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12 RISIKO MANAGER 08|2016 mend und konvex ist sind die beiden Renditen (Forward Swap Rate bzw. erwartete Rendite ) nicht identisch und die erwartete Rendite ist größer als die Forward Swap Rate wie die obige Abb. 01 zeigt [vgl. Benhamou 2000, S. 4 - 6]. Grundsätzlich erfolgt die Bewertung eines derartigen Kapitalmarktfloaters damit in den folgenden drei Schritten [vgl. Hull 2015, S. 844]: » Berechnung der erwarteten Auszahlung(en) bzw. Zinssätze unter der Annahme, dass der Erwartungswert jeder zugrunde liegenden Variablen gleich ihrem Forward-Wert ist, » Anpassung des Forward-Werts der Variablen (d. h. Ermittlung des Convexity Adjustment) und » Diskontierung der erwarteten Auszahlung(en) mit dem zwischen Bewertungszeitpunkt und Zahlungstermin(en) geltenden Zinssatz. Kehren wir nun zu unserem exemplarischen Kapitalmarktfloater als Erscheinungsform variabel verzinslicher Anleihen zurück und betrachten im ersten Schritt die erwarteten Auszahlungen bzw. Zinssätze unter der Annahme, dass der Erwartungswert jeder zugrunde liegenden Variablen gleich ihrem Forward-Wert ist. Hierfür werden zunächst die Zahlungszeitpunkte des Referenzzinssatzes (5-Jahres-Euro-Constant-Maturity-Swapsatz) für die verschiedenen Tage des Zins-Fixing-Start bzw. Zins-Fixing-Ende unter Berücksichtigung des Bewertungszeitpunkts 20. Juni 2014 in Abb. 02 zusammengetragen. Für die Berechnung der erwarteten Auszahlungen bzw. Zinssätze werden hieraus die Zeitspannen zwischen Zins-Fixing-Tag Start und Zahlungszeitpunkt 1 des Referenzindex bzw. zwischen den aufeinanderfolgenden Zahlungszeitpunkten ij des Referenzindexes gemäß der Tageszählkonventionen ACTLEAP bzw. ACT/ACTISDA des Referenzindex (5-Jahres-Euro-Constant-Maturity-Swapsatz) kalkuliert, d. h. es werden zu den durch 365 dividierten Tagen in Nichtschaltjahren die durch 366 dividierten Tage in Schaltjahren addiert [vgl. OpenGamma 2013, S. 7]. Anschließend werden die Diskontierungsfaktoren des Referenzzinssatzes für die Zeitspanne vom Bewertungszeitpunkt bis zum Zins-Fixing-Tag Start bzw. Zahlungszeitpunkt des Referenzindex ebenfalls in Abb. 02 zusammengetragen. In dieser Abbildung wird für das Ausrollen der variablen Cashflows die Fixing-Kurve zur Abbildung des Referenzindex [vgl Seifried 2013, S. 54] mit genutzt. Aufgrund des in diesem Aufsatz aus Vereinfachungsgründen verwendeten Modells mit einer Zinskurve wird hier unterstellt, dass es eine eindeutige Zinsstrukturkurve gibt, die sowohl zur Ermittlung der Forwards des variablen Referenzzinssatzes als auch als Discount-Kurve mit zur weiter unten durchgeführten Diskontierung gegebener Cashflows herangezogen wird [vgl. Kruse 2014, S. 30]. Mit den oben kalkulierten Zeitspannen und Diskontierungsfaktoren können nun die der erwarteten Auszahlungen bzw. Zinssätze ermittelt werden. Dabei ergibt sich beispielsweise die in der Tabelle ablesbare Forward Rate für den Zins-Fixing-Tag 30. Oktober 2014 in Höhe von = 0,005072417 aus (0,998172906 − 0,973237940) ÷ (0,993138073 × 1,000000000 + 0,988114947 × 1,000471592 + 0,983130847 × 0,999528408 + 0,978171887 × 1,000000000 + 0,973237940 × 1,000000000) bzw. aus der Differenz aus Diskontierungsfaktoren für den Zins-Fixing-Tag Start sowie dem fünften Zahlungszeitpunkt des Referenzindex dividiert durch das Summenprodukt aus Zeitspannen zwischen den aufeinanderfolgenden Zahlungszeitpunkten ij des Referenzindexes und den Diskontierungsfaktoren bis zum Zahlungszeitpunkt des Referenzindex. Als zweiter Schritt erfolgt nun die Anpassung dieses Forward-Werts der Variablen (d. h. die Ermittlung des Convexity Adjustment). Hierfür wird zunächst der Cashflow des Referenzindex (Constant Maturity Swap) als Produkt aus Forward Rate und Zeitspanne ausgerollt. Anschließend werden die Zeitspannen zwischen Zins-Fixing-Tag Start und Zahlungszeitpunkten des Referenzindex gemäß der Tageszählkonventionen des Referenzindex kalkuliert. Hierauf aufbauend können die Diskontierungsfaktoren des Referenzzinssatzes für die Zeitspanne vom Bewertungszeitpunkt bis zum Zahlungszeitpunkt des Referenzindex zusammengetragen werden. Dabei ergibt sich beispielsweise der in der Tabelle ablesbare Barwert des Cashflows (inklusive Nennwert) des Referenzindexes in Höhe von 0,999990833 aus (0,005073331 × 0,994943006 + 0,005075724 × 0,989930035 + 0,005070938 × 0,984933143 + 0,005073331 × 0,979961474 + 0,005073331 × 0,975005815) + (1 × 0,975005815) bzw. aus dem Summenprodukt der Cashflows des Referenzindex und der Diskontierungsfaktoren des Referenzzinssatzes zuzüglich des Barwerts des Nennwerts mit Zahlungszeitpunkt 5. Ebenfalls sind die Diskontierungsfaktoren des um + 0,0001 bzw. -0,0001 geschockten Referenzzinssatzes zusammengetragen. Nach diesen Vorbereitungen kann nun auch das Convexity Adjustment auf Basis der Dollar Duration [vgl. Hull 2015, S. 1008] und der Dollar Convexity ausgewiesen werden. Dabei ergibt sich beispielsweise die in der Tabelle ablesbare Dollar Duration (DD) für den Zins-Fixing-Tag 30.Oktober 2014 in Höhe von 4,924805578 aus 0,0001) bzw. 0,5 mal der Differenz aus dem Barwert des Cashflows des um -0,0001 geschockten Referenzzinssatzes und dem Barwert des Cashflows des um +0,0001 geschockten Referenzzinssatzes dividiert durch den Schock von 0,0001 [vgl Jorion 2011, S. 133]. Die ebenfalls in der Tabelle ablesbare Dollar Convexity (DC) für den Zins-Fixing-Tag 30. Oktober 2014 in Höhe von 29,300536952 ergibt sich aus (0,5 × (0,999507666 + 1,0004926272 × 1,000000000) ÷ (0,0001)² bzw. dem Barwert des Cashflows des um -0,0001 geschockten Referenzzinssatzes zuzüglich dem Barwert des Cashflows des um +0,0001 geschockten Referenzzinssatzes abzüglich zwei Mal den Barwert des Cashflows ohne Schock des Referenzzinsatzes dividiert durch den quadrierten Schock von 0,0001 [vgl Jorion 2011, S. 134]. Das Convexity Adjustment für den Zins-Fixing-Tag 30. Oktober 2014 in Höhe von 0,000004429 ergibt sich aus 0,5 × 29,300536952 ÷ 4,924805578 × (0,005072417)² ×
Marktrisiko 13 (0,400000000)² × 0,361643836 bzw. 0,5 mal die Dollar Convexity dividiert durch Dollar Duration mal die quadrierte Forward Rate mal die quadrierte Volatilität mal Zeitspanne von Bewertungsdatum bis zum Zins-Fixing-Tag Start [vgl. Benhamou 2000, S. 2]. Nun sind hieraus noch die erwarteten Auszahlung(en) bzw. der Cashflow (CT) zu berechnen. Dabei ergibt sich der in Abb. 02 ausgewiesene adjustierter Kupon für den Zins-Fixing-Tag 30. Oktober 2014 in Höhe von 0,002531468 aus (0,498630140 × (0,005072417 + 0,000004429)) bzw. aus dem Produkt von Kuponperiodenlänge gemäß act/365 und der Summe von sowie Convexity Adjustment (CA). Im dritten Schritt werden nun die in dem exemplarischen Kapitalmarktfloater verbrieften Zahlungen für Zinsen und Tilgung [vgl. zu dem sogenannten Cashflow in Abb. 02 Becker 2013, S. 100] betrachtet zwecks Diskontierung der erwarteten Auszahlungen mit dem zwischen Bewertungszeitpunkt und Zahlungsterminen geltenden Zinssatz der Discount-Kurve , der in diesem Aufsatz aus Vereinfachungsgründen vom Kreditrisiko und somit dem Credit Spread als Risikoaufschlag für kreditrisikobehaftete Positionen [vgl. Bundesbank 2013, S. 36] durch die Annahme von = 0,00 % abstrahiert. Insofern stellt für Kreditin stitute die angemessene Berücksichtigung von Credit-Spread-Risiken keine Herausforderung dar, da diese Annahme aufgehoben werden kann [vgl. Kronenberg 2016, S. 56]. Der in Abb. 02 ebenfalls ablesbare Dirty Value (DV) am 20. Juni 2014 ergibt sich nun als Barwert dieses Cashflows [vgl. Jorion 2011, S. 128]: DV = CT × (1+y) mit t = Tage/360. Die so durchgeführte Berechnung des Dirty Value (DV) lässt sich nun für unterschiedliche Kombinationen aus Zinssatz und gegebener Volatilität in Abb. 03 wiederholen: Offenbar ist der Dirty Value (DV) umso größer, je höher die Volatilität bei gegebenem Zinssatz ist. Einen derartig eindeutigen Zusammenhang für eine gegebene Volatilität ist hingegen nicht feststellbar. Die weitergehende Integration von Kapitalmarktfloatern in die Kursrisikomessung erfordert nunmehr noch die mit EDV-Anwendungen wie SimCorp Dimension effizient durchzuführende historische Simulation mit einer Vielzahl von Kombinationen aus Zinssatz, Volatilität und resultierendem Dirty Value (DV) in den folgenden Schritten: » Simulation der absoluten Tageserträge der Zero-Bond-Renditen (Swap und Swapspread) und Ermittlung der Schocks durch Skalierung [vgl Jorion 2011, S. 297] der Tageserträge auf 250 Handelstage (Haltedauer), » Simulation der relativen Tageserträge der Volatilitäten und Ermittlung der Abb. 03 Dirty Value des Kapitalmarktfloaters in Abhängigkeit vom Zinssatz mit (EURSWPRNS: 40.00 %) und ohne (EURSWPRNS: 40,00 %) Convexity Adjustment 30.600.000,00 30.500.000,00 30.400.000,00 30.300.000,00 Dirty Value (EUR) 30.200.000,00 30.100.000,00 30.000.000,00 29.900.000,00 29.800.000,00 29.700.000,00 29.600.000,00 -4,00 -3,56 -3,12 -2,69 -2,25 -1,81 -1,37 -0,94 -0,50 -0,06 0,38 0,81 1,25 1,69 2,13 2,56 3,00 3,44 3,88 4,31 4,75 5,19 5,63 6,06 6,50 6,94 7,38 7,82 8,25 8,69 9,13 9,57 Zinssatz (%)
