Aufrufe
vor 3 Jahren

RISIKO MANAGER 07.2016

  • Text
  • Institute
  • Unternehmen
  • Banken
  • Risiko
  • Risiken
  • Valuation
  • Modelle
  • Prudent
  • Insbesondere
  • Standardansatz
RISIKO MANAGER ist das führende Medium für alle Experten des Financial Risk Managements in Banken, Sparkassen und Versicherungen. Mit Themen aus den Bereichen Kreditrisiko, Marktrisiko, OpRisk, ERM und Regulierung vermittelt RISIKO MANAGER seinen Lesern hochkarätige Einschätzungen und umfassendes Wissen für fortschrittliches Risikomanagement.

6

6 RISIKO MANAGER 07|2016 Gleichung 07 Gleichung 08 Gleichung 09 verallgemeinerte Exponentialverteilung von Gupta/Kundu [Gupta/Kundu 1999] (für c=1) enthält. Ihre Survivorfunktion lautet . e) Eine vergleichsweise einfache Überlebensfunktion besitzt auch die Hyperbolische Tangensverteilung von Blickle et al. [Blickle et al. 1998], nämlich für und . f) Liegt das Interesse mehr auf Potenzfunktionen als auf Exponentialfunktionen, kann beispielsweise auf die sog. Log-Logistische oder auch Fisk-Verteilung von Fisk [Fisk 1961] zurückgegriffen werden. Deren Survivorfunktion lautet . Die zu diesen Survivorfunktionen jeweils zugehörigen bedingten PDs sind in Gleichung 02 dargestellt. In Abhängigkeit der diesen Modellen zugrunde liegenden Parametrisierung ergeben sich unterschiedliche Kurvenverläufe. Für eine exemplarische Darstellung, siehe Abb. 01. Auf Basis der beschriebenen grundlegenden Überlebensfunktionen lassen sich jedoch durch nachfolgende Operationen ggfs. noch flexiblere Verteilungsmodelle konstruieren: 1. Transformation: mit und monoton wachsend, z. B. für . 2. Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation via . 3. Konvexkombination: . Zinsstrukturmodelle zur Modellierung von PD-Kurven Bei der Ableitung parametrischer Modelle für bedingte Wahrscheinlichkeiten oder verwandter Größen bietet sich alternativ auch ein Rückgriff auf bereits etablierte Modelle für Zinsstrukturkurven an. Erste Ideen dazu finden sich beispielsweise in [Bluhm/Overbeck/Wagner 2010], sowie [Hallblad, 2010]. Exkurs: Die Nelson-Siegel-Funktion [Nelson/Siegel 1987] (vgl. Gleichung 03) ist ein weit verbreitetes parametrisches Modell für Zinsstrukturkurven. Es lassen sich dabei insbesondere eine große Bandbreite verschiedener Kurven (u-förmig, s-förmig, monoton und invers u-förmig) abbilden. Die Parameter , und können dabei als Niveau-Faktor, Steigungsfaktor und Krümmungsfaktor interpretiert werden, während die Rate des exponentiellen Abfalls festlegt. Einen Überblick zu diesem Drei-Faktor- Modell sowie möglichen Erweiterungen findet man in [de Pooter 2007]. Darüber hinaus untersuchen Diebold/Piazzesi/Rudebusch [Diebold/Piazzesi/Rudebusch 2005] das Zwei-Faktor-Nelson-Siegel-Modell, welches sich als Spezialfall für ergibt, d. h. bei Reduktion des Modells um den 3. Summanden. Zur Gewinnung zusätzlicher Flexibilität kann das beschriebene Nelson-Siegel- Grundmodell auf verschiedene Arten erweitert werden. Eine Möglichkeit ist die Aufnahme zusätzlicher Faktoren bzw. Summanden [siehe Björk und Christensen 1999], die einen vierten Summanden einführen, um die Zinsstrukturkurve genauer zu approximieren (vgl. Gleichung 04). Die Autoren erweitern das Modell darüber hinaus auch zu einem Fünf-Faktor-Modell. Damit wird allerdings (im Kontext der Modellierung von Zinsstrukturkurven) nach Diebold/Rudebusch/Aruoba [Diebold/Rudebusch/Aruoba 2006] keine signifikante Verbesserung erreicht. Eine zweite Möglichkeit, die Flexibilität der beschriebenen Nelson-Siegel-Kurve zu erhöhen, besteht in der Auflösung der Annahme, dass die Steigungs- und Krümmungskomponente durch denselben Parameter beeinflusst wird. So diskutiert beispielsweise Bliss [Bliss 1997] die Schätzung einer Zinsstrukturkurve auf Basis eines Drei-Faktor-Nelson-Siegel-Models, jedoch für zwei unterschiedliche Parameter und (vgl. Gleichung 05). Eine weitere Spezifikation der Zinsstrukturkurve ist das sog. Vier-Faktor-Modell von [Svensson 1994]. Zur Erhöhung der Flexibilität des Nelson-Siegel-Modells schlägt dieser die Addition eines zweiten „Höcker-Terms“ mit separatem Parameter vor. Die damit resultierende Modellgleichung ist in Gleichung 06 dargestellt. Der Ansatz von Svensson modelliert insbesondere flexible Zeitverläufe mit mehr als einem lokalen Maximum bzw. Minimum im Zeitverlauf. Ausgangspunkt zur Übertragung der Ansätze aus der Modellierung von Zinsstrukturkurven auf PD-Kurven in Bluhm et al. [Bluhm et al. 2010] ist die Darstellung der Survivorfunktion über die zugrunde liegende Hazardrate als . Unter der

Kreditrisiko 7 Annahme, dass (durch Multiplikation mit t, bzw. allgemeiner mit , sodass und monoton wachsend, wird sichergestellt, dass es sich bei der Definition von tatsächlich um eine Survivorfunktion handelt) sowie der Verwendung des vereinfachten [Nelson/Siegel 1983] Zinsstruktur-Modells mit , resultiert dann die in Gleichung 07 dargestellte Überlebensfunktion , beziehungsweise bedingte . Dabei handelt es sich mit Blick auf die Definitionsgleichung der Survivorfunktion um eine modifizierte exponentielle Ausfallvariable. Weitere verallgemeinerte Modelle für bedingte Ausfallwahrscheinlichkeiten ergeben sich folglich beispielsweise durch Verwendung verallgemeinerter Zinsstruktur-Modelle bzw. verallgemeinerter Funktionen . Ersetzt man die spezifische Überlebensfunktion im Nelson-Siegel-Modell (siehe insbesondere auch Verteilungsbeispiel 2 am Anfang des Artikels) durch eine alternative Überlebensfunktionen , so ergeben sich weitere modifizierte, vereinfachte Nelson-Siegel-Verteilungen wie folgt: . Direkte Modellierung der bedingten Ausfallwahrscheinlichkeit In Anlehnung an Hallblad [Hallblad 2014] kann prinzipiell auch die direkte Modellierung beziehungsweise Parametrisierung der Form in Betracht gezogen werden. Dabei muss allerdings durch entsprechende Parameterrestriktionen der gewählten Zinsstruktur-Modelle die Bedingung sichergestellt werden. Darüber hinaus lässt sich unabhängig von theoretischen Vorüberlegungen eine flexible Parametrisierung von durch eine geschickte Skalierung einer vorab spezifizierten Survivorfunktion erzielen. Unter der Prämisse eines Startpunkts sowie eines Konvergenzniveaus für die bedingte PD lassen sich unter anderem zwei Grundformen unterscheiden (siehe Gleichung 08). Analog zu den oben genannten Zinsstruktur-Modellen können die so konstruierten, monoton fallenden PD-Kurven durch den Einbau von „Höckertermen“ Abb. 01 1.0 0.8 PD(t|t-1) 0.4 0.6 0.2 0.0 1.0 0.8 PD(t|t-1) 0.4 0.6 0.2 0.0 Abb. 02 0.010 0.008 Bedingte PD 0.004 0.006 Bedingte PD 0.002 0.000 0.15 0.10 0.05 0.00 Bedingte PD - Exponentialverteilung 1 2 3 t 4 5 Bedingte PD - Verteilung b.) Bedingte PD - Exponentielle Weibull Verteilung Bedingte PD - Fisk Verteilung Bedingte PD - Chen Verteilung Bedingte PD - Hyperbolische Tangensverteilung 1 2 3 t 4 5 1.0 0.8 PD(t|t-1) 0.4 0.6 0.2 0.0 1.0 0.8 PD(t|t-1) 0.4 0.6 0.2 0.0 Least Squares Fit und asymptotisches Verhalten Bedingte PD-Kurven mit initialem Rating A Fisk Hyp. Tangens Exponential Chen Nelson-Siegel Exponential Weibull 0 5 10 15 Jahr Least Squares Fit und asymptotisches Verhalten Bedingte PD-Kurven mit initialem Rating B Fisk Hyp. Tangens Exponential Chen Nelson-Siegel Exponential Weibull 0 5 10 15 Jahr 1 2 3 t 4 5 1 2 3 t 4 5 0.07 0.06 0.05 Bedingte PD 0.03 0.04 0.02 0.01 0.00 0.6 0.5 0.4 Bedingte PD 0.3 0.2 0.1 0.0 1.0 0.8 PD(t|t-1) 0.4 0.6 0.2 0.0 1.0 0.8 PD(t|t-1) 0.4 0.6 0.2 0.0 1 2 3 t 4 5 1 2 3 t 4 5 Least Squares Fit und asymptotisches Verhalten Bedingte PD-Kurven mit initialem Rating BB Fisk Hyp. Tangens Exponential Chen Nelson-Siegel Exponential Weibull 0 5 10 15 Jahr Least Squares Fit und asymptotisches Verhalten Bedingte PD-Kurven mit initialem Rating C Fisk Hyp. Tangens Exponential Chen Nelson-Siegel Exponential Weibull 0 5 10 15 Jahr

RISIKO MANAGER

RISIKO MANAGER 01.2019
RISIKO MANAGER 02.2019
RISIKO MANAGER 03.2019
RISIKOMANAGER_04.2019
RISIKO MANAGER 05.2019
RISIKO MANAGER 06.2019
RISIKO MANAGER_07.2019
RISIKO MANAGER 08.2019
RISIKO MANAGER 09.2019
RISIKO MANAGER 10.2019
RISIKO MANAGER 01.2018
RISIKO MANAGER 02.2018
RISIKO MANAGER 03.2018
RISIKO MANAGER 04.2018
RISIKO MANAGER 05.2018
RISIKO MANAGER 06.2018
RISIKO MANAGER 07.2018
RISIKO MANAGER 08.2018
RISIKO MANAGER 09.2018
RISIKO MANAGER 10.2018
RISIKO MANAGER 01.2017
RISIKO MANAGER 02.2017
RISIKO MANAGER 03.2017
RISIKO MANAGER 04.2017
RISIKO MANAGER 05.2017
RISIKO MANAGER 06.2017
RISIKO MANAGER 07.2017
RISIKO MANAGER 08.2017
RISIKO MANAGER 09.2017
RISIKO MANAGER 10.2017
RISIKO MANAGER 01.2016
RISIKO MANAGER 02.2016
RISIKO MANAGER 03.2016
RISIKO MANAGER 04.2016
RISIKO MANAGER 05.2016
RISIKO MANAGER 06.2016
RISIKO MANAGER 07.2016
RISIKO MANAGER 08.2016
RISIKO MANAGER 09.2016
RISIKO MANAGER 10.2016
RISIKO MANAGER 01.2015
RISIKO MANAGER 02.2015
RISIKO MANAGER 03.2015
RISIKO MANAGER 04.2015
RISIKO MANAGER 05.2015
RISIKO MANAGER 06.2015
RISIKO MANAGER 07.2015
RISIKO MANAGER 08.2015
RISIKO MANAGER 09.2015
RISIKO MANAGER 10.2015
RISIKO MANAGER 11.2015
RISIKO MANAGER 12.2015
RISIKO MANAGER 13.2015
RISIKO MANAGER 15-16.2015
RISIKO MANAGER 17.2015
RISIKO MANAGER 18.2015
RISIKO MANAGER 19.2015
RISIKO MANAGER 20.2015
RISIKO MANAGER 21.2015
RISIKO MANAGER 22.2015
RISIKO MANAGER 23.2015
RISIKO MANAGER 24.2015
RISIKO MANAGER 25-26.2015
 

Copyright Risiko Manager © 2004-2017. All Rights Reserved.