Ausübungspreislevel, bei welchem die Furcht der Investoren eines komonotonen Verhaltens der Indexelemente am größten ist, bzw. für welches die stärkste positive Abhängigkeit unterstellt wird. Generell variiert die unterstellte Abhängigkeit für verschiedene Ausübungspreise nicht so stark wie bei der Messung anhand des Komonotonie-Verhältnisses. Die Tatsache, dass sowohl das Komonotonie-Verhältnis als auch das Pro- t Abb. 03

13 spektive-Abhängigkeitsmaß am linken Intervallrand höhere Werte annehmen, kann ebenfalls mit der Angst der Investoren vor einem Marktzusammenbruch begründet werden. Zusammenfassung Wir haben anhand des DAX illustriert, wie aus Preisen von Index-Optionen ein Maß für die implizit gehandelte, zukünftige Abhängigkeit zwischen den Basiswerten erstellt werden kann. Diese Größe kann Aufschluss darüber geben, ob die Marktteilnehmer aktuell von „viel“ oder „wenig“ Abhängigkeit ausgehen. Um die Frage im Titel aufzugreifen: Es kann zwar ein Maß für das Level an Abhängigkeit abgeleitet werden, nur schwerlich aber für die genaue Gestalt der Abhängigkeit, da hierfür die Menge an verfügbaren Informationen / Index-Optionen nicht ausreichend ist. Quellenverzeichnis sowie weiterführende Literaturhinweise: Bignozzi, V./ Puccetti, G./ Wang R. (2014): Concepts of countermonotonicity for pairs of random vectors. Working Paper. Buchen P. W./ Kelly, M. (1996): The maximum entropy distribution of an asset inferred from option prices. Journal of Finance and Quantitative Analysis, 31(1):143. Deutsche Börse. (2013): Guide to the equity indices of Deutsche Börse. Dhaene, J./ Linders, D./ Schoutens, W./ Vyncke, D. (2012): The herd behaviour index: A new measure for the implied degree of co-movement in financial markets. Insurance: Mathematics & Economics, 50(3), pp. 357-370. Heston, S. L. (1993): A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. The Review of Financial Studies 6 (2), pp. 327–343. Laurence, P. (2008): A new tool for correlation risk management: the market implied comonotonicity gap, Global Derivatives, Paris, Invited Talk. Mai, J.-F./ Scherer, M (2012): Simulating Copulas: Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications, Imperial College Press. Neri C./ Schneider L. (2012): Maximum entropy distributions inferred from option portfolios on an asset. Finance Stoch., 16(2), pp. 293-318. Neri C./ Schneider L. (2013): A family of maximum entropy densities matching call option prices. Applied Mathematical Finance, 20(6), pp. 548-577. Sklar, A. (1959): Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges, Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 8, pp. 229–231. Wang, B./ Wang, R. (2015): Joint mixability, Working Paper. Autoren Eva Marie Ebach ist Studentin des Elitestudiengangs Finance & Information Management an der TU München und Universität Augsburg. Unterstützt von der Emlyon Business School, befasst sie sich im Rahmen ihrer Masterarbeit am Finanzmathematik-Lehrstuhl der TU München mit der Konstruktion und Anwendung von Entropie-Dichten. Matthias Scherer ist Professor für Finanzmathematik an der Technischen Universität München. Zu seinen Forschungsschwerpunkten gehört die Modellierung von Abhängigkeiten. Lorenz Schneider ist Professor für Finanzmathematik an der Emlyon Business School in Lyon, Frankreich. In der Forschung beschäftigt er sich mit der Bestimmung von impliziten Wahrscheinlichkeitsdichten sowie mit Modellen mit stochastischer Volatilität und Korrelation für Rohstoffmärkte. Danksagung: Wir bedanken uns bei Stephan Höcht und Patrick Spitaler (Assenagon Asset Management) für wertvolle Diskussionen über kapitalmarktspezifische Fragen. Anzeige Fachbücher für Risikomanagement-Profis: Niehoff | Hirschmann (Hrsg.) Heuter | Igl (Hrsg.) Brennpunkt Risikomanagement und Regulierung Wilhelm Niehoff | Stefan Hirschmann (Hrsg.) Brennpunkt Risikomanagement und Regulierung Handbuch ICAAP Henning Heuter | Andreas Igl (Hrsg.) Handbuch ICAAP ISBN 978-3-86556-428-3 Art.-Nr. 22.511-1500 256 Seiten, gebunden ISBN 978-3-86556-438-2 Art.-Nr. 22.515-1500 59,00 Euro 360 Seiten, gebunden 69,00 Euro Weitere Fachbücher in unserem Shop: www.bank-verlag-shop.de Bank-Verlag GmbH I Wendelinstraße 1 I 50933 Köln I Telefon: +49-221-5490-500 I E-Mail: medien@bank-verlag.de

RISIKO MANAGER

RISIKO MANAGER 01.2019
RISIKO MANAGER 02.2019
RISIKO MANAGER 03.2019
RISIKOMANAGER_04.2019
RISIKO MANAGER 05.2019
RISIKO MANAGER 06.2019
RISIKO MANAGER_07.2019
RISIKO MANAGER 08.2019
RISIKO MANAGER 09.2019
RISIKO MANAGER 10.2019
RISIKO MANAGER 01.2018
RISIKO MANAGER 02.2018
RISIKO MANAGER 03.2018
RISIKO MANAGER 04.2018
RISIKO MANAGER 05.2018
RISIKO MANAGER 06.2018
RISIKO MANAGER 07.2018
RISIKO MANAGER 08.2018
RISIKO MANAGER 09.2018
RISIKO MANAGER 10.2018
RISIKO MANAGER 01.2017
RISIKO MANAGER 02.2017
RISIKO MANAGER 03.2017
RISIKO MANAGER 04.2017
RISIKO MANAGER 05.2017
RISIKO MANAGER 06.2017
RISIKO MANAGER 07.2017
RISIKO MANAGER 08.2017
RISIKO MANAGER 09.2017
RISIKO MANAGER 10.2017
RISIKO MANAGER 01.2016
RISIKO MANAGER 02.2016
RISIKO MANAGER 03.2016
RISIKO MANAGER 04.2016
RISIKO MANAGER 05.2016
RISIKO MANAGER 06.2016
RISIKO MANAGER 07.2016
RISIKO MANAGER 08.2016
RISIKO MANAGER 09.2016
RISIKO MANAGER 10.2016
RISIKO MANAGER 01.2015
RISIKO MANAGER 02.2015
RISIKO MANAGER 03.2015
RISIKO MANAGER 04.2015
RISIKO MANAGER 05.2015
RISIKO MANAGER 06.2015
RISIKO MANAGER 07.2015
RISIKO MANAGER 08.2015
RISIKO MANAGER 09.2015
RISIKO MANAGER 10.2015
RISIKO MANAGER 11.2015
RISIKO MANAGER 12.2015
RISIKO MANAGER 13.2015
RISIKO MANAGER 15-16.2015
RISIKO MANAGER 17.2015
RISIKO MANAGER 18.2015
RISIKO MANAGER 19.2015
RISIKO MANAGER 20.2015
RISIKO MANAGER 21.2015
RISIKO MANAGER 22.2015
RISIKO MANAGER 23.2015
RISIKO MANAGER 24.2015
RISIKO MANAGER 25-26.2015
 

Copyright Risiko Manager © 2004-2017. All Rights Reserved.