10 Ausgabe 08/2015 ist,
10 Ausgabe 08/2015 ist, einfach simuliert werden, da F L (L t ) dann gleichverteilt ist. Die asymptotische Normalverteilungseigenschaft wird für die Bestimmung entsprechender p-Werte daher nicht benötigt. Für die Schwellen der Baseler Ampel einer 99 Prozent- bzw. 95 Prozent-Auftrittswahrscheinlichkeit ergeben sich für = 97,5 Prozent und N = 250 die Werte 9,7 bzw. 5,7. Für den Value at Risk ergeben sich zum Vergleich die Werte 17 und elf. Das Zusammenspiel dieser Statistiken kann anhand der historischen Simulation für das Anleiheportfolio verdeutlicht werden. In t Abb. 02 sind der Value-at-Risk- Ausreißerprozess BT VaR ( = 97,5 Prozent; N) und BT ES ( = 97,5 Prozent; N) als Funktion der Anzahl Beobachtungen (beginnend am 2. Januar 2008, endend am 31. Dezember 2008) aufgetragen. Der gedämpfte Anstieg von BT ES (97,5 Prozent; N) ist auf die Gewichtung jedes Ausreißers in t Gleichung 07 zurückzuführen. Am Ende des Beobachtungszeitraums (N=232 Beobachtungen) sind BT VaR ( = 97,5 Prozent; 232) = 14 und BT ES (97,5 Prozent; 232) = 4,2. Die Baseler Ampel wäre für den Value at Risk daher gelb und in analoger Anwendung für den Expected Shortfall grün. Das strengere Urteil bezüglich des Value at Risk (dem Aufsatzpunkt der Flügelverteilung) wird in der Statistik des Expected Shortfalls also verwässert. Diese Einschätzung wird durch die Beobachtung unterstrichen, dass auf den Konfidenzniveaus der Stützstellen in der Zwei- Punkt-Gauß-Näherung BT VaR ( = 98 Prozent; 232) = 12 und BT VaR ( = 99,5 Prozent; 232) = 7 gilt. Die Schwellenwerte der Baseler Ampel zugrunde legend, wird die erste Stützstelle als gelb eingeschätzt, die zweite als rot. Etwas verallgemeinert spricht der Befund gegen die Konstruktion einer einzelnen Statistik für den Expected Shortfall insgesamt, da das scharf zu definierende Ausreißerkriterium des Value at Risk stets in irgendeiner Weise gewichtet und damit verwässert werden muss. Diesem Umstand kann einerseits durch ein gestaffeltes Backtesting auf den Quadraturformeln, wie vorstehend diskutiert, oder durch zweistufige Verfahren, in denen zuerst ein klassischer Value-at-Risk- Test zum Konfidenzniveau , danach ein Test auf der Flügelverteilung bezüglich des Expected Shortfalls durchgeführt wird, begegnet werden. In der zweiten Variante fällt die Statistik in t Gleichung 07 auf Vorgehensweisen zurück, die ebenfalls auf t Gleichung 08 Scoring-Funktionbasierte Statistik für den Expected Shortfall transformierten Beobachtungen beruhen [Kerkhof/Melenberg 2004, Berkowitz 2001, jüngst auch Acerbi/Scékely 2014]. Streumaße auf der Flügelverteilung Der Expected Shortfall ist der Mittelwert der Flügelverteilung t () in jedem Beobachtungszeitpunkt t. Diese Feststellung aufgreifend, schlagen Righi/Ceretta [Righi/ Ceretta 2013, McNeill/Frey/Embrechts 2005, S. 163] vor, den Quotienten aus dem Abstand der realisierten Clean-P&L zu Mittelwert ES ,t und Standardabweichung ,t der Flügelverteilung zu betrachten, also die Statistik . Aus dieser Grundidee lässt sich eine Backtesting-Statistik auf Basis der Scoring-Funktion s (x t , y t ) = (x t – y t ) 2 des Mittelwerts konstruieren. Der Mittelwert von t () ist der Expected Shortfall und der Score bei korrektem Schätzer () – ES 2 t ,t . Dessen Erwartungswert t t ()– ES 2 ,t ist die Varianz der Flügelverteilung. Gegeben eine Beobachtung im Flügel, stellt die in t Gleichung 08 definierte Statistik einerseits vergleichbar BT t ein Maß für die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung in der Flügelverteilung dar. Andererseits vergleicht sie direkt den Score der Beobachtung mit dem erwarteten Score bei korrekter Schätzung. Für die praktische Durchführung gelten die Ausführungen von Righi/Ceretta [Righi/Ceretta 2013] entsprechend. Da die Herleitung der Statistik lediglich der Abrundung der Diskussion der Rolle der Elizitierbarkeit dient, erfolgt keine quantitative Analyse anhand des illustrativen Anleiheportfolios. q Fazit und regulatorischer Ausblick Der Expected Shortfall verschließt sich nicht grundsätzlich dem Backtesting. Wie dargestellt, kann das theoretische Argument der fehlenden Elizitierbarkeit entkräftet werden, und es existieren bereits einige vielversprechende Vorschläge für Backtesting-Verfahren. Insbesondere können, wie aufgezeigt, die ausreißerbasierten Value-at- Risk-Statistiken über Gauß-Quadraturformeln auf ein solides theoretisches Fundament gesetzt werden. Die Entwicklung der aufsichtsrechtlichen Ausgestaltung des Expected-Shortfall-Regimes in der künftigen Eigenmittelunterlegung für das Handelsbuch ist noch nicht abgeschlossen [BCBS 2012, 2013, 2014, 2015]. In Bezug auf das Backtesting basiert im aktuellen Vorschlag die sogenannte Basel-Ampel, und somit die Herleitung des Skalierungsfaktors für das regulatorische Kapital, weiterhin auf dem 99-Prozent-Quantil des Value at Risk. Jedoch zeigt sich in der Vorgabe für die Zulassung von Handelstischen zum internen Modell, die auf dem Zählen von Ausreißern auf zwei Quantilen (97,5 Prozent und 99 Prozent) beruht, dass die Betrachtung mehrerer Quantile weiterhin Bestandteil der Diskussion ist. Über diese regulatorische Eigenmittelunterlegung hinaus ist abzuwarten, inwieweit sich der Expected Shortfalls in der internen Risikosteuerung und im Rahmen der Risikotragfähigkeit durchsetzen wird. Eine frühzeitige und fundierte Beschäftigung mit dem Backtesting des Expected Shortfalls und im weiteren Rahmen der zukünftigen Ausgestaltung der Risikomodellvalidierung ist in jedem Fall anzuraten. Quellenverzeichnis sowie weiterführende Literaturhinweise: Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (BCBS) [1996]: Supervisory framework for the use of “backtesting” in conjunction with the internal models approach to market risk capital requirements, Januar 1996. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (BCBS) [2011]: Messages from the academic literature on risk measurement for the trading book, Januar 2011. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (BCBS) [2012]: Fundamental review the trading book, Mai 2012. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (BCBS) [2013]: Fundamental review of the trading book: A revised market risk framework, Oktober 2013. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (BCBS) [2014]: Fundamental review of the trading book: outstanding issues, Dezember 2014. 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