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RISIKO MANAGER 05.2016

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34 RISIKO MANAGER 05|2016 Die Gumbel-Verteilung in der Extremwerttheorie Für unabhängig und identisch verteilte Beobachtungen sind Aussagen über deren Mittelwert statistisches Basiswissen. Falls die entsprechenden Momente existieren, konvergiert gemäß des starken Gesetzes der großen Zahlen (fast sicher) gegen . Die normierte und zentrierte Summe strebt nach dem zentralen Grenzwertsatz gegen eine normalverteilte Größe, präziser ausgedrückt, konvergiert in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Größe, wobei . Diese Aussagen gelten unabhängig von der gewählten Verteilung von . In Abb. 02 wird dies anhand der Exponentialverteilung illustriert, hier sind Erwartungswert und Varianz jeweils identisch zu Eins. Für viele Anwendungen, insbesondere im quantitativen Risikomanagement, ist aber nicht der Mittelwert die entscheidende Größe – es sind vielmehr die Extreme. Dies ist offensichtlich im hydrologischen Ingenieurswesen: Ein Damm muss nicht nur einer durchschnittlichen Flutwelle standhalten, sondern einer außergewöhnlich großen. Eine klassische Fragestellung der Extremwerttheorie ist demnach: Wie hoch muss ein Damm gebaut werden, um einer Jahrtausendflut standzuhalten? Die Analogie zu finanziellen Verlusten und den regulatorischen Zielen von Solvency II beziehungsweise Basel III ist offensichtlich. Ein wichtiger Beitrag der Extremwerttheorie sind Aussagen über das stochastische Verhalten von extremen Ordnungsstatistiken wie , interpretiert beispielsweise als der maximale finanzielle Verlust aus Perioden oder ein maximaler jährlicher Wasserstand in hydrologischen Anwendungen. Sehr einfach lässt sich nachrechnen, dass die Verteilung von gerade die -te Potenz der Verteilung von ist und somit gegen den rechten Endpunkt des Wertebereichs von strebt (für ). Interessanter, und für Grenzwertaussagen nützlicher, ist die Frage, ob es – in Analogie zum zentralen Grenzwertsatz – die Möglichkeit einer geeigneten Skalierung und Zentrierung gibt, um eine nicht-degenerierte Grenzverteilung zu erhalten. Gesucht sind demnach zwei Folgen , sodass gegen eine nicht-degenerierte Grenzverteilung konvergiert (wieder für ). Damit verbunden sind die Fragen: Wie können diese Folgen bestimmt werden? Für welche Verteilungen von existieren sie? Sind diese Folgen eindeutig? Betrachten wir als Beispiel die standardisierte Exponentialverteilung, also . Wir vermuten als normierende Folgen sowie . Eine kleine Rechnung Gleichung 01 ergibt nun: Gleichung 01 Die so als Grenzwert für gewonnene Verteilungsfunktion ist die heute nach Gumbel benannte Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Exponentialverteilung ist aber nicht die einzige Basisverteilung, deren geeignet normiertes und skaliertes Maximum gegen die Gumbel-Verteilung strebt. Dies gilt für viele weitere Verteilungen. Allerdings ist dieser Grenzwert nicht eindeutig. Es gibt neben der Gumbel-Verteilung noch genau zwei weitere alternative Grenzverteilungen. Dies präzisiert der berühmte Satz von Fisher-Tippett [vgl. Fisher/Tippett 1928]. Als erster rigoroser Beweis dieses Ergebnisses gilt die Arbeit von Gnedenko [vgl. Gnedenko 1943], daher wird das Resultat auch gelegentlich als Fisher-Tippett-Gnedenko-Theorem bezeichnet. Theorem von Fisher-Tippett: Strebt die Verteilung des durch skalierten und zentrierten Maximum aus unabhängig und identisch verteilten Stichproben gegen eine nicht-degenerierte Grenzverteilung, so ist diese zwingend gegeben durch die parametrische Gestalt Gleichung 02 Gleichung 02 wobei . Es werden nun drei Fälle unterschieden: Für spricht man von einer Fréchet-Verteilung. Diese erhält man als Grenzverteilung, wenn die Dichte der polynomiell abfallende Ränder hat, also beispielsweise für die Pareto-Verteilung. Damit ist dies ein sehr wichtiger Fall für das quantitative Risikomanagement, da beispielsweise operationelle Verluste/Risiken typischerweise durch Pareto-Verteilungen modelliert werden. Weitere bekannte Familien, deren (skaliertes) Konvergenz des Maximums exponentialverteilter Zufallsvariablen Generalisierte Extremwertverteilung Maximum gegen die Fréchet-Verteilung konvergiert, sind die Cauchy- und Burr- (stabil für ) Verteilung sowie die logarithmische Gammaverteilung. Als Beispiel kann man leicht nachrechnen, dass für und Folgen die Grenzverteilung und entsteht. Für erhält man die Weibull-Verteilung. Diese entsteht als Grenzverteilung, wenn die Basisverteilung der einen nach oben beschränkten Wertebereich hat, also beispielsweise für eine Gleichverteilung auf [0,1], was mittels der Folgen leicht zu verifizieren ist. Als weiteres Beispiel dient die Betaverteilung. Der Fall der Gumbel-Verteilung entspricht nun . Hier nutzen wir die Interpretation . Diesen Grenzwert erhalten wir unter anderem, wenn die Basisverteilung der Exponential-, Weibull- oder normalverteilt ist. Insbesondere für hydrologische Anwendungen nutzte und popula-

Marktrisiko 35 risierte Gumbel diese Verteilung. In seinem Buch [Gumbel 1958] schrieb er dazu das berühmte Bonmot: „it seems that the rivers know the theory. It only remains to convince the engineers of the validity of this analysis“. Praktische Anwendung findet diese Theorie in Gumbels Aufsätzen an Datensätzen zum Hochwasserdurchfluss verschiedener Flüsse, zu Tiefsttemperaturen in Alabama, zum maximalen Schneefallmengen in Boston, maximalem Luftdruck in Bergen (Norwegen), der Stärke von Erdbeben, extremen Regenmengen, Bruchstärken von Materialien, Lebenszeiten von Menschen und Bakterien, Radioaktivität und jährlichen Maxima des Dow Jones. Dabei popularisierte er die Extremwerttheorie – und insbesondere die Verteilungsfunktion – in unterschiedlichen wissenschaftlichen Gebieten. Auch erläuterte er sehr anschaulich, wie man mithilfe von sogenanntem Wahrscheinlichkeitspapier (heute würde man mittels Software einen QQ-Plot erstellen) empirische Analysen durchführt und die Parameter der (nicht-normierten) Gumbel-Verteilung schätzt. Der kritische Leser mag nun berechtigterweise einwenden, dass Flusshöhen (oder Aktienkurse) an aufeinander folgenden Tagen nicht stochastisch unabhängig sind. In Gumbels Jargon bleibend ist man geneigt zu antworten, dass das dem Fluss egal ist und die jährlichen Maxima trotzdem der Gumbel-Verteilung gehorchen. Und tatsächlich lassen sich die Grenzwertaussagen unter deutlich schwächeren Bedingungen formulieren: für stationäre Zeitreihen [vgl. Leadbetter 1974] oder sogar für nicht stationäre Zeitreihen [vgl. Hüsler 1983 & 1986], beispielsweise falls die Autokorrelationen der Zeitreihen nicht zu langsam fallen, was man in der Praxis bei Flusspegeln als gegeben annehmen kann. Die Gumbel-Copula In vielen praktischen Anwendungen müssen mehrere stochastische Objekte gemeinsam untersucht werden. In der Hydrologie können dies Wasserstände in einem System von Flüssen oder andere meteorologische Ausprägungen (Wind, M n −log(n) (S n −n)n −1 2 0.0 0.1 0.2 0.3 Temperatur, Regenmenge etc.) sein, im Risikomanagement werden Portfolios aus unterschiedlichen Risikokategorien modelliert; man denke nur an Solvency II. Gumbel war seit seiner Promotion „Über die Interpolation des Bevölkerungszustandes“ an der Modellierung von Ausfall- und Sterbezeiten interessiert, viele seiner Aufsätze beschäftigen sich mit der Statistik von Lebenszeiten. In diesem Kontext ist die Exponentialverteilung eine natürliche Ausgangsbasis. Nimmt man nun an, dass zwei Zufallsvariablen jeweils exponentialverteilt sind, so legt dies keineswegs die gemeinsame Verteilung fest. In Gumbels Arbeit über bivariate Exponentialverteilungen [vgl. Gumbel 1960] beginnt so auch der Abstract mit den Sätzen: „A bivariate distribution is not determined by the knowledge of the margins. Two bivariate distributions with exponential margins are analyzed and another is briefly mentioned.“ Gumbel konstruiert drei unterschiedliche bivariate Verteilungen, die jeweils exponentialverteilte Randverteilungen Abb. 02 Illustration der Approximation von sowie des zentralen Grenzwertsatzes. Es werden =1000 Mal =50 unabhängige Exponentialverteilungen gezogen und daraus einerseits , andererseits , berechnet. Die resultierenden Histogramme werden mit der Gumbel-Dichte (oben, blau) und der Normalverteilungsdichte (unten, rot) verglichen. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Normiertes und zentriertes Maximum M[50] und Gumbel−Dichte −2 0 2 4 6 8 Normierte und zentrierter Summe S[50] und Standardnormalverteilung −3 −2 −1 0 1 2 3

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