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RISIKO MANAGER 06.2017

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6 RISIKO MANAGER 06|2017 Gleichung 02 Gleichung 03 Gleichung 04 Beispielwert für die Anzahl der betrachteten Perioden Bestandswahrscheinlichkeit bei Gesundungen ausschließlich innerhalb der Ausfallperiode Rekursive Formel für die marginale PD wahrscheinlichkeit. Im Vergleich zu Gleichung 01 ist Gleichung 03 deutlich kompakter, da diejenigen Komponenten w e g - fallen, die Gesundungen über mehrere Perioden abbilden. In diesem vereinfachten Fall lässt sich die zeitliche Entwicklung eines Vertrags mithilfe eines einfachen Entscheidungsbaums, wie in Abb. 01 ersichtlich, darstellen. Da das Augenmerk auf der Ermittlung einer Bestandswahrscheinlichkeit liegt, werden Ausfälle, welche zu einer Abwicklung führen, nicht berücksichtigt. Der Entscheidungsbaum erhält somit die Eigenschaften eines Binomialbaums mit der Ausnahme, dass sich die Zustandswahrscheinlichkeiten pro Knoten nicht zu Eins, sondern zu der Bestandswahrscheinlichkeit dieser Periode, BWK t , addieren. Wie Abb. 01 zeigt, be- dungswahrscheinlichkeiten P(G j ) häufig sehr klein werden. Eine Berücksichtigung dieser Perioden in der Berechnung der marginalen PD verändert diese dann nur unwesentlich. Ein Verfahren zur Bestimmung einer angemessenen Anzahl an Perioden kann sich auf t-Tests stützen. Ausgewählt werden dann nur diejenigen Perioden j, für die A j signifikant von Null verschieden ist. Da sich jedoch für große Stichprobenumfänge auch sehr kleine Werte von A j noch signifikant von Null unterscheiden können, wäre es auch denkbar, nur so viele Perioden zu betrachten, bis mindestens ein fester Anteil an Gesundungen eingetreten ist. Die Anzahl dieser Perioden kann anhand von Gleichung 02 veranschaulicht werden. Der Wert spiegelt hierbei ein geeignet gewähltes Niveau (beispielsweise 95 Prozent) an Gesundungsperioden, die mindestens erfasst werden sollen, wider. Abb. 01 Periode 1 1 Darstellung der zeitlichen Entwicklung eines Vertrags in einem Portfolio mit Gesundungen innerhalb der Ausfallperiode bPD Periode 2 Periode 3 Periode 4 bPD bPD bPD bPD bPD bPD bPD Spezialfall: Gesundungen innerhalb der Ausfallperiode Ein Spezialfall zur obigen Ermittlung der Bestandswahrscheinlichkeit stellt der Fall dar, in dem alle Gesundungen innerhalb der Ausfallperiode erfolgen. Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t noch Teil des Bestands zu sein lässt sich dann gemäß Gleichung 03 ermitteln. Dabei ist P(G) wiederum die unbedingte Gesundungs- bPD bPD bPD bPD bPD bPD

Kreditrisiko 7 steht der Bestand zu Beginn einer Periode t nur aus denjenigen Verträgen, die in der Vorperiode nicht ausgefallen sind sowie aus denjenigen Verträgen, die ausgefallen waren und wieder gesundet sind. Darüber hinaus lässt sich in diesem Fall die marginale PD rekursiv, wie in Gleichung 04 dargestellt, berechnen. Dies bedeutet, dass in diesem Fall die marginale PD direkt mittels der bedingten PD und der unbedingten Gesundungswahrscheinlichkeit dargestellt werden kann. Des Weiteren lässt sich auch die Verzerrung der marginalen PD bei Nichtberücksichtigung von Gesundungen in Abhängigkeit von bedingter PD und unbedingter Gesundungswahrscheinlichkeit darstellen. Die absolute und relative Verzerrung zu einem Zeitpunkt t 2 ergibt sich gemäß Gleichung 05 beziehungsweise Gleichung 06. Wie bereits im ersten Teil dieses Artikels [vgl. Haas/Huergo/Niedergesäss/Schmid 2017, S. 34 ff.] im Rahmen der Simulationsstudie gezeigt, ist die Verzerrung eine wachsende Funktion der Ausfall- und der Gesundungswahrscheinlichkeit. Zudem handelt es sich bei der Verzerrung stets um eine Unterschätzung des Expected Lifetime Loss. Dieser Zusammenhang ist auch in den Formeln für die absolute und relative Verzerrung zu erkennen. Für kleine bedingte PDs wächst die relative Verzerrung annähernd linear mit der Gesundungswahrscheinlichkeit an. Im Gegensatz dazu wächst sie für eine gegebene Gesundungswahrscheinlichkeit überproportional mit der bedingten PD an. Gleichung 05 Gleichung 06 Absolute Verzerrung der marginalen PD Relative Verzerrung der marginalen PD Gleichung 07 Expected Lifetime Loss Auswirkungen auf den Expected Lifetime Loss Es soll nun die Eignung des beschriebenen Verfahrens zur Ermittlung marginaler PDs – im Sinn einer korrekten Ermittlung des Expected Lifetime Loss – überprüft werden. Dabei wird auf die bereits im ersten Teil des Artikels beschriebene Simulationsumgebung zurückgegriffen. Annahmen Verwendet werden dieselben Annahmen wie in der ersten durchgeführten Simulationsstudie. Dies bedeutet, dass von einer abgeschlossenen Kohorte von 1000 Darlehen ausgegangen wird. Ergo, können weder bestehende Darlehen vorzeitig abgelöst werden noch neue Darlehen hinzukommen. Die Annahme einer abgeschlossenen Kohorte korrespondiert zu der Betrachtungsweise von Portfolien mit einem nach IFRS 9 signifikant erhöhten Kreditrisiko. Erneut wird für alle Darlehen von einer Forderung in Höhe von jeweils 100 Geldeinheiten (GE) ausgegangen. Die Darlehen werden über 10 Perioden betrachtet, wobei eine periodenweise Tilgung um je 10 GE und keine Verzinsung unterstellt wird. Zudem wird weiter angenommen, dass die (bedingte) Ausfallwahrscheinlichkeit für alle Perioden gleich groß ist. Auch hier wird auf dieselben vier Gesundungsszenarien wie im ersten Teil der Untersuchung zurückgegriffen. Durchführung Ausgehend von den beschriebenen Annahmen werden die Verteilung und der durchschnittliche realisierte Lifetime Loss für ausgewählte Kombinationen von Ausfallund Gesundungswahrscheinlichkeit ermittelt. Hierzu werden die vorliegenden Monte-Carlo-Experimente jeweils 1000 Mal wiederholt und die sich ergebende Verteilung sowie der durchschnittliche realisierte Lifetime Loss für jede Kombination von Ausfall- und Gesundungswahrscheinlichkeit ermittelt. Im Gegensatz zur Simulationsstudie des ersten Artikels werden weniger Kombinationen berücksichtigt: als Ausfallwahrscheinlichkeit werden die Werte 1 Prozent, 5 Prozent, 10 Prozent, 20 Prozent betrachtet und als Gesundungswahrscheinlichkeit die Werte 50 Prozent und 70 Prozent gewählt. Für jede Kombination dieser Werte von Ausfall- und Gesundungswahrscheinlichkeit wird nun der Expected Lifetime Loss gemäß dem Standardvorgehen in Gleichung 07 berechnet. Der durchschnittliche in den Simulationen realisierte Lifetime Loss nähert sich für zunehmende Wiederholungszahlen immer stärker dem Erwartungswert des Lifetime Loss, das heißt dem tatsächlichen Expected Lifetime Loss, an und dient deshalb als Approximation für diesen. Der durchschnittliche realisierte Lifetime Loss stellt damit die Vergleichsgröße für drei Varianten der Schätzung des Expected Lifetime Loss, die sich in der Ermittlung der marginalen PDs unterscheiden, dar: Für die erste Variante wird die marginale PD gemäß der Logik der Ereigniszeitanalyse berechnet. Für die zweite und dritte Variante erfolgt die Berechnung unter Berücksichtigung von Gesundungen. Dabei wird zusätzlich danach differenziert, ob bei der Berechnung der Bestandswahrscheinlichkeit alle relevanten Vorperioden oder nur die letzte Vorperiode herangezogen wird ( Gleichung 01 versus Gleichung 03). Werden Gesundungen berücksichtigt, so ist die Ermittlung der gesamten Gesundungswahrscheinlichkeit P(G) sowie die Berechnung der periodenspezifischen Gesundungswahrscheinlichkeiten P(G j ) notwendig. Für die periodenspezifischen Gesundungswahrscheinlichkeiten wird, ohne Beschränkung der Allgemeinheit, angenommen, dass die geschätzten Anteile A j den tatsächlichen Anteilen entsprechen. Dies bedeutet dann beispielsweise für eine Ge-

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