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RISIKO MANAGER 05.2016

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22 RISIKO MANAGER 05|2016 Nach mehrmaliger Anwendung dieses Verfahrens erhält man die multivariate empirische Verteilung der einjährigen Entwicklungen aller Laufzeiten unter Berücksichtigung ihrer Querschnittsabhängigkeiten. Erfahrungsgemäß können ohne spezielle Anforderungen an die Rechenkapazität über eine Million Pfade in wenigen Minuten erzeugt werden. Auswahl der Delta-Spread-Szenarien Die sich ergebenden Endpunkte der kumulierten Pfade entsprechen der absoluten Spreadveränderung bis zum Risikohorizont. Um eine performante Lösung zu gewährleisten, ist es möglicherweise notwendig, die hohe Anzahl der vorhandenen Szenarien auf eine deutlich kleinere Menge zu verdichten. Diese repräsentativen Werte werden anschließend mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit versehen. Ein möglicher Ansatz besteht darin, die Menge aller Szenarien zu sortieren und repräsentative Quantile aus dieser Menge zu extrahieren, wie in Abb. 04 veranschaulicht wird: Bei der Ermittlung der Szenarien werden alle Laufzeiten und PD-Klassen simultan gezogen, um so die impliziten Korrelationen zwischen den einzelnen Laufzeitbändern abzubilden. Die Laufzeitbänder sind jedoch nicht perfekt miteinander korreliert, sondern können sich auch im Prinzip entgegengesetzt entwickeln. Dadurch wird die Herstellung einer strengen Rangordnung erschwert. Aus den verschiedenen möglichen Lösungsansätzen haben sich, nach Erfahrung der Autoren, folgende als besonders nützlich herauskristallisiert. Monotonisierung mithilfe einer Hauptkomponentenanalyse Da die Querschnittsabhängigkeiten zwischen den verschiedenen Laufzeiten sehr hoch sind, kann man mithilfe der Hauptkomponentenanalyse diejenige Linearkombination der Zeitreihen extrahieren, welche den größten Anteil an der Datenvariabilität erklärt. Diese Linearkombination ließe sich ohne Weiteres der Größe nach sortieren. Alternativ dazu können weitere Hauptkomponenten herangezogen werden (im vorliegenden Fall wären nicht mehr als insgesamt drei nötig). Ein Index kann dann durch gewichtete Kombination dieser Hauptkomponenten gebildet werden [vgl. Nicoletti/Scarpetta/Boylaud 2000], dessen Werte dann über die Rangordnung der Szenarien entscheiden. Da bei diesem Verfahren jeweils nur ein Szenario als Repräsentant eines Bereichs gezogen wird, empfiehlt es sich, die Ergebnisse zu stabilisieren. Zu diesem Zweck wird ein Durchschnitt der um das erwünschte Quantil angrenzenden Szenarien gebildet. Monotionisierung anhand der Risikobewirkung Eine weitere Methodik, um Ordnung in die Menge der Delta-Spread-Szenarien zu bekommen, ist die Monotonisierung gemäß der Risikobewirkung für das betrachtete Wertpapierportfolio. Diese Ordnung ist vor allem dann sinnvoll, wenn für die Risikomessung nur einige wenige Quantilswerte (oder gar nur einer wie beispielsweise beim VaR) erforderlich sind. Das folgende einfache zweistufige Verfahren ermöglicht es, eine beliebige Anzahl an Delta-Spread-Szenarien nach ihrer barwertigen Risikowirkung zu ordnen, ohne dabei eine tatsächliche Vollbewertung des Bestands in den Szenarien vorzunehmen. Dabei wird auf die Eigenschaft zurückgegriffen, dass für die meisten Wertpapiere ein nahezu linearer Zusammenhang zwischen Spreadbewegung und Marktwertbewegung besteht. Zunächst wird im ersten Schritt eine Portfoliogewichtung bestimmt. Hierzu ist eine Clusterung der Wertpapierbestände nach Laufzeiten und PD-Klassen vorzunehmen. Dies bedeutet, dass jedem Wertpapier eine (oder anteilig mehrere) PD-Klasse zugewiesen wird, die der Bonität des Wertpapiers entspricht. Ebenso wird eine Zuordnung gemäß der Restlaufzeit des Wertpapiers zu den Laufzeitstützstellen der Spreadkurven vorgenommen. Gemäß dieser Einkategorisierung wird der Nominalbetrag der Anleihen den einzelnen Lauf- Abb. 05 Finale Delta-Spread- und Credit-Spread-Szenarien der ersten Ratingklasse Delta-Spread Spread 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre 7 Jahre 8 Jahre 9 Jahre 10 Jahre Laufzeit 15 Jahre 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre 7 Jahre 8 Jahre Laufzeit 9 Jahre 10 Jahre 15 Jahre

Marktrisiko 23 zeitstützstellen der Credit-Spread-Kurven zugeordnet. So erhält man eine Matrix der Nominalgewichte des Portfolios nach PD-Klasse und Laufzeiten. Die Nominalgewichte können anschließend in Risikogewichte umgewandelt werden. Das Risikogewicht entspricht dem Barwertverlust der Wertpapiere einer bestimmten Laufzeit und PD-Klasse bei einem Anstieg des Delta-Spreads (für diese Laufzeit und PD-Klasse) um einen Basispunkt. Im zweiten Schritt wird mithilfe der erzeugten Risikogewichte die Ordnung der Delta-Spread-Szenarien vorgenommen. Hierzu werden die jeweiligen Delta-Spreads eines Szenarios komponentenweise mit den Gewichten der Risikogewichtematrix multipliziert und aufaddiert. Der so ermittelte Wert stellt eine gute Näherung für den barwertigen Gewinn/Verlust des Portfolios im jeweiligen Szenario dar. Eine abschließende Sortierung der Delta-Spread-Szenarien nach den genäherten Barwertbewirkungen liefert die gewünschte Monotonisierung und ermöglicht die Weiterverarbeitung einzelner Szenarien. Die Vorgehensweise wird nun anhand eines einfachen Beispiels veranschaulicht: Eine Bank habe genau zwei festverzinsliche Wertpapiere (WP) mit je einer Mio. € nominal in ihrem Portfolio. Wie oben bereits erwähnt betrachten wir lediglich die Nominal- und keine Kuponzahlungen. Die Wertveränderung RG (Risikogewicht) wird hier vereinfacht über Gleichung 02 ermittelt. Dabei bezeichnet die Konstante eine Spreadveränderung um einen Basispunkt, die modifizierte Duration in Prozentt und das Nominal in EUR des i-ten Wertpapiers. Die vereinfachte Formel kann in diesem Fall verwendet werden, da es sich hierbei um festverzinsliche Wertpapiere handelt. Bei Floatern ist jedoch wichtig, dass die Kapitalbindung und nicht die Zinsbindung, angesetzt wird, um die Barwertbewirkung eines Spreadanstiegs zu ermitteln. Da keine Kuponzahlung mit einbezogen wird, ergibt sich die modifizierte Duration, wie bei klassischen Zerobonds, näherungsweise aus der Restlaufzeit des Wertpapiers (Diskontierungseffekte werden der Einfachheit wegen vernachlässigt). WP 1 hat eine Restlaufzeit von fünf Jahren und ein AAA-Rating. Die Formel der Wertveränderung ergibt den Wert 500 € = 0,01 Prozent (Spreadveränderung) * 5 Prozent (Wertveränderung pro Prozentpunkt Spreadveränderung) * 1 Mio. € (Nominal). Dieser Wert wird nun in der Risikogewichtematrix der Zeile des AAA-Rating und der Spalte für eine fünfjährige Laufzeit aufgenommen. WP 2 besitzt eine Restlaufzeit von zwei Jahren sowie ein Rating von BBB. Der obigen Rechnung folgend werden nun 200 € in der Risikogewichtematrix der Zeile des BBB-Rating und der Spalte für die zweijährige Laufzeit aufgenommen. Nun werden die aus dem Block-Bootstrap gewonnenen Delta-Spread-Szenarien mit der Risikogewichtematrix multipliziert, um damit eine näherungsweise Gesamtwertveränderung des Portfolios pro Szenario zu erhalten. Diese Gesamtveränderungen werden nun sortiert. Danach können aus dem sortierten Vektor einzelne Szenarien herausgesucht werden, welche als Basis für eine spätere, feinere Berechnung dienen. Beispielhaft werden in Abb. 05 linkes Bild die ausgewählten Szenarien für die erste Bonitätsklasse grafisch dargestellt. Die waagerechte gestrichelte Linie zeigt ein Delta-Spread-Niveau von Null an. Die Credit-Spread-Szenarien ergeben sich durch einfache Addition von Delta-Spread-Szenarien und aktuellem Spreadniveau (siehe Abb. 05, rechtes Bild). Die gestrichelte schwarze Linie kennzeichnet das Spreadniveau zum Stichtag des Datenabzugs. In den beiden Abbildungen entspricht die jeweils oberste Linie dem Value-at-Risk- Szenario mit einem Konfidenzniveau von 99,5 Prozent. Mithilfe dieser Szenarien kann, im Rahmen einer Monte-Carlo- Simulation, beispielsweise das Credit-Spread-Risiko in Abhängigkeit von Bonitätsmigrationen quantifiziert werden. Fazit In diesem Beitrag stellten die Autoren ein einfaches Verfahren zur Bildung von Credit-Spread-Szenarien auf Basis eines (statio- nären) Block-Bootstraps vor und erläuterten verschiedene Lösungsansätze zur Szenarioauswahl im Fall multivariater Prozesse. Die Anwendungen dieser Methode sind sehr vielseitig und können ohne Schwierigkeiten in den gängigen Programmiersprachen wie R, Matlab beziehungsweise VBA performant implementiert werden. Quellenverzeichnis sowie weiterführende Literaturhinweise Bünte, Dominik/Schlottmann, Frank/Schnabl, Jan/Vorgrimler, Stephan/Seese, Detlef [2009]: Integration von Spreadrisiken in die Kreditrisikomessung, in: Kreditwesen 13 2009 S. 25-28. Efron, Bradley [1979]: Bootstrap Methods: Another Look at the Jackknife. In: The Annals of Statistics.7, Nr. 1, 1979, S. 1-26. Politis, Dimitris/Romano, Joseph [1994]: The Stationary Bootstrap, in: Journal of the American Statistical Association Vol. 89, No. 428 (Dec., 1994), pp. 1303-1313. Nicoletti, Giuseppe/Scarpetta, Stefano/Boylaud, Olivier [2000]: Summary indicators of product market regulation with an extension to employment protection legislation, OECD, Economics department working papers No. 226, ECO/WKP(99)18. Autoren Dr. Luis Huergo, Referent Quantitatives Risikomanagement, Württembergische Versicherung AG. Tobias Flaig, Referent Risikocontrolling, Wüstenrot Bausparkasse AG. Oliver Ströbele, Referent Quantitatives Risikomanagement, W&W AG.

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