Aufrufe
vor 3 Jahren

RISIKO MANAGER 11.2015

  • Text
  • Gleichung
  • Erwartungswert
  • Unternehmen
  • Optionen
  • Modus
  • Verteilung
  • Euler
  • Hermes
  • Parameter
  • Randverteilungen
RISIKO MANAGER ist die führende Fachzeitschrift für alle Experten des Financial Risk Managements in Banken, Sparkassen und Versicherungen.

10 Ausgabe 11/2015 Da,

10 Ausgabe 11/2015 Da, im Gegensatz zu den einzelnen Aktien, beim DAX keine Dividenden ausgeschüttet werden, ist die Vergleichbarkeit der entsprechenden risikoneutralen Dichten von DAX und deren Basiswerten nicht direkt gegeben. So ist etwa der diskontiert Gleichung 05 t Gleichung 06 t Gleichung 07 Ziel dieses Abschnitts ist die Berechnung von Call(T,K) M sowie Call(T,K) mittels einer Monte-Carlo-Simulation. Von nun an betrachten wir die kalibrierten Randverteilungen F 1 , … , F d als gegeben. Aus diesen können wir die Quantilsfunktionen herleiten, vgl. t Gleichung 05. Um eine Stichprobe einer Einzelaktie mit Verteilungsfunktion F i zu generieren, muss eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable U i erzeugt werden, welche dann in (U i ) =: S iT eingesetzt wird. Die so definierte Zufallsvariable S iT hat die gewünschte Verteilung und wird interpretiert als Aktienkurs der i-ten Aktie zum Zeitpunkt T. Für unabhängige Aktienkurse S 1T , … , S dT müssen nun lediglich unabhängige U 1 , … , U d simuliert werden und diese in die entsprechenden Quantilsfunktionen eingesetzt werden. Für komonotone Aktienkurse wird exakt eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable U gezogen und in alle d Quantilsfunktionen eingesetzt. Mittels der so erhaltenen unabhängigen (bzw. komonotonen) simulierten Aktienkurse S 1T , … , S dT kann schließlich ein simulierter Indexwert berechnet werden. Für den DAX ist dies ausführlich nachstehend beschrieben. Für solch ein Szenario kann dann die (diskontierte) Auszahlung einer gewünschten Option berechnet werden. Dieses Verfahren wird nun für genügend viele Szenarien wiederholt und der gesuchte Optionspreis durch den Mittelwert der diskontierten Optionspreise aller Szenarien geschätzt. Für komonotone Preise ist auch eine analytische Lösung denkbar, da im stochastischen Modell nur eine Zufallsvariable U beteiligt ist, gegen welche ausintegriert werden kann. Man erhält t Gleichung 06, wobei die Funktion h den Zusammenhang von Einzelaktien zu Index beschreibt, welcher für den DAX im Folgenden erläutert wird. allen Dichten f, die die Nebenbedingungen gemäß t Gleichung 03 für K = K i , i = 1, …,n erfüllen, wähle diejenige, die die Entropie H in t Gleichung 04 maximiert. Buchen und Kelly [vgl. Buchen und Kelly 1996] waren die ersten, die diesen Ansatz für das beschriebene Problem mit Call- Optionspreisen gelöst haben. Die Dichte f ist in diesem Fall stetig und stückweise exponentiell. Um die Parameter der Dichte zu finden, muss ein n-dimensionales Optimierungsproblem gelöst werden. Neri und Schneider [vgl. Neri und Schneider 2012] zeigen, wie sich der Algorithmus von Buchen und Kelly auf n eindimensionale Optimierungsprobleme vereinfachen lässt, wenn zu den Call-Optionspreisen Call(K 1 ), … , Call(K n ) noch die Preise digitaler Call-Optionen Digital(K 1 ),…, Digital(K n ) an denselben Ausübungspreisen vorliegen. Fügt man noch die Preise Call(0) und Digital(0) dieser Optionen mit Ausübungspreis K 0 = 0 hinzu, so ist sichergestellt, dass der Forward-Preis forward(T) = [S T ] getroffen wird, und dass f = 1 gilt. Die Autoren [vgl. Neri und Schneider 2013] zeigen ferner, dass dieser neue Algorithmus zu einer Vereinfachung und Stabilisierung des ursprünglichen Algorithmus von Buchen und Kelly führt, auch in dem Fall, in dem keine Preise digitaler Optionen vorliegen. In unserer Studie haben wir alle Dichten der Randverteilungen mit diesem letzteren Algorithmus berechnet. Exemplarisch werden die so gewonnenen Dichten in t Abb. 01 für den DAX visualisiert. Im nächsten Abschnitt werden wir die Quantilsfunktionen , i = 1, ... , d der Verteilungsfunktionen F i der Randverteilungen benötigen. Ein Vorteil der von uns verwendeten Entropie-Dichten liegt darin, dass ihre Umkehrfunktionen sehr einfach analytisch berechnet werden können und nicht, wie im Fall lognormaler Dichten, auf numerische Verfahren zurückgegriffen werden muss. Berechnung der Call-Preise unter Unabhängigkeit bzw. Komonotonie Berechnung des DAX-Performance- Index Der DAX-Performance-Index gehört zu den kapitalisierungsgewichteten Marktindizes, das heißt, die Gewichtung der Basiselemente hängt maßgeblich von der aktuellen Marktkapitalisierung aller Einzelaktien ab. Da es sich um einen Performance-Index handelt, werden alle Dividenden und Bonuszahlungen sofort reinvestiert. Typischerweise wird für die Berechnung des Indexwerts an einem bestimmten Zeitpunkt die sogenannte Laspeyres-Index- Formel verwendet. Diese lässt sich jedoch durch eine Verwendung von relativen Gewichten und einem konstanten (bis zur nächsten Änderung der Zusammensetzung des Index) Anpassungsfaktor zu t Gleichung 07 vereinfachen [vgl. Deutsche Börse 2013]. Im Zähler werden die aktuellen Marktpreise S 1t , … , S dt der Basiselemente gemäß ihrer relativen Gewichte w it zu einem Gesamtwert aufsummiert. Die relativen Gewichte enthalten Informationen über die Anzahl der Aktien jedes Basiswerts die notwendig sind, um den Index exakt nachzubilden. Der Anpassungsfaktor A berücksichtigt, wie viele Aktien bereits bei Aufnahme des jeweiligen Basiswerts im Markt vorhanden waren sowie den zu diesem Zeitpunkt geltenden Aktienkurs. Der Anpassungsfaktor A sowie die relativen Gewichte werden von der Deutschen Börse online zur Verfügung gestellt. Bereinigung um Dividendenzahlungen

11 te, zukünftige Erwartungswert (unter dem risikoneutralen Maß) jeder Dividendenausschüttenden Aktie unterhalb ihres aktuellen Werts, wärend für den DAX als Performance-Index der diskontierte, zukünftige Erwartungswert (wieder unter dem risikoneutralen Maß) mit dem heutigen Wert des DAX übereinstimmen muss. Zur Vergleichbarkeit muss demnach eine Anpassung bzw. Bereinigung der DAX- Call-Preise um eine (hypothetische) Dividendenzahlung vorgenommen werden. Diese Umrechnung machen wir für DAX- Call-Optionen mittels der klassischen BSM-Formel mit geschätzten Dividendenrenditen und den tatsächlichen impliziten Volatilitäten der Marktpreise. Um die fiktiven Dividendenrenditen für den DAX zu ermitteln, werden über den Zeitraum des vergangenen Jahres alle ausgezahlten Dividenden der Basiswerte aufsummiert und diese Summe durch den Endwert des DAX dividiert. Die auf diese Weise ermittelte historische Dividendenrendite wird als Schätzung für die fiktive, zukünftige Dividendenrendite im DAX herangezogen. Die in t Abb. 02 verwendete (blau gezeichnete) Kurve an DAX-Call-Preisen ist daher nicht die am Markt beobachtete, sondern eine um fiktive Dividendenzahlungen bereinigte Kurve, welche etwas unter den tatsächlichen Marktpreisen liegt. Alternativ wäre es auch möglich gewesen, die risikoneutralen Dichten aller Einzelaktien zu bereinigen, sie quasi um die erwarteten Dividenden „nach oben“ zu verschieben. impliziten Volatilität. Der DAX-Volatilitätsindex (VDAX) nimmt am 1. März 2010 einen „normalen“ Wert an und entspricht daher einem üblichen Handelstag. Am 4. Oktober 2011 dagegen herrscht eine besonders hohe implizite Volatilität, dies soll für einen „unruhigen“ Handelstag stehen. Auch am Marktumfeld lässt sich dieser Unterschied feststellen. Am 1. März 2010 notierte der DAX bei 5714,95 Punkten und befand sich auf einem leichten Aufwärtstrend im Vergleich zur Vorwoche. Am Finanzmarkt wurden Rettungsaktionen Griechenlands debattiert, was Hoffnung unter den Marktteilnehmern mit Investitionen in griechischen Anleihen verbreitete. Im Oktober 2011 hatte sich die Lage jedoch zugespitzt. Griechenland konnte sein Versprechen zur Senkung des Haushaltsdefizits nicht einhalten, sodass sich Befürchtungen eines Zahlungsausfalls Griechenlands verdichteten. Weitere Hilfen für Griechenland wurden zwar diskutiert, ließen jedoch auf sich warten. Auch im DAX machten sich diese Unruhen bemerkbar. Dieser fiel im Vergleich zur Vorwoche am 4. Oktober 2011 um gut 400 Punkte auf einen Stand von 5216,71 Punkten. Call-Optionspreiskurven unter den Annahmen von Unabhängigkeit und Komonotonie t Abb. 02 zeigt den Vergleich der drei Call-Optionspreiskurven für den 1. März 2010 sowie den 4. Oktober 2011. Um sicherzustellen, dass eine ausreichende Liquidität vorhanden ist, beschränken wir die Analyse auf Optionen mit einer Moneyness von 0,8-1,3. Die tatsächlich am Markt beobachtbaren Preise von DAX-Optionen werden – wie erwartet – nach oben durch die komonotone Call-Preiskurve begrenzt und nach unten durch die unter Unabhängigkeit berechneten Preise. Das höhere Marktrisiko, welches durch Komonotonie als Abhängigkeit impliziert wird, spiegelt sich in einem höheren Wert der Call-Optionspreise wider. Unterhalb der tatsächlichen Preiskurve verläuft die Call-Preiskurve, welche synthetisch unter der Annahme von Unabhängigkeit zwischen den DAX- Basiswerten ermittelt wurde. Weiter kann t Abb. 02 DAX-Call-Preise (blau) sowie virtuelle Preise berechnet unter einer Komonotonie-Annahme (rot) sowie Unabhängigkeit (gelb). Empirische Analyse Die vorgestellten Methoden sollen nun exemplarisch auf den deutschen Aktienmarkt angewandt werden, um Auskunft über die Marktmeinung der Investoren über zukünftige Abhängigkeiten zu erhalten. Hierfür greifen wir auf Call-Preise des DAX sowie dessen Basiselemente zu, die gewählte Laufzeit ist T = 1. Während für den Index europäische Optionen gehandelt werden, sind für die Basiselemente oft ausschließlich Optionen mit amerikanischer Ausübungsweise verfügbar. Diese Inkonsistenz sollte jedoch kaum Auswirkung auf das Endergebnis haben. Wir wählen exemplarisch die Tage 1. März 2010 sowie 4. Oktober 2011, welche zwei verschiedene Marktphasen repräsentieren sollen. Eine Marktphase charakterisieren wir anhand der Höhe der

RISIKO MANAGER

RISIKO MANAGER 01.2019
RISIKO MANAGER 02.2019
RISIKO MANAGER 03.2019
RISIKOMANAGER_04.2019
RISIKO MANAGER 05.2019
RISIKO MANAGER 06.2019
RISIKO MANAGER_07.2019
RISIKO MANAGER 08.2019
RISIKO MANAGER 09.2019
RISIKO MANAGER 10.2019
RISIKO MANAGER 01.2018
RISIKO MANAGER 02.2018
RISIKO MANAGER 03.2018
RISIKO MANAGER 04.2018
RISIKO MANAGER 05.2018
RISIKO MANAGER 06.2018
RISIKO MANAGER 07.2018
RISIKO MANAGER 08.2018
RISIKO MANAGER 09.2018
RISIKO MANAGER 10.2018
RISIKO MANAGER 01.2017
RISIKO MANAGER 02.2017
RISIKO MANAGER 03.2017
RISIKO MANAGER 04.2017
RISIKO MANAGER 05.2017
RISIKO MANAGER 06.2017
RISIKO MANAGER 07.2017
RISIKO MANAGER 08.2017
RISIKO MANAGER 09.2017
RISIKO MANAGER 10.2017
RISIKO MANAGER 01.2016
RISIKO MANAGER 02.2016
RISIKO MANAGER 03.2016
RISIKO MANAGER 04.2016
RISIKO MANAGER 05.2016
RISIKO MANAGER 06.2016
RISIKO MANAGER 07.2016
RISIKO MANAGER 08.2016
RISIKO MANAGER 09.2016
RISIKO MANAGER 10.2016
RISIKO MANAGER 01.2015
RISIKO MANAGER 02.2015
RISIKO MANAGER 03.2015
RISIKO MANAGER 04.2015
RISIKO MANAGER 05.2015
RISIKO MANAGER 06.2015
RISIKO MANAGER 07.2015
RISIKO MANAGER 08.2015
RISIKO MANAGER 09.2015
RISIKO MANAGER 10.2015
RISIKO MANAGER 11.2015
RISIKO MANAGER 12.2015
RISIKO MANAGER 13.2015
RISIKO MANAGER 15-16.2015
RISIKO MANAGER 17.2015
RISIKO MANAGER 18.2015
RISIKO MANAGER 19.2015
RISIKO MANAGER 20.2015
RISIKO MANAGER 21.2015
RISIKO MANAGER 22.2015
RISIKO MANAGER 23.2015
RISIKO MANAGER 24.2015
RISIKO MANAGER 25-26.2015
 

Copyright Risiko Manager © 2004-2017. All Rights Reserved.