RISIKO MANAGER 05.2017

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22 RISIKO MANAGER 05|2017 erläutern stellen wir uns vor, dass wir eine Wandelanleihe erworben haben. Wir nehmen an, dass mit einem Abfall des Aktienkurses des emittierenden Unternehmens auch der Wert unserer Anleihe abfällt und wollen uns vor diesem Szenario absichern, indem wir uns Put-Optionen auf die Aktie kaufen. Um die Anzahl der Put-Optionen auszurechnen, die wir zum Ausgleich der Kursschwankungen mithilfe der Puts benötigen, müssen wir mithilfe unseres Modells die Sensitivität des Anleihekurses bezüglich einer Veränderung des Aktienkurses berechnen (sogenanntes Aktien-Delta der Anleihe). In Abb. 02 ist diese Sensitivität für eine Beispielanleihe grafisch dargestellt, sowohl mit Hilfe des einfachen Jump-to-Default-Modells, als auch zum Vergleich mithilfe eines realistischeren llwahrscheinlichkeiten des Unternehmens haben soll und umekehrt. Es ist allerdings unter allen Umständen davon abzuten, diese Effekte komplett zu ignorieren und mit zwei völlig nabhängigen Modellen für Aktienoptionen bzw. für Anleihen zu rbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon auszugehen, dass in er Regel mit dem Zahlungsausfall eines Unternehmens der Akenkurs massiv einbricht, wenn nicht sogar praktisch auf null llt. Ignoriert man solche Effekte, so ignoriert man fundamenle Zusammenhänge zwischen Eigen- und Fremdkapital eines nternehmens, welche die Grundlage für jegliche Form von Kaitalstrukturarbitrage bilden. er vorliegende Artikel gibt eine Übersicht über Credit-Equityodelle (ohne Anspruch auf Vollständigkeit), und diskutiert den Eigenschaften. Wie immer in der angewandten Mathemak kann im Allgemeinen auch hier festgestellt werden, dass die odelle einen schwierigen Spagat zwischen Realismus auf der inen und Anwendbarkeit auf der anderen Seite bewerkstelligen üssen. Bevor wir einzelne Modelle vorstellen, werden zunächst Abschnitt 2 einige grundsätzliche Anforderungen diskutiert, elche wir für Credit-Equity-Modelle als sinnvoll erachten. Wir iskutieren in Abschnitt 3 das denkbar einfachste Modell, welhes für die Ausfallzeit des Unternehmens eine Exponentialverilung unterstellt und annimmt, dass der Aktienkurs bei Zahngsunfähigkeit auf null springt. Abschnitt 4 widmet sich den ogenannten 1 1 2 -Faktor Modellen, welche die Exponentialverilungsannahme aufheben, indem sie die Ausfallintensität stohastisch als Funktion des Aktienkurses definieren. Schließlich ieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überblick über weitere Moellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. in Credit-Equity-Modell muss auf der einen Seite einfach geug sein, um effiziente Bewertungsroutinen möglich zu machen, .h. um überhaupt von praktischem Interesse zu sein. Auf der nderen Seite sollte man aber auch so viele theoretisch wünchenswerte Eigenschaften einbauen wie eben möglich. Dieser anz natürliche Zielkonflikt zwischen Praktikabilität und Realisus soll in der Folge näher beleuchtet werden, indem wir aus nserer Sicht wünschenswerte Modelleigenschaften sammeln. 2 -Faktor-Modells, siehe nächster Abschnitt. Es ist ersichtlich, dass der Anleihepreis unter einem sehr starken Rückgang der Aktie im einfachen Modell deutlich weniger leidet als im Equity-Modell. Es ist wenig überraschend, dass diese Modelle manchmal in einem mathematisch sehr aufwendigen Gewand daherkommen, insbesondere, wenn zusätzlich noch unterstellt wird, dass der Kursverlauf der Aktie einen Einfluss auf die Ausfallwahrscheinlichkeiten des Unternehmens haben soll und umgekehrt. Es ist allerdings unter allen Umständen davon abzuraten, diese Effekte komplett zu ignorieren und mit zwei völlig unabhängigen Modellen für Aktienoptionen bzw. für Anleihen zu arbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon auszugehen, dass in der Regel mit dem Zahlungsausfall eines Unternehmens der Aktienkurs massiv einbricht, wenn nicht sogar praktisch auf null fällt. Ignoriert man solche Effekte, so ignoriert man fundamentale Zusammenhänge zwischen Eigen- und Fremdkapital eines Unternehmens, welche die Grundlage für jegliche Form von Kapitalstrukturarbitrage bilden. Der vorliegende Artikel gibt eine Übersicht über Credit-Equity- Modelle (ohne Anspruch auf Vollständigkeit), und diskutiert deren Eigenschaften. Wie immer in der angewandten Mathematik kann im Allgemeinen auch hier festgestellt werden, dass die Modelle einen schwierigen Spagat zwischen Realismus auf der einen und Anwendbarkeit auf der anderen Seite bewerkstelligen müssen. Bevor wir einzelne Modelle vorstellen, werden zunächst in Abschnitt 2 einige grundsätzliche Anforderungen diskutiert, welche wir für Credit-Equity-Modelle als sinnvoll erachten. Wir diskutieren in Abschnitt 3 das denkbar einfachste Modell, welches für die Ausfallzeit des Unternehmens eine Exponentialverteilung unterstellt und annimmt, dass der Aktienkurs bei Zahlungsunfähigkeit auf null springt. Abschnitt 4 widmet sich den sogenannten 1 1 2 -Faktor Modellen, welche die Exponentialverteilungsannahme aufheben, indem sie die Ausfallintensität stochastisch als Funktion des Aktienkurses definieren. Schließlich bieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überblick über weitere Modellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. derungen an ein it-Equity Modell Ein Credit-Equity-Modell muss auf der einen Seite einfach genug sein, um effiziente Bewertungsroutinen möglich zu machen, d.h. um überhaupt von praktischem Interesse zu sein. Auf der anderen Seite sollte man aber auch so viele theoretisch wünschenswerte Eigenschaften einbauen wie eben möglich. Dieser ganz natürliche Zielkonflikt zwischen Praktikabilität und Realismus soll in der Folge näher beleuchtet werden, indem wir aus unserer Sicht wünschenswerte Modelleigenschaften sammeln. 2 -Faktor Modell. Da in vielen Fällen davon auszugehen ist, dass die Anleihe mit einem großen Abfall der Aktie auch einen großen Kursverlust erleidet, kann die Verwendung des einfachen Modells im schlimmsten Fall zu einem Aktienhedge führen, welcher nicht ausreicht, um die Verluste aus der Anleihe mit den Gewinnen aus den Puts zu kompensieren. 4 Modelle mit Faktoren Das einfache Jump-to-Default-Modell aus dem vorherigen Abschnitt bezeichnet man für gewöhnlich als ein Ein-Faktor-Modell, da es über den Zeitverlauf mit dem Aktienkurs nur einen einzigen stochastischen Prozess gibt, welcher ständigen Fluktuationen ausgesetzt ist. Weitere Risikofaktoren wie Zinsen, aber eben auch die Ausfallintensität, sind deterministisch modelliert, d. h. es wird angenommen, dass der komplette zeitliche Verlauf bereits zu Beginn vollständig bekannt ist, was in der Realität so selbstverständlich nicht der Fall ist. Der Grund für diese Annahme ist einfach: Für Modelle mit mehr als einem zufälligen Faktor ist es sehr schwierig und manchmal nicht mit vertretbarem Zeitaufwand zu bewerkstelligen, effiziente Bewertungsroutinen zur Preisberechnung zu implementieren. Die sogenannten einen und Anwendbarkeit auf der anderen Seite bewerkstelligen müssen. Bevor wir einzelne Modelle vorstellen, werden zunächst in Abschnitt 2 einige grundsätzliche Anforderungen diskutiert, welche wir für Credit-Equity-Modelle als sinnvoll erachten. Wir diskutieren in Abschnitt 3 das denkbar einfachste Modell, welches für die Ausfallzeit des Unternehmens eine Exponentialverteilung unterstellt und annimmt, dass der Aktienkurs bei Zahlungsunfähigkeit auf null springt. Abschnitt 4 widmet sich den sogenannten 1 1 2 -Faktor Modellen, welche die Exponentialverteilungsannahme aufheben, indem sie die Ausfallintensität stochastisch als Funktion des Aktienkurses definieren. Schließlich bieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überblick über weitere Modellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. 2 Anforderungen an ein Credit-Equity Modell Ein Credit-Equity-Modell muss auf der einen Seite einfach genug sein, um effiziente Bewertungsroutinen möglich zu machen, d.h. um überhaupt von praktischem Interesse zu sein. Auf der anderen Seite sollte man aber auch so viele theoretisch wünschenswerte Eigenschaften einbauen wie eben möglich. Dieser ganz natürliche Zielkonflikt zwischen Praktikabilität und Realismus soll in der Folge näher beleuchtet werden, indem wir aus unserer Sicht wünschenswerte Modelleigenschaften sammeln. 2 -Faktor Modelle bieten dagegen eine sehr elegante Möglichkeit, die Ausfallintensität zufällig zu modellieren, ohne einen zweiten stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität von heute bis zum zukünftigen Zeitpunkt t mit R(t), so ist der Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e −R(t) t , so dass insgesamt (das heißt mit Zins und Überlebenswahrscheinlichkeit) ein Cashflow des Unternehmens am Zeitpunkt t > 0 mit dem Faktor e −(λ+R(t)) t diskontiert werden muss. Das bedeutet, dass die sogenannte Ausfallintensität λ als Zinsaufschlag auf die risikofreie Zinskurve t ↦→R(t) erachtet werden kann. Außerdem hat die Exponentialverteilung die schöne Eigenschaft, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit für zwei Jahre dem Quadrat der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeit entspricht. Folglich kommt das Unternehmen nicht mehr oder weniger wahrscheinlich in Zahlungsnöte, wenn es das erste Jahr überlebt. Dies erlaubt es, die Exponentialverteilung „stückweise“ aufzufassen. Allerdings gibt es auch viele Kritikpunkte an der Verwendung der Exponentialverteilung. Erstens kann es unter Umstänschöne, llerdings u stark. den sinnvoll sein, anzunehmen, dass ein Unternehmen auf kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich die Überlebenswahrscheinlichkeit deutlich erhöht, wenn es das nächste Jahr überleben sollte. Solche Effekte weichen von der Exponentialverteilungsannahme ab, sie können allerdings durch eine einfache Modellerweiterung ausgemerzt werden, indem die konstante Ausfallintensität λ durch eine (deterministische) Funktion in der Zeit λ(t) ersetzt wird. Zweitens impliziert die Annahme einer konstanten (oder allgemeiner deterministischen) Ausfallintensität, dass der Modellpreis einer gewöhnlichen Anleihe über die Zeit eine glatte Funktion darstellt, welche vom aktuellen Kurswert bis zum Wert am Laufzeitende monoton verläuft 2 . Im Gegensatz dazu beobachten wir aber an den Finanzmärkten Kursentwicklungen, welche täglichen Schwankungen unterworfen sind und eher „Zitterkurven“ gleichen. Drittens schlägt sich ein negativer Verlauf des Aktienkurses nicht in einer Erhöhung der Ausfallintensität nieder, welche ja stets konstant (bzw. deterministisch) bleibt. Dies führt uns unmittelbar zu der Modellierung des Aktienkurses. Die Idee des einfachen jump-to-default Modells ist es, dass die Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt τ der Zahlungsunfähigkeit auf null springt, einem Black-Scholes-Modell gleicht. Allerdings ist dies so nicht direkt zulässig, da der Kursprung auf null bei Ausfall die notwendige Martingaleigenschaft des Aktienkurses im Black- Scholes-Modell zerstört. Um dies zu erläutern sei aus der klassischen Finanzmarkttheorie in Erinnerung gerufen, dass der zinsdiskontierte Aktienkurs unter dem für die Bewertung relevanten risikofreien Wahrscheinlichkeitsmaß ein sogenanntes Martingal sein muss. Mit einfachen Worten, der zufällige Aktienkurs muss in dem Sinne risikobereinigt modelliert sein, dass er erwartungsgemäß denselben Return liefert wie eine risikofreie Anlage zum Marktzins. Im Black-Scholes-Modell ist der zinsdiskontierte Aktienkursprozess durch S t = S 0 e −0.5 σ2 t+σW t gegeben, wobei {W t } eine Brownsche Bewegung bezeichnet und σ>0 ein Volatilitätsparameter ist. Dieser zinsdiskontierte, stochastische Aktizur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuiti- Die Idee der 1 1 2 -Faktor Modelle ist, den Aktienkurs in einem reziproken Verhältnis zur Ausfallintensität zu modellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die Die Ausfallintensität kann als instantane Ausfallwahrscheinlichkeit aufgefasst werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktienkurs eine hohe Ausfallintensität, welche wiederum eine hohe instantane Ausfallwahrscheinlichkeit nach sich zieht, und umgekehrt. Der zinsdiskontierte Aktienkurs wird in direkter Erweiterung zu (1) unter einem risikoneutralen Maß definiert als Lösung der stochastischen Differentialgleichung dS t = S t (h(S t ) dt + σ dW t ), t < τ. (5) (2) für Modellparameter stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuiti- Die Idee der 1 1 2 -Faktor Modelle ist, den Aktienkurs in einem reziproken Verhältnis zur Ausfallintensität zu modellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die Die Ausfallintensität kann als instantane Ausfallwahrscheinlichkeit aufgefasst werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktienkurs eine hohe Ausfallintensität, welche wiederum eine hohe und stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuitille ist, den hältnis zur odellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die instantane st werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Akti- . Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigendem) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuitiven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen Jump-to-Default-Modell des vorherigen Abschnitts. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität, und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten Ausfallintensität zu unterstellen. Wie kann man nun die Bewertung von Anleihen und Aktienoptionen desselben Unternehmens in einem gemeinsamen Modell konsistent unter einen Hut bringen? Dafür wird ein mathematisches Modell benötigt, welches sowohl den Aktienkurs als auch die Ausfallzeit des Unternehmens erklärt, ein sogenanntes Credit- Equity-Modell. Es ist wenig überraschend, dass diese Modelle manchmal in einem mathematisch sehr aufwendigen Gewand daherkommen, insbesondere, wenn zusätzlich noch unterstellt wird, dass der Kursverlauf der Aktie einen Einfluss auf die Ausfallwahrscheinlichkeiten des Unternehmens haben soll und umgekehrt. Es ist allerdings unter allen Umständen davon abzuraten, diese Effekte komplett zu ignorieren und mit zwei völlig unabhängigen Modellen für Aktienoptionen bzw. für Anleihen zu arbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon auszugehen, dass in der Regel mit dem Zahlungsausfall eines Unternehmens der Aktienkurs massiv einbricht, wenn nicht sogar praktisch auf null fällt. Ignoriert man solche Effekte, so ignoriert man fundamentale Zusammenhänge zwischen Eigen- und Fremdkapital eines Unternehmens, welche die Grundlage für jegliche Form von Kapitalstrukturarbitrage bilden. Der vorliegende Artikel gibt eine Übersicht über Credit-Equity- Modelle (ohne Anspruch auf Vollständigkeit), und diskutiert deren Eigenschaften. Wie immer in der angewandten Mathematik kann im Allgemeinen auch hier festgestellt werden, dass die Modelle einen schwierigen Spagat zwischen Realismus auf der einen und Anwendbarkeit auf der anderen Seite bewerkstelligen müssen. Bevor wir einzelne Modelle vorstellen, werden zunächst in Abschnitt 2 einige grundsätzliche Anforderungen diskutiert, welche wir für Credit-Equity-Modelle als sinnvoll erachten. Wir diskutieren in Abschnitt 3 das denkbar einfachste Modell, welches für die Ausfallzeit des Unternehmens eine Exponentialverteilung unterstellt und annimmt, dass der Aktienkurs bei Zahlungsunfähigkeit auf null springt. Abschnitt 4 widmet sich den sogenannten 1 1 2 -Faktor Modellen, welche die Exponentialverteilungsannahme aufheben, indem sie die Ausfallintensität stochastisch als Funktion des Aktienkurses definieren. Schließlich bieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überblick über weitere Modellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. 2 Anforderungen an ein Credit-Equity Modell Ein Credit-Equity-Modell muss auf der einen Seite einfach genug sein, um effiziente Bewertungsroutinen möglich zu machen, d.h. um überhaupt von praktischem Interesse zu sein. Auf der anderen Seite sollte man aber auch so viele theoretisch wünschenswerte Eigenschaften einbauen wie eben möglich. Dieser ganz natürliche Zielkonflikt zwischen Praktikabilität und Realismus soll in der Folge näher beleuchtet werden, indem wir aus unserer Sicht wünschenswerte Modelleigenschaften sammeln. 2 -Faktor-Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen Jump-to-Default- Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche-Bewegung stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuititor Modelle ist, den oken Verhältnis zur ität zu modellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die ann als instantane aufgefasst werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktienkurs eine hohe Ausfallintensität, welche wiederum eine hohe instantane Ausfallwahrscheinlichkeit nach sich zieht, und umgesowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuiti- Faktor Modelle ist, den ziproken Verhältnis zur ensität zu modellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die ität kann als instantane keit aufgefasst werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktibezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuiti- 1 1 2 -Faktor Modelle ist, den m reziproken Verhältnis zur allintensität zu modellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuitille ist, den hältnis zur odellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) und stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuitile ist, den ältnis zur dellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) , mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion: 4 stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuiti- Die Idee der 1 1 2 -Faktor Modelle ist, den Aktienkurs in einem reziproken Verhältnis zur Ausfallintensität zu modellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke stochastischen Prozess einbauen zu müssen. Es wird angenommen, dass die Ausfallintensität λ zur Zeit t gegeben ist als eine Funktion h des Aktienkurses S t , also sozusagen als ein „halber“ Faktor. Eine häufig verwendete parametrische Form für den funktionalen Zusammenhang h zwischen Ausfallintensität und Aktienkurs ist λ(t) =h(S t )=λ 0 ( St S 0 ) −p, t ≥ 0, (2) für Modellparameter λ 0 > 0 und p > 0. Das bedeutet, dass wie gewünscht mit fallendem (steigenden) Aktienkurs die Ausfallintensität ansteigt (sinkt). Eine Transformation dieser intuiti- 1 2 -Faktor Modelle ist, den reziproken Verhältnis zur llintensität zu modellieren. ven Idee in ein mathematisches Modell erweist sich allerdings als wesentlich aufwendiger als im einfachen jump-to-default Modell des vorherigen Abschnittes. Was genau ist eigentlich eine stochastische Ausfallintensität und wie genau definiert man eine zufällige Ausfallzeit mit der entsprechenden Intensität? Die Antworten auf diese Fragen sollen in der Folge erläutert werden. Für alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine finiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die Die Ausfallintensität kann als instantane Ausfallwahrscheinlichkeit aufgefasst werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktienkurs eine hohe Ausfallintensität, welche wiederum eine hohe instantane Ausfallwahrscheinlichkeit nach sich zieht, und umgekehrt. Der zinsdiskontierte Aktienkurs wird in direkter Erweiterung zu (1) unter einem risikoneutralen Maß definiert als Lösung der stochastischen Differentialgleichung dS t = S t (h(S t ) dt + σ dW t ), t < τ. (5) 4 Die Ausfallintensität λ(t) muss dabei gewisse technische Eigenschaften erfüllen. 9 gilt, erläutert: Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ über schreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die Die Ausfallintensität kann als instantane Ausfallwahrscheinlichkeit aufgefasst werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktienkurs eine hohe Ausfallintensität, welche wiederum eine hohe instantane Ausfallwahrscheinlichkeit nach sich zieht, und umgekehrt. Der zinsdiskontierte Aktienkurs wird in direkter Erweiterung zu (1) unter einem risikoneutralen Maß definiert als Lösung der stochastischen Differentialgleichung dS t = S t (h(S t ) dt + σ dW t ), t < τ. (5) 4 Die Ausfallintensität λ(t) muss dabei gewisse technische Eigenschaften erfüllen. 9 (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktienkurs eine hohe Ausfallintensität, welche wiederum eine hohe instantane Ausfallwahrscheinlichkeit nach sich zieht, und umgekehrt. Der zinsdiskontierte Aktienkurs wird in direkter Erweiterung zu (1) unter einem risikoneutralen Maß definiert als Lösung der stochastischen Differential- gleichung alle hier betrachteten 1 1 2 -Faktor Modelle arbeiten wir stets auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit zwei zufälligen, unabhängigen Objekten. Genau wie im einfachen jump-to-default Modell handelt es sich dabei um eine Brownsche Bewegung {W t } sowie eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert Eins. Allerdings wird die exponentialverteilte Zufallsvariable, in der Folge mit ɛ bezeichnet, nicht wie im Abschnitt zuvor direkt als Ausfallzeit, sondern nur als Modellbaustein verwendet. Der letztliche Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens τ wird definiert als Funktion aus beiden Objekten, {W t } und ɛ, mittels der folgenden sogenannten kanonischen Konstruktion 4 : τ := inf { t>0: ∫ t 0 λ(s) ds>ɛ } . (3) In Worte gefasst ist die Ausfallzeit also der Zeitpunkt, an welchem die integrierte Ausfallintensität die zufällige Schranke ɛ überschreitet. Die entscheidende Idee dieser Konstruktion wird durch die folgende Näherungsformel, welche für kleine ∆ > 0 gilt, erläutert: P(τ ≤ t +∆| τ>t) ≈ λ(t)∆. (4) Anschaulich besagt diese Formel, dass die instantane Ausfallwahrscheinlichkeit (also die Ausfallwahrscheinlichkeit innerhalb der nächsten Sekunde) gerade proportional zur Ausfallintensität ist, was letztlich deren Nomenklatur rechtfertigt. Wird etwa die Die Ausfallintensität kann als instantane Ausfallwahrscheinlichkeit aufgefasst werden. Parameterisierung (2) gewählt, dann bewirkt ein niedriger Aktienkurs eine hohe Ausfallintensität, welche wiederum eine hohe instantane Ausfallwahrscheinlichkeit nach sich zieht, und umgekehrt. Der zinsdiskontierte Aktienkurs wird in direkter Erweiterung zu (1) unter einem risikoneutralen Maß definiert als Lösung der stochastischen Differentialgleichung dS t = S t (h(S t ) dt + σ dW t ), t < τ. (5) 4 Die Ausfallintensität λ(t) muss dabei gewisse technische Eigenschaften erfüllen. 9 (5) Für alle Zeitpunkte Für alle Zeitpunkte t ≥ τ nach dem Zeitpunkt d higkeit wird wieder angenommen, dass S t =0g die Ausfallintensität λ(t) =h(S t ) als Driftkorrek die Martingaleigenschaft des zinsdiskontierten garantieren, nur hängt diese jetzt selbst wieder man die Funktion h identisch konstant, resultie alfall genau im einfachen jump-to-default Mode ne sind 1 1 2 -Faktor Modelle echte Erweiterunge jump-to-default Modells. Offensichtlich werden zählten, negativen Modelleigenschaften des ei default Modells durch den Übergang zu einem 1 ausgemerzt: (a) Der Aktienkurs hat nun unmittelbaren Einfl fallwahrscheinlichkeit. (b) Die zeitliche Preisentwicklung einer Anleihe der Ausfallintensität, welche ihren volatilen Brownschen Bewegung des Aktienkurses er (c) Wählt man zum Beispiel die parametrische die Ausfallintensität unendlich groß, wenn null strebt. Folglich fällt der Anleihepreis sehr vergiert nämlich gegen die unterstellte Rec also den aus der Insolvenzmasse erwarteten das Unternehmen zahlungsunfähig wird. D anschaulich in Abbildung 2 illustriert, wo eine me von 40% des eingesetzten Nominals ver Es ist allerdings wichtig darauf hinzuweisen, das wünschenswerten Eigenschaften eine erheblich nach dem Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit wird wieder angenommen, dass Für alle Zeitpunkte t ≥ τ nach dem Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit wird wieder angenommen, dass S t =0gilt. Wieder muss die Ausfallintensität λ(t) =h(S t ) als Driftkorrektur herhalten, um die Martingaleigenschaft des zinsdiskontierten Aktienkurses zu garantieren, nur hängt diese jetzt selbst wieder von S t ab. Wählt man die Funktion h identisch konstant, resultiert dies als Spezialfall genau im einfachen jump-to-default Modell. In diesem Sinne sind 1 1 2 -Faktor Modelle echte Erweiterungen des einfachen jump-to-default Modells. Offensichtlich werden alle zuvor aufgezählten, negativen Modelleigenschaften des einfachen jump-todefault Modells durch den Übergang zu einem 1 1 2 -Faktor Modell ausgemerzt: (a) Der Aktienkurs hat nun unmittelbaren Einfluss auf die Ausfallwahrscheinlichkeit. (b) Die zeitliche Preisentwicklung einer Anleihe ist eine Funktion der Ausfallintensität, welche ihren volatilen Verlauf von der Brownschen Bewegung des Aktienkurses erbt. (c) Wählt man zum Beispiel die parametrische Form (2), so wird die Ausfallintensität unendlich groß, wenn die Aktie gegen null strebt. Folglich fällt der Anleihepreis sehr stark ab, er konvergiert nämlich gegen die unterstellte Recovery-Annahme, also den aus der Insolvenzmasse erwarteten Restwert, wenn das Unternehmen zahlungsunfähig wird. Dieser Effekt wird anschaulich in Abbildung 2 illustriert, wo eine Recovery-Annahme von 40% des eingesetzten Nominals verwendet wird. Es ist allerdings wichtig darauf hinzuweisen, dass diese Reihe an gilt. Wieder muss die Ausfallintensität Für alle Zeitpunkte t ≥ τ nach dem Zeitpu higkeit wird wieder angenommen, dass S t die Ausfallintensität λ(t) =h(S t ) als Driftko die Martingaleigenschaft des zinsdiskontie garantieren, nur hängt diese jetzt selbst wi man die Funktion h identisch konstant, res alfall genau im einfachen jump-to-default M ne sind 1 1 2 -Faktor Modelle echte Erweiter jump-to-default Modells. Offensichtlich wer zählten, negativen Modelleigenschaften d default Modells durch den Übergang zu ein ausgemerzt: (a) Der Aktienkurs hat nun unmittelbaren fallwahrscheinlichkeit. (b) Die zeitliche Preisentwicklung einer An der Ausfallintensität, welche ihren vola Brownschen Bewegung des Aktienkurs (c) Wählt man zum Beispiel die parametris die Ausfallintensität unendlich groß, w null strebt. Folglich fällt der Anleihepreis vergiert nämlich gegen die unterstellte also den aus der Insolvenzmasse erwa das Unternehmen zahlungsunfähig wi anschaulich in Abbildung 2 illustriert, wo me von 40% des eingesetzten Nominal Es ist allerdings wichtig darauf hinzuweisen wünschenswerten Eigenschaften eine erhe als Driftkorrektur herhalten, um die Martingaleigenschaft des zinsdiskontierten Aktienkurses zu garantieren, nur hängt diese jetzt selbst wieder von S t ab. Wählt man die Funktion h identisch konstant, resultiert dies als Spezialfall genau im einfachen Jump-to-Default-Modell. In diesem Sinne sind Ausfallintensität zu unterstellen. Wie kann man nun die Bewertung von Anleihen und tionen desselben Unternehmens in einem gemeinsam konsistent unter einen Hut bringen? Dafür wird ein m sches Modell benötigt, welches sowohl den Aktienkurs die Ausfallzeit des Unternehmens erklärt, ein sogenann Equity-Modell. Es ist wenig überraschend, dass diese manchmal in einem mathematisch sehr aufwendigen daherkommen, insbesondere, wenn zusätzlich noch wird, dass der Kursverlauf der Aktie einen Einfluss au fallwahrscheinlichkeiten des Unternehmens haben sol gekehrt. Es ist allerdings unter allen Umständen dav raten, diese Effekte komplett zu ignorieren und mit z unabhängigen Modellen für Aktienoptionen bzw. für An arbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon auszugehen der Regel mit dem Zahlungsausfall eines Unternehmen tienkurs massiv einbricht, wenn nicht sogar praktisch fällt. Ignoriert man solche Effekte, so ignoriert man fu tale Zusammenhänge zwischen Eigen- und Fremdkap Unternehmens, welche die Grundlage für jegliche Form pitalstrukturarbitrage bilden. Der vorliegende Artikel gibt eine Übersicht über Cred Modelle (ohne Anspruch auf Vollständigkeit), und disk ren Eigenschaften. Wie immer in der angewandten M tik kann im Allgemeinen auch hier festgestellt werden Modelle einen schwierigen Spagat zwischen Realismu einen und Anwendbarkeit auf der anderen Seite bewer müssen. Bevor wir einzelne Modelle vorstellen, werden in Abschnitt 2 einige grundsätzliche Anforderungen welche wir für Credit-Equity-Modelle als sinnvoll erac diskutieren in Abschnitt 3 das denkbar einfachste Mo ches für die Ausfallzeit des Unternehmens eine Expon teilung unterstellt und annimmt, dass der Aktienkurs lungsunfähigkeit auf null springt. Abschnitt 4 widmet sogenannten 1 1 2 -Faktor Modellen, welche die Expon teilungsannahme aufheben, indem sie die Ausfallinten chastisch als Funktion des Aktienkurses definieren. S bieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überblick über we dellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. 2 Anforderungen an ein Credit-Equity Modell Ein Credit-Equity-Modell muss auf der einen Seite ei nug sein, um effiziente Bewertungsroutinen möglich zu d.h. um überhaupt von praktischem Interesse zu sein anderen Seite sollte man aber auch so viele theoret schenswerte Eigenschaften einbauen wie eben möglic ganz natürliche Zielkonflikt zwischen Praktikabilität un mus soll in der Folge näher beleuchtet werden, indem unserer Sicht wünschenswerte Modelleigenschaften sa -Faktor Modelle echte Erweiterungen des einfachen Jump-to-Default-Modells. Offensichtlich werden alle zuvor aufgezählten, negativen Modelleigenschaften des einfachen Jump-to-Default-Modells durch den Übergang zu einem Ausfallintensität zu unterstellen. Wie kann man nun die Bewertung von An tionen desselben Unternehmens in einem konsistent unter einen Hut bringen? Dafü sches Modell benötigt, welches sowohl de die Ausfallzeit des Unternehmens erklärt, e Equity-Modell. Es ist wenig überraschend manchmal in einem mathematisch sehr daherkommen, insbesondere, wenn zusä wird, dass der Kursverlauf der Aktie einen fallwahrscheinlichkeiten des Unternehmen gekehrt. Es ist allerdings unter allen Um raten, diese Effekte komplett zu ignoriere unabhängigen Modellen für Aktienoptionen arbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon der Regel mit dem Zahlungsausfall eines U tienkurs massiv einbricht, wenn nicht so fällt. Ignoriert man solche Effekte, so igno tale Zusammenhänge zwischen Eigen- un Unternehmens, welche die Grundlage für pitalstrukturarbitrage bilden. Der vorliegende Artikel gibt eine Übersic Modelle (ohne Anspruch auf Vollständigke ren Eigenschaften. Wie immer in der an tik kann im Allgemeinen auch hier festges Modelle einen schwierigen Spagat zwisch einen und Anwendbarkeit auf der anderen müssen. Bevor wir einzelne Modelle vorste in Abschnitt 2 einige grundsätzliche Anfo welche wir für Credit-Equity-Modelle als diskutieren in Abschnitt 3 das denkbar ei ches für die Ausfallzeit des Unternehmens teilung unterstellt und annimmt, dass de lungsunfähigkeit auf null springt. Abschn sogenannten 1 1 2 -Faktor Modellen, welch teilungsannahme aufheben, indem sie die chastisch als Funktion des Aktienkurses d bieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überb dellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusa 2 Anforderungen an ein Credit-Equity Modell Ein Credit-Equity-Modell muss auf der ei nug sein, um effiziente Bewertungsroutine d.h. um überhaupt von praktischem Inter anderen Seite sollte man aber auch so v schenswerte Eigenschaften einbauen wie ganz natürliche Zielkonflikt zwischen Prak mus soll in der Folge näher beleuchtet w unserer Sicht wünschenswerte Modelleige -Faktor-Modell ausgemerzt: (a) Der Aktienkurs hat nun unmittelbaren Einfluss auf die Ausfallwahrscheinlichkeit. (b) Die zeitliche Preisentwicklung einer Anleihe ist eine Funktion der Ausfallintensität, welche ihren volatilen Verlauf von der Brownschen-Bewegung des Aktienkurses erbt. (c) Wählt man zum Beispiel die parametrische Form (2), so wird die Ausfallintensität unendlich groß, wenn die Aktie gegen null strebt. Folglich fällt der Anleihepreis sehr stark ab, er konvergiert nämlich gegen die

dells ründen durch sehrden nützlich, Übergang auchzu wenn einem man1 bereits 1 effizienrithmen für die numerische Approximation der benötionen desselben Unternehmens in einem gemeinsamen Wie kann manModell nun die Bewertung v 2-Faktor Modell Wie kann man nun die Bewertung von Anleihen Ausfallintensität und Aktienop- zu unterstellen. Marktrisiko zt: reise zur Verfügung hat. Erstens ermöglicht es eine konsistent unter einen Hut bringen? Dafürtionen wird ein desselben mathematisches für Modell benötigt, welches sowohl denkonsistent Aktienkursunter als auch einen Hut bringen? Unternehmens 23 in e ktienkurs egel deutlich hat nun schnellere unmittelbaren Berechnungsmöglichkeit Einfluss auf die Ausrscheinlichkeit. welche es erlaubt, einfache Un- die Ausfallzeit des Unternehmens erklärt, ein sches sogenanntes Modell benötigt, Credit- welches sow wahrscheinlichkeiten, ensanleihen (wir meinen damit solche ohne amerika- Equity-Modell. Es ist wenig überraschend, die dass Ausfallzeit diese Modelle des Unternehmens erk itliche Preisentwicklung einer Anleihe ist eine Funktion Optionen) oder auch Credit Default Swaps in Bruchon Sekunden unterstellte zu bewerten. Recovery-Annahme, Insbesondere also den für die Ka- manchmal in einem mathematisch sehr aufwendigen Equity-Modell. Gewand Es ist wenig überras sfallintensität, welche ihren volatilen Verlauf von der schen Bewegung des Aktienkurses erbt. Zahlungsunfähigkeit, daherkommen, definiert insbesondere, über (3), in wenn zusätzlich manchmal noch unterstellt in einem mathematisch Bewertung von Wandelanleihen einen Zu- einen über daherkommen, Einfluss partielle Differentialgleichungen auf dieinsbesondere, Aus- wenn ng eines aus Modells der Insolvenzmasse an Marktdaten erwarteten ist diese Restwert, Beispiel wenn wichtig. das dieUnternehmen parametrische Zweitens können zahlungsun- Form die(2), geschlos- so Problem, wird fallwahrscheinlichkeiten da der Aktienkurs nach des diesem Unternehmens vorschlagen. wird, haben Ebenfalls dass soll der erwähnenswert und Kursverlauf um- ist der Aktie Rechengedigkeit man zum enorm jedem wird, Fall dass vorher der eintritt. Kursverlauf Dies behebt der das Aktiegang Formeln sfallintensität fähig verwendet wird. unendlich Dieser werden, Effekt groß, wird umwenn anschaulich die numerischen die Aktie in Zeitpunkt gegen Apationstechniken Abb. 02 für illustriert, amerikanische wo eine Recovery-An- Instrumente zu Solch gekehrt. sowieso Es auf ist null allerdings gesetzt wird. unter allen das Modell Umständen fallwahrscheinlichkeiten von Carr, davon Linetsky abzuraten, ein mathematischer diese EffekteBeweis komplett erweist zu ignorieren che noch eine gekehrt. und zusätzliche, mitEs zwei ist sogenannte völlig allerdings CEV-unter alle (2006), wel- des Unterne ebt. Folglich fällt der Anleihepreis sehr stark ab, erüber- kont nämlich gegen die unterstellte Recovery-Annahme, Im- unabhängigen allerdings als nicht Modellen trivial. für Aktienoptionen Eigenschaft raten, bzw. (Constant für diese Anleihen Elasticity Effekte of zu Variance) komplett zu ign Dies ist als nahme extrem von 40 vorteilig Prozent des einzuschätzen, eingesetzten No-dminals verwendet wird. (d) Für die Bewertung von Instrumenten beim Aktienkurs die sich tierung n aus der der Insolvenzmasse approximativen Methoden ungemein ert wird, weil man sofort testen kann, ob man einen Feh- Es ist allerdings wichtig erwarteten darauf hinzuweisen, dass zahlungsunfähig diese Reihe an wünschenswerten wird. Dieser Effekt wird der Regel mit dem Zahlungsausfall eines Unternehmens arbeiten. Dennder esAk- ist zum Beispiel d Restwert, wenn arbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon unabhängigen einbauen. auszugehen, dass Modellen Anschaulich in für Aktienop mit amerikanischen Optionen benötigt man erklärt wird hierbei der Effekt integriert, nternehmen diskrete Approximationen des Aktienkurses, dass die Volatilität des Aktienkurses steigt, acht ulich hat in Abbildung Eigenschaften oder nicht. 2 illustriert, Mit eine anderen erhebliche wo eine Worten, Menge Recovery-Annah- an mandie erhält nicht tienkurs so einfach massiv aus Donskers einbricht, Theorem wenn nicht sogar derpraktisch Regel mitauf demnull Zahlungsausfall e wenn das Level des Aktienkurses fällt. Obwohl so ignoriert diese tienkurs zusätzliche manmassiv fundamen- Eigenschaft einbricht, weitere wenn nic deutlich 40% des mathematischen schneller eingesetzten gutes Widrigkeiten Nominals Gefühl verwendet mit für sich die Mechanik wird. abgeleitet fällt. werden Ignoriert können manwie solche im einfachen Effekte, dells. Drittens bringt. sind Diese geschlossene zu umschiffen ist Formeln für die effiziente darauf Implementierung um theoretische hinzuweisen, eines Modelleigenschaften Credit-Equi- dass diese Reihe sehr Unternehmens, an allgemeine Diffusionsprozesse welche die Grundlage gut lässt, für ist jegliche interessanterweise tale Zusammenhänge Form von genau Ka-das zwischen Ge- Eig sehrJump-to-Default-Modell. oft tale die Zusammenhänge Es gibt zwischen zwar für Eigen- mathematische undfällt. Fremdkapital Ignoriert Widrigkeiten man eines erwarten solche Effekte, s dings oraussetzung, wichtig rschen. swertenEin Eigenschaften ty-Modells Beispiel notwendig. isteine dieDie Wahrscheinlichkeit erhebliche größten Herausforderungen, mit niemals Menge an funktionierende dafür, mahen as Unternehmen Widrigkeiten pitalstrukturarbitrage Algorithmen, deren bilden. Validität auch genteil der Unternehmens, Fall: Sowohl die geschlossenen welche die Grundlag deren sichLösungen bringt. zahlungsunfähig mitunter Diese zu sehr umschiffen wird, welnchmal ffizientegeschlossen Implementierung ausgerechnet eines Credit-Equity-Modells überprüft werden kann, jedoch findet man als auch die Der mithilfe vorliegende von geschlossenen Artikel gibt Formeln eine Übersicht Formeln für pitalstrukturarbitrage über europäische Credit-Equity- Aktienoptionen bilden. tief in die Wahrscheinlichkeitstheorie werden kann. Modelle Innt Die erscheint größten Herausforderungen, etwa die Frage, ob deren diese Lösungen Wahrscheinren mit-Eigenschaften. Wie immer in der angewandten Modelle (ohne Mathema- Anspruch auf Vollstä (ohne Anspruch auf Vollständigkeit), Der numerische und vorliegende Umsetzung diskutiertArtikel der de- gibt eine Üb hineinreichen können, sind in der Folge in den wenigsten Fällen eine präzise mathematische Untersuchung über die Güte der amerikanischen Optionen werden einfa- Bewertungsmethoden für Instrumente mit . aufgelistet: rüberhaupt tief in die (a) von Wahrscheinlichkeitstheorie Aktienreturns null verschieden (vor Ausfall) sein sind kann. hineinreichen nicht Auch Approximation stae Eigenschaften in dermehr Folge normalverteilt aufgelistet: der Aktienreturns wegen des lassen zufälligen sich zum mitun- Modelle Beispiel in einen Müller schwierigen (2009) für das klassi- SpagatArtikel zwischen Carr, tik Realismus kann Madan im(2010), Allgemeinen auf welcher der eine auch hier fe tik kann imwie Allgemeinen sie im Gegensatz auch dazu hier festgestellt ren werden, Eigenschaften. dass dieWie immer in d cher. Noch einen Schritt weiter geht der ind acher untersuchen, Driftterms. Deren wenn Verteilung man deren kann zwar Wahrscheinlich- einen Black-Scholes-Modell und Anwendbarkeit zu finden aufist. der anderen beliebige Seite Modelle lokale Volatilität bewerkstelligen einenfür schwierigen den Aktienkursprozess vorstellen, einen zulässt. werden und Anwendbarkeit zunächst auf der an Spagat z returns (vor Ausfall) sind nicht mehr normalverteilt wes zufälligen net werden, Driftterms. ist aber Deren selbst Verteilung dann mitunter kann zwar merischen in rteilung genau einzelnen, kennt, wichtigen was manchmal Fällen exakt berech- der Fall ist. Dasselbe müssen. trifft auch Bevor für die wiralternativen, einzelne Modelle nu- in Abschnitt Lösungsansätze 2 einige mittels grundsätzliche partiellen Anforderungen müssen. Bevor diskutiert, wir einzelne Modelle en, wichtigen schwierig Fällen zu handhaben. exakt berechnet werden, ist Differentialgleichungen aber zu. Die häufig vorgeschlagenen (1998) welche wir für Credit-Equity-Modelle ll, dann welches mitunter (b) zum Geschlossene schwierig BeispielFormeln inzuTsiveriotis, handhaben. für europäische Fernandes 5 Weitere als sinnvoll Modelle Abschnitt erachten. 2 einige Wir grundsätzliche Herleitungen sowie Lösungen gen undOptionen in Kwok, und Lau Ausfallwahrscheinlichkeiten (2004) verwendet wird, ist haben das diskutieren in Abschnitt 3 das denkbar einfachste welche wir Modell, für Credit-Equity-Modelle welches so für die Ausfallzeit des Unternehmensdiskutieren eine Exponentialver- in Abschnitt 3 das denk manchmal einen stark heuristischen Zu guter Letzt wollen wir die Gelegenheit Credit-Equity-Modell lossene sind Formeln nur sehr fürschwierig und europäische vielleicht zu erhalten. Optionen auch deswegen und Charakter. Ausrscheinlichkeiten „Marktstandard“, In einigen Fällen sind vornehmlich kennt nur sehr man für zwar schwierig die geschlos- Bewertung zu erhalten. Für von teilung interessierte unterstellt Leser möchten und annimmt, wir in dass welches derdie ches Aktienkurs Ausfallzeit noch nutzen, auf ein Modell hinzuweisen, für die etwas bei Ausfallzeit Zahlungsunfähigkeit de- noch einige Referenzen auf null empfeh- springt. Abschnitt niert, und teilung zumindest 4 widmet unterstellt von sich der theoretischen den und annimmt, da anders defi- des Unterneh leihen. en Fällen Leider sene kennt Formeln, werden manderen in zwar diesem numerische geschlossene Modell Auswer- dieFormeln, Aktien- der und Folge merische ponenten Auswertung vollständig am PC allerdings amentkoppelt, PCnicht allerdings immer so trivial dass nicht immer viele len, der sogenannten welche tri- sich mit 1 1 2 -Faktor-Modellen Modellen, Seite welche her lungsunfähigkeit ebenso die Exponentialverteilungsannahme Zunächst sei hier aufheben, eine ganze Rei- indemschaften sie dieaufweist sogenannten Ausfallintensität wie die 1 1 2 -Faktor-Mo- sto- Modellen, wünschenswerte auf null Eigen- springt. Ab , ist, da Beispiel sehr spezielle Funktionen wie hypergeometrische Funktionen he an swerten da zumEigenschaften Beispiel sehr spezielle aus demFunktionen vorherigenwiebefassen. Abschnitt hypertrische Daher Funktionen betrachten auftreten, wir eine deren leichte numerische Erweiterung Auschastisch Arbeiten von alsBielecki, Funktion Crépey, desJean- Aktienkurses delle. Es definieren. wurde teilungsannahme entwickelt Schließlich von Chen, aufheben, Kou indem s hen. auftreten, deren numerische Auswertung blanc und Rutkowski erwähnt, die sich (2009), welche dells, g selbst welche Thema selbst einen ganzer Thema Kurssprung Forschungsarbeiten ganzer Forschungsarbeiten der Aktie aufist. Null Innach gän- bieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überblick chastisch den aggregierten über weitere als Funktion Wert aller Modellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. bieten wir in Abschnitt 5 noch einen des Aktienku dem Thema in einer sehr großen Allgemeinheit annehmen und die mathematizess definieren und die Ausfallzeit als den Assets des Unternehmens als Sprungpro- Spezifikationen nfähigkeit ist. des In gängigen Unternehmens gilt etwa Spezifikationen für dienach Ausfallzeit sich gilt etwa zieht. τ, definiert Dieser dass er Zahlungsunfähigkeit dellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst für die Ausfallzeit τ , des definiert Unternehmens in (3), dass wird schen alsGrundlagen sehr präzise herausarbeiten, siehe Bielecki et al. (2008a,b, 2009, unter eine gewisse Schranke, nämlich den ersten Zeitpunkt, an dem dieser Prozess alverteilung definiert. Das bedeutet, dass die Überlecheinlichkeit P(τ bis >t)=E zum (zukünftigen) [e − ∫ t 0 h(Su) du] Zeitpunkt , t 2011). > 0Aufgrund der angestrebten Allge- Ein Credit-Equity-Modell muten diese Arbeiten allerdings muss aufdes derUnternehmens, einen Seite fällt. einfach Der eigentliche ge- Wert der gesammelten Verbindlichkeiten >t)=e −λt gegeben 2 Anforderungen ist, für einen Modellparame- an einmeinheit was klarmacht, warum geschlossene Formeln für Überlebenswahrscheinlichkeiten tischen Anwender nur schwer verdaulich. diesem Modellrahmen sehr , rmacht, welcher warum als Ausfallintensität geschlossene Credit-Equity Formeln bezeichnet für Modell Überlebensheinlichkeiten ist schwierig in mehrerer zu Hinsicht erhalten eine sind. wird 1 . Die nug theoretisch sein, um an und effiziente 2 sind Anforderungen für Bewertungsroutinen den prak- anAktienkurs ein Ein möglich des Credit-Equity-Modell Unternehmens zu machen, muss in muss auf d alverteilung schwierig zu erhalten sind. angenehme d.h. um überhaupt von praktischem Interesse zu sein. Auf der Für das Modell, welches durch Credit-Equity (2) bzw. (5) Modell nug sein, umabgeleitet effiziente werden Bewertungsro als Differenz aus dem Marktwert des Unternehmens und dessen aggregierten Ver- 10 erstellt (c) Durch man (c) Durch zum den den Beispiel zufälligen zusätzlich Driftterm eine h(S t kontinuierlisung im undklassischen kann bezeichnet es – anders Black-Scholes-Modell die Zero als im Rate klassischen für den– Zeitraum passieren, Formeln schenswerte für dass Ausfallwahrscheinlichkeiten der ) kann anderen – anders Seite als sollte man aber auch so viele d.h. theoretisch um überhaupt wün- von praktischem beschrieben wird, werden geschlossene Eigenschaften einbauen wie eben anderen möglich. SeiteDieser sollte man aber auch bindlichkeiten, was die Bewertung von Diffusionsprozess, Black-Scholes-Modell welcher – passieren, den dass Aktienkurs der und vor ganz europäische dem natürliche Zeitpunkt Aktienoptionen Zielkonflikt in Linetsky (2006) mus zwischen Aktienderivaten Praktikabilität schenswerte schwieriger undEigenschaften Realis- gestaltet. einbaue enklatur wird gerechtfertigt durch Formel (4), siehe unten. derDiffusionsprozess, Zahlungsunfähigkeit welcher modellieren den Aktienkurs soll, null wird. hergeleitet, soll Dies in macht der eine Folge Referenz näher die das beleuchtet Solch ein werden, ganz Modell natürliche indem wird strukturelles wirZielkonflikt ausModell zwischen vor dem Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit modellieren soll, null wird. Dies macht und exakten Art und Weise vorstellt. Das- anschaulich unserer als Funktion Sichtvon wünschenswerte tatsächlichen Mode Modell 4 aus ökonomischer Sicht wenig Sinn und muss unserer auch in daher auf Sicht einer Modellebene ausgeschlossen werden. In manchen Modellspe- wünschenswerte sehr ausführlichen Modelleigenschaften genannt, mus da die soll Ausfallzeit insammeln. der Folge explizit näher und beleuch aus ökonomischer Sicht wenig Sinn und selbe Modell wird auch schon in den früheren werden, Referenzen dass Andersen, Buffum beschrieben wird. Größen (Assets und Verbindlichkeiten) zifikationen muss daher kann auf Modellebene mathematisch ausgeschlossen der werden. Diffusionsprozess In manchen Modellspezifika- null werden kann, (2004); aber Ayache der et al. Zeit- (2003) zur Bewertung Den Ursprung struktureller Modelle bil- nachgewiesen zwar punkt tionen derkann Zahlungsunfähigkeit, mathematisch nachgewiesen definiert von über Wandelanleihen (3), in jedem herangezogen, welche den die wegweisenden Arbeiten von Merton (1974); Black, Cox (1976), welche 2 in der Fallwerden, vorherdass eintritt. zwar Dies der Diffusionsprozess behebt das Problem, das Thema da derallerdings Aktienkursnull nach werden diesem kann, aber Zeitpunkt der Zeitpunkt sowieso der aufdungsorientierter null gesetzt wird. betrachten und für die Folge entscheidend weiterentwickelt wer- deutlich anwen- Solch ein mathematischer Beweis erweist sich allerdings als nicht trivial.