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RISIKO MANAGER 07.2016

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4 RISIKO MANAGER 07|2016 IFRS 9 Impairment von Finanzinstrumenten Parametrische Modellierung von PD-Kurven Mit der Einführung der Rechnungslegungsvorschrift IFRS 9 „Financial Instruments“ nimmt die Berechnung des Lifetime Expected Loss (LEL) eine wichtige Rolle ein. Einen zentralen Bestandteil bilden dabei mehrperiodische Ausfallwahrscheinlichkeiten (PD-Kurven) [vgl. beispielsweise Bosse 2015]. Diese können auf Basis einjähriger PDs sowie entsprechender Rating-Migrationsmatrizen iterativ geschätzt werden [siehe beispielsweise Pfeuffer/Fischer 2015]. Dabei zeigt sich jedoch, dass bereits kleinere Abweichungen (unter den Nebendiagonalelementen) von Rating-Migrationsmatrizen zu größeren Änderungen in den PD-Kurven führen können, insbesondere bei langfristigen Laufzeiten. Deshalb liegt der Fokus dieses Artikels auf der Ableitung flexibler, jedoch „sparsam“ parametrisierter PD-Kurven. Es werden drei Herangehensweisen am Beispiel von bedingten PDs näher diskutiert: die Ableitung von PD-Kurven auf Basis spezifischer stochastischer Hazardraten, die Nutzung von Verfahren zur Modellierung von Zinsstrukturkurven sowie die direkte parametrische Modellierung bedingter PDs über transformierte Überlebensfunktionen. Kumulative, bedingte und marginale PD-Kurven Im Kontext der Bestimmung von PD-Kurven erweist sich die Einführung verschiedener PD-Definitionen als zweckdienlich. Bezeichnet den Zeitpunkt des Ausfalls, so definie- ren wir mit eine kumulative Ausfallwahrscheinlichkeit als -periodische Erweiterung einer herkömmlichen Einjahres-PD, welche sich somit als Spezialfall ergibt. Die marginale PD quantifiziert die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb des Zeithorizonts von bis , während die bedingte PD die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass ein Kreditnehmer bis zum Zeitpunkt ausgefallen ist, unter der Annahme, dass dies zum Zeitpunkt noch nicht der Fall war. Aufbauend lassen sich nun durch systematische

Kreditrisiko 5 Anordnung sog. kumulative PD-Kurven , sog. marginale PD-Kurven und sog. bedingte PD-Kurven definieren. Für das Konzept bedingter PD-Kurven werden nun nachfolgend drei (nicht notwendigerweise disjunkte) parametrische Modellierungsansätze erläutert. Stochastischer Ansatz: Verteilungsannahme für Ausfallzeitpunkt Ausgangspunkt für den ersten Ansatz bildet eine stochastische Verteilungsannahme für den Ausfallzeitpunkt, d. h. ein stetiges Verteilungsmodell auf dem Intervall mit Verteilungsfunktion , Survivor- bzw. Überlebensfunktion , bzw. Hazardrate . Gleichung 01 zeigt dann die Verbindung zwischen dieser Annahme und kumulativen, marginalen und bedingten PDs auf [siehe dazu auch Bluhm/Overbeck/Wagner 2010, Kapitel 6]. Damit können für gegebene (stetige und nicht-negative) Verteilungen, deren Survivorfunktion eine einfache und geschlossene Form besitzt, gemäß obiger Gleichung insbesondere bedingte PD-Kurven konstruiert werden. Dies wird nachfolgend für sechs ausgewählte parametrische Verteilungsmodelle illustriert: a) Unter der Annahme einer Exponentialverteilung („exponentielle Zeitstruktur“), d. h. für mit ergibt sich eine konstante bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit, siehe Gleichung 02. b) Eine alternative Überlebensfunktion einer nicht namentlich näher spezifizierten Verteilungsfamilie (die im Folgenden jedoch noch verwendet wird) mit Parameter ist . c) Eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung wird in [Chen, 2000] vorgestellt. Die Chen-Verteilung besitzt die Survivorfunktion für d) Eine weitere und darüber hinaus noch flexiblere Verallgemeinerung der Exponentialverteilung ist die sog. exponentielle Weibullverteilung von Nadarajah/Cordeiro/Ortega [Nadarajah/Cordeiro/Ortega 2013], die als Spezialfälle die klassische Weibullverteilung (für ) sowie die Gleichung 01 Gleichung 02 Gleichung 03 Gleichung 04 Gleichung 05 Gleichung 06

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