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RISIKO MANAGER 05.2016

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36 RISIKO MANAGER 05|2016 besitzen. Zwei dieser Verteilungen werden in seinem Aufsatz länger diskutiert, eine dritte nur als kurze Nebenbemerkung angegeben. Diese dritte Verteilung lautet: Gleichung 03 Gleichung 03 Gumbels bivariate Exponentialverteilung Diese Funktion, bzw. ihre natürliche Erweiterung auf Komponenten, wird heute als Gumbel-Copula bezeichnet, bisweilen auch Gumbel-Hougaard-Copula (Hougaard entdeckte diese Copula wieder in [vgl. Hougaard 1986]). Die Gumbel-Copula gehört sicherlich zu den bekanntesten und am häufigsten eingesetzten parametrischen Familien an Copulas. Daher sind ihre Eigenschaften gut studiert und in den Standardwerken [vgl. Nelsen 2006, Mai/ Scherer 2012, Joe 2014, Durante/Sempi 2015] dokumentiert. Eine Besonderheit der Gumbel-Copula ist es, dass sie die einzige Copula darstellt, die gleichzeitig eine Archimedische und eine Extremwertcopula ist [vgl. Genest/Rivest 1989]. Vermutlich ohne es zu wissen, schlug Gumbel daher schon in 1960 eine wichtige Brücke zur multivariaten Extremwerttheorie, in welcher die Gumbel-Copula eine prominente Rolle einnimmt. Die Gumbel-Copula wird aber auch in verschiedenen finanzmathematischen Anwendungen genutzt [vgl. Hu 2006, Hofert/Scherer 2011]. Nun wollen wir noch einen intuitiven Zugang zur Gumbel-Copula nennen, über den diese auch simuliert werden kann, was für Monte Carlo Studien wichtig ist, siehe Abb. 03. Stellen wir uns vor, wir betrachten zwei identische, elektrische Bauteile, deren zufällige Lebenszeiten mit bezeichnet seien. Als Basis dient wieder die Exponentialverteilung, dieses Mal mit Parameter >0. Nun nehmen wir zusätzlich an, dass dieser Parameter selbst zufällig ist, beispielsweise da die Qualität des Materials der Bauteile schwankt. Der Parameter wird randomisiert und somit aufgefasst als Realisation einer positiven Zufallsvariable . Wir erhalten (mittels Ausintegration von bedingten Wahrscheinlichkeiten) für die Lebenszeitverteilung der einzelnen Bauteile , wobei (t) die Laplace-Transformierte der nun zufälligen Intensität ist. Für das gemeinsame Überleben zweier Bauteile (aus der gleichen Charge und damit dem identischen, zufälligen ) ermitteln wir Interessanterweise ist es aber gerade die von ihm nicht tiefer untersuchte Verteilung, in welcher sich die Gumbel-Copula versteckt (der Begriff Copula wurde erst 1959 von Abe Sklar eingeführt, Gumbel hat diesen Begriff nicht benutzt, eventuell auch nie kennengelernt). Copulas sind Funktionen, welche die Abhängigkeit in einem Vektor an Zufallsvariablen beschreiben. Der fundamentale Satz von Abe Sklar [vgl. Sklar 1959] besagt, dass für jede gemeinsame Verteilungsfunktion eine Copula gefunden werden kann, für die die Gleichung gilt, wobei die Randverteilungen der individuellen Komponenten beschreiben. Fast identisch gilt dieser Zusammenhang auch für die damit verwandten Survival-Funktionen, hier haben wir für die sogenannte Survival-Copula . Schauen wir uns dies im Beispiel der dritten bivariaten Exponentialverteilung aus [vgl. Gumbel 1960] einmal genauer an. Wir ermitteln zunächst die gemeinsame Survival-Funktion . Die individuellen sind exponentialverteilt und somit gilt . Damit erhalten wir den Zusammenhang mittels Gleichung 04. Gleichung 04 Die bivariate Gumbel-Copula . Die dazu gehörende Survival-Copula hat gerade die funktionale Form , exakt so werden (bivariate) Archimedische Copulas definiert. Wird in diesem Modell nun die Rate als -stabile Zufallsvariable modelliert, so hat diese die Laplace-Transformation , und wir erhalten mit = genau die Struktur der Gumbel-Copula. Eine wichtige Bemerkung macht Gumbel abschließend in seiner Arbeit [vgl. Gumbel 1960, p. 707]. Er bemerkt: „The fact that many of the properties of bivariate normal distribution do not hold here may serve as a warning against the indiscriminate use of normal correlation and regression analysis; prior investigation of the nature of the bivariate distributions is necessary.“ Diese Warnung – lange vor der Finanzkrise 2007/08 ausgesprochen – hätte als Disclaimer zur Nutzung der Gauss‘schen-Copula im Kontext von Kreditausfällen sicherlich nicht geschadet. Eine weitere, zumindest geteilt nach Gumbel benannte Copula, ist die sogenannte Farlie-Gumbel-Morgenstern-Familie. Diese ist analytisch gegeben durch (die Parameter sind gewissen Restriktionen unterworfen, auf die wir nicht eingehen) Gleichung 05. Diese Copula ist insbesondere als pädagogisches Beispiel interessant, da für eine geschickte Parameterwahl zwar all ihre bivariaten Ränder unabhängig sind, die gemeinsame Verteilung aber nicht die Unabhängigkeits-Copula ist. Für =3 und erhalten wir , was sich für =1 zur bivariaten Unabhängigkeits-Copula vereinfacht. Dies ist anders

Marktrisiko 37 als im Fall der Gauss‘schen-Copula, bei der unabhängige Paare bereits eine d-variate Unabhängigkeits-Copula implizieren. Für Anwendungen scheint diese Copula aber nur bedingt geeignet, da sie nur geringe Abhängigkeiten beschreiben kann. Der Name der Copula leitet sich aus den Referenzen [vgl. Morgenstern 1956, Gumbel 1958b, Farlie 1960] ab. Interessant an Gumbels Referenz ist dabei, dass er schon beliebige Randverteilungen in diese Copula einsetzt, die Idee der Separation von Rändern und Abhängigkeitsstruktur also schon im damaligen Zeitgeist vorhanden ist. Es gibt aber eine noch ältere Referenz für diese Copula: [vgl. Eyraud 1938]. Diese wurde nur im Archiv der Universität von Lyon veröffentlicht und ist daher fast unbekannt und nur schwer zu beziehen. Und hier schließt sich der Kreis zu Gumbel. Der Autor Henri Eyraud war nämlich erster Leiter des 1930 gegründeten ISFA (Institut de Science Financière et d'Assurances) der Universität Lyon, an der Gumbel im französischen Exil arbeitete. Beide forschten zu dieser Zeit an Fragen zu bivariaten Verteilungen und Aussagen zur Korrelation. Es ist also sehr plausibel, dass sie sich über dieses Thema austauschten. Emil J. Gumbel: Ein streitbarer Pazifist Doktorvater war Georg von Mayr. Zunächst meldete er sich freiwillig für den Wehrdienst, das Personalstand-Verzeichnis der LMU für Winter 1914-15 meldet seinen Wohnort als „Im Heere“, doch schon bald wurde er aus gesundheitlichen Gründen Gleichung 05 entlassen. Der Verlust einiger enger Familienmitglieder machte ihn zu einem überzeugten Pazifisten. Er zog nach Berlin und studierte dort Physik an der Humboldt Universität, unter anderem als Schüler von Albert Einstein, mit dem er auch sein Engagement in verschiedenen pazifistischen Organisationen teilte. Einstein war später aktiver Fürsprecher Gumbels und schrieb Vorwörter zu einigen seiner Bücher. Gumbel arbeitete zunächst für eine Flugzeugmeisterei, später für die Firma Telefunken. Abb. 03 Die Eyraud-Farlie-Gumbel-Morgenstern-Copula Gumbel war akribischer Sammler von politischen Zeitungsberichten. Diese dienten ihm als Grundlage für politische Reden und Schriften und führten zu seinem ersten politischen Buch „Zwei Jahre Mord“, das später zu „Vier Jahre politischer Mord“ erweitert wurde. Diese Bücher enthalten eine minutiöse Sammlung politisch motivierter Morde in der frühen Weimarer Republik und insbesondere die statistische Auswertung der daraus resultierenden Gerichtsprozesse. Seine Berechnungen „354 politische Morde von rechts; Gesamtsühne: 90 Jahre, 2 Monate Einsperrung, 730 M. Geldstrafe und 1 lebenslängliche Haft“ gegenüber „22 Morde von links; Gesamtsühne: 10 Erschießungen, 248 Jahre, 9 Monate Einsperrung, 3 lebenslängliche Zuchthausstrafen.“ führten zu einem 1.000 Stichproben einer Gumbel-Copula. Der Parameter m wurde so gewählt, dass Kendall’s den Wert 0.5 annimmt. Man kann an der Häufung der Punkte in der Ecke oben-rechts die obere Tail-Abhängigkeit der Gumbel-Copula erahnen. Gumbels politischer Lebenslauf ist historisch gut dokumentiert [vgl. Jansen 1991, Brenner 2001], wir geben daher nur einen Abriss. Er wuchs gutsituiert im Münchner Stadtteil Lehel auf und besuchte dort das humanistische Wilhelmsgymnasium. Emil J. Gumbel (vgl. Abb. 04) entstammte einer jüdischen Familie, Teilhaber des Bank- und Kommissionsgeschäfts Gumbel am Münchner Marienplatz, doch Religiosität sollte keine Rolle für ihn spielen. Ab 1910 studierte er an der Ludwig-Maximilians-Universität (LMU) Mathematik und Nationalökonomie und schloss 1913 mit einem Diplom als Versicherungssachverständiger ab. Danach war er angestellt als Assistent am Seminar für Versicherungswissenschaften der LMU und promovierte sich – eine Woche vor Ausbruch des ersten Weltkriegs – zum Thema „Über die Interpolation des Bevölkerungszustandes“. Sein U 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 U 1

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