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RISIKO MANAGER 07.2016

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8 RISIKO MANAGER 07|2016 H(t) (engl. hump terms) zu flexibleren Kurven mit identischem Startpunkt und gleichem Konvergenzniveau erweitert werden. Dies wird durch Festsetzen der Bedingungen und gewährleistet. Exemplarisch bieten sich für die erste Spezifikation aus Gleichung 08 verallgemeinerte additive Terme der Form , bzw. für die zweite Spezifikation aus Gleichung 08 multiplikative Terme der Form an jeweils für zwei beliebige Überlebensfunktionen und (siehe Gleichung 09). Für die Wahl der Verteilung aus Beispiel b.) für und sowie einer Exponentialverteilung für ergeben sich dann explizit die bekannten Nelson-Siegel-Kurven aus Gleichung 03, wenn eine Umparametrisierung mit vorgenommen wird. Schätzung der unbekannten Parameter Hat man sich für eines der oben genannten parametrischen Verfahren entschieden, verbleibt die Schätzung der unbekannten Modellparameter. Vernachlässigt man dabei zunächst die Existenz unterschiedlicher Ratingklassen und unterstellt die Verfügbarkeit eines vollständigen Datensatzes für die ersten N Jahre, so reduziert sich das Schätzproblem auf die Wahl eines geeigneten Minimierungskriteriums (beispielsweise quadratische oder absolute Abstände zwischen Beobachtungspunkten und theoretischer Modellkurve) sowie der anschließenden Lösung eines nichtlinearen Minimierungsproblems. Realistisch ist es dabei, von einer eingeschränkten Datenhistorie für die ersten Jahre auszugehen. Darüber hinaus ist im Rahmen der Schätzung sicherzustellen, dass die PD-Kurven unterschiedlicher Ratingklassen überschneidungsfrei sind und eine entsprechende Monotonie entsprechend der einjährigen Risikoklassifikation aufweisen. Idealerweise kann dies direkt über die Vorabspezifikation entsprechender Parameter der PD-Kurven erreicht werden. Zur exemplarischen Illustration der beschriebenen Methoden zeigt Abb. 2 bedingte PD-Kurven für verschiedene parametrische Modellierungsansätze. Dazu wurden in einem ersten Schritt für einen Zeithorizont von zehn Jahren zeitdiskrete bedingte PDs durch Aufmultiplizieren der gemittelten Standard & Poor‘s Rating-Migrationsmatrix für die Jahre 1981 bis 2013 erzeugt. Anschließend wurden die parametrischen Verteilungsmodelle durch Minimierung der quadratischen Abstände zu diesen Datenpunkten angepasst. Während beispielsweise die Chen-Verteilung restriktiv in ihrer Verlaufsform ist, zeigen insbesondere die Fisk-Verteilung und das Nelson-Siegel-Modell (in Form von Gleichung 03) ein flexibles Anpassungsverhalten mit stabilen Konvergenzeigenschaften. Fazit und Ausblick Die Modellierung von PD-Kurven mit parametrischen Verteilungsmodellen kann einen wichtigen Beitrag zur Bestimmung von erwarteten Verlusten für langfristige Zeithorizonte leisten. Die Anforderungen, die dabei an geeignete methodische Ansätze gestellt werden, sind zum einen hohe Flexibilität im Hinblick auf die Anpassung an Datenpunkte vorab bestimmter diskreter PD-Kurven, zum anderen ein stabilies Konvergenzverhalten, das Extrapolation auch über lange Zeithorizonte ermöglicht. Weitführende Fragestellungen, insbesondere im Kontext der Rechnungslegungsvorschrift IFRS 9 ergeben sich durch die Anforderung, auch konjunkturelle Einflüsse in PD Profile zu integrieren. Dies könnte beispielsweise durch die Einführung weiterer Parameter im Sinn makroökonomischer Kovariablen oder zusätzlicher Höckerterme realisiert werden. Die hier dargestellten Inhalte spiegeln die Sichtweise der Autoren wider und sind nicht notwendigerweise deckungsgleich mit der Position der BayernLB. Quellenverzeichnis sowie weiterführende Literaturhinweise Björk, T./Christensen, B. J. (1999): Interest Rate Dynamics and Consistent Forward Rate Curves, Mathematical Finance 9(4):323–348. 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