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RISIKO MANAGER 05.2017

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36 RISIKO MANAGER 05|2017 Gleichung 02 Unter den genannten Prämissen kann die Lifetime PD rekursiv anhand der bedingten PD wie Gleichung 02 dargestellt beschrieben werden. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass für t = 0 gilt, dass LPD 0 = 0 und bPD 0 = 0, entspricht die Lifetime PD der Summe über die marginalen PDs, d. h. Im Umkehrschluss bedeutet dies aber auch, dass die marginale PD durch Subtraktion zeitlich aufeinanderfolgender Lifetime PDs berechnet werden kann, d. h. mPD t = LPD t -LPD (t-1) . Eine weitere Möglichkeit die marginale PD zu ermitteln, ergibt sich durch Umformung der bedingten PD, d. h. mPD t = bPD t ×(1-LPD (t-1) ). Beiden Formeln zur Bestimmung der Lifetime PD liegt die Annahme zugrunde, dass der Ausfall gleichbedeutend mit dem Ende des Kreditverhältnisses ist und somit keine Gesundungen möglich sind. Unter dieser Annahme entspricht die Lifetime PD der Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls bis zu einem Zeitpunkt t. In der Folge wird gezeigt, dass die Lifetime PD die Anforderungen an eine Wahrscheinlichkeit nicht mehr erfüllt, wenn Gesundungen auftreten können. Periode n als Summe über die Wahrscheinlichkeiten in einer der Perioden i auszufallen berechnen, d. h. Sind Gesundungen möglich, so sind die Mengen A i nicht länger disjunkt, denn Kredite können gesunden und in späteren Perioden erneut ausfallen. Für n = 3 ist diese Situation in der rechten Darstellung von Abb. 01 wiederum als Venn-Diagramm veranschaulicht. Die lilafarbenen Schnittmengen stellen dabei diejenigen Kredite dar, die zwei- beziehungsweise dreimal ausgefallen sind. In diesem Fall lässt sich die Wahrscheinlichkeit (mindestens) eines Ausfalls bis zum Ende einer Periode n nicht mehr als Summe über die Ausfallwahrscheinlichkeiten der Perioden i berechnen, das heißt Die Bildung von als Summe über die Ausfallwahrscheinlichkeiten P(A i ) kann leicht zu führen und somit wäre die Größe in diesem Gleichung 03 Fall auch keine Wahrscheinlichkeit mehr. Für eine korrekte Berechnung von müssten vielmehr die Wahrscheinlichkeiten der mehrfach gezählten Schnittmengen subtrahiert werden. Nur dann würde es sich auch um eine Wahrscheinlichkeit handeln. Die beschriebene Situation lässt sich leicht auf den Kontext von IFRS 9 übertragen. Die Wahrscheinlichkeit in einer bestimmten Periode auszufallen, P(A i ), entspricht der marginalen PD, unabhängig davon, ob Gesundungen möglich sind oder nicht. Die Lifetime PD wiederum entspricht der Wahrscheinlichkeit , das heißt der Wahrscheinlichkeit (mindestens) eines Ausfalls innerhalb der ersten n Perioden. Da , falls Gesundungen möglich sind, kann auch die Berechnung der Lifetime PD als Summe der marginalen PDs, , keine Gültigkeit mehr besitzen, denn es ist in diesem Fall prinzipiell möglich, dass . Die Berechnung der Lifetime PD im Sinn eines (ersten) Ausfalls bis zu einem Zeitpunkt t anhand Gleichung 03 ist jedoch weiterhin gültig. Lifetime PD unter Berücksichtigung von Gesundungen Abb. 01 Ausfallwahrscheinlichkeit über mehrere Perioden ohne und mit Gesundung Theoretische Analyse Das Erfordernis zur Berücksichtigung von Gesundungen in der Berechnung des Expected Lifetime Loss kann wie folgt veranschaulicht werden. Gegeben seien die Mengen A i , welche Kreditausfälle in den Perioden i = 1, 2, …, n umfassen. Gäbe es keine Gesundungen, dann wären diese Mengen disjunkt, da ein Ausfall in einer der Perioden i gleichbedeutend mit der Beendigung des Vertrags ist. Diese Situation wird in der linken Darstellung von Abb. 01 für n = 3 Perioden durch ein Venn-Diagramm veranschaulicht. Für disjunkte Mengen lässt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls bis zum Ende einer A1 A2 A3 Portfolio ohne Gesundung A1 A2 A3 Portfolio mit Gesundung

Kreditrisiko 37 Abb. 02 Unterschätzung des Lifetime Loss in Abhängigkeit von Gesundungswahrscheinlichkeit und PD-Niveau Sämtliche Gesundungen innerhalb Ausfallperiode 50 % Gesundungen in Ausfallperiode, 50 % Gesundungen in Folgeperiode Gesundungs-Wkt. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PD-Niveau 9 8 7 6 5 4 3 Anteil ELL an realisiertem Lifetime Loss Gesundungs-Wkt. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PD-Niveau 9 8 7 6 5 4 3 Anteil ELL an realisiertem Lifetime Loss 70 % Gesundungen in Ausfallperiode, 30 % Gesundungen in Folgeperiode 50 % Gesundungen in Ausfallperiode, 30 %, 15 %, 5 % jeweils in Folgeperioden Gesundungs-Wkt. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PD-Niveau 9 8 7 6 5 4 3 Anteil ELL an realisiertem Lifetime Loss Gesundungs-Wkt. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PD-Niveau 9 8 7 6 5 4 3 Anteil ELL an realisiertem Lifetime Loss Die auf diese Weise berechnete Größe kann für die Feststellung einer Veränderung des Ausfallrisikos im Sinn von IFRS 9 verwendet werden. Die für die Berechnung des Expected Lifetime Loss benötigte marginale PD kann jedoch nicht länger durch Subtraktion einzelner zeitlich aufeinanderfolgender Lifetime PDs ermittelt werden. Die Berücksichtigung von Gesundungen verändert die aus der Ereigniszeitanalyse abgeleitete funktionale Beziehung zwischen marginalen PDs und der Lifetime PD demnach erheblich. Die Ausführungen zeigen, dass die Anwendung der Ereigniszeitanalyse (in der herkömmlichen Auffassung) im Allgemeinen unvereinbar ist mit Portfolien, die Gesundungen enthalten. Grund hierfür ist die Tatsache, dass der Ausfall eines Kredits nicht der Beendigung, das heißt der Abwicklung, des Kredits entspricht. Der Ereigniszeitanalyse immanent ist jedoch stets die Frage der Beendigung eines Zustands, welche in diesem Fall nicht mit dem Ausfall, sondern erst mit der Abwicklung des Kredits eintritt. Im Folgenden wird die Praxisrelevanz der potenziellen Verzerrung in der Berechnung des Expected Lifetime Loss anhand einer Simulationsstudie verdeutlicht. Insbesondere wird das Ausmaß der Unterschätzung in Abhängigkeit von Ausfallund Gesundungswahrscheinlichkeit, den beiden wesentlichen Treibern der Verzerrung, dargestellt. Simulationsstudie: Auswirkungen auf den Expected Lifetime Loss Anhand der im weiteren Verlauf beschriebenen Simulationsstudie soll die Unterschätzung des Expected Lifetime Loss quantifiziert werden, die sich durch eine der Ereigniszeitanalyse folgende Berechnung der marginalen PD in einem Portfolio ergibt, welches Gesundungen aufweist. a. Annahmen Den Simulationen liegen die folgenden Annahmen zugrunde. Es wird von einer abgeschlossenen Kohorte von 1.000 Darlehen ausgegangen. Dies bedeutet, dass weder bestehende Darlehen vorzeitig abgelöst werden können noch neue Darlehen hinzukommen können. Die Annahme einer abgeschlossenen Kohorte korrespondiert zu der Betrachtungsweise von Portfolien mit einem nach IFRS 9 signifikant erhöhten Kreditrisiko. Für alle Darlehen wird von einer Forderungshöhe von jeweils 100 Geldeinheiten (GE) ausgegangen. Die Darlehen werden über 10 Perioden betrachtet, wobei eine periodenweise

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