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RISIKO MANAGER 05.2016

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20 RISIKO MANAGER 05|2016 Grund wird der Ansatz „Stationärer-Bootstrap“ genannt. Obwohl der stationäre (Block) Bootstrap mit dem Ziel entwickelt wurde, die Stationarität der generierten Stichproben zu gewährleisten, liegt das Hauptaugenmerk der Autoren des vorliegenden Artikels vielmehr in der Erhöhung der Variabilität der Bootstrap-Stichproben. Statt einer festen Blocklänge werden daher Blöcke gezogen, deren Länge einer Poisson-, Binomial- beziehungsweise negativen Binomialverteilung (Gleich-, Unter- bzw Überdispersion) folgen. Dadurch kann das Verhältnis zwischen mittlerer Blocklänge und ihrer Streuung sehr flexibel eingestellt werden. Während die Poissonverteilung den kanonischen Fall darstellt, hat sich für einige Anwendungen die Wahl der negativen Binomialverteilung als angemessen und realitätsnah erwiesen. Überlappung der Blöcke Grundsätzlich können die Blöcke auf zwei Arten gebildet werden: Überlappungsfrei und sich überlappend (siehe Abb. 02). Diese Entscheidung hat einen großen Einfluss auf die Anzahl der verfügbaren Blöcke. Die Blöcke ohne Überlappungen werden durch Zerlegung der Zeitreihe in Blöcke der gewünschten Länge gebildet. Für den Fall, dass eine Überlappung der Bereiche zugelassen wird, kann jeder beliebige Punkt der Zeitreihe als Startpunkt des Blocks gewählt werden, vorausgesetzt, dass genug Beobachtungen zur Blockbildung rechts vom Startpunkt liegen. Auch für die stochastische Blockbildung können, zumindest theoretisch, die Blöcke mit und ohne Überlappung gebildet werden. In beiden Fällen erfolgt die Auswahl der Anfangsposition des Blocks durch Ziehen eines Werts aus der zulässigen Menge unter Annahme einer Gleichverteilung. Im Fall von stochastischen Blocklängen könnte jedoch die Forderung nach Überlappungsfreiheit die Anzahl der möglichen Startpunkte mit jeder Ziehung stark reduzieren und dadurch auch die durch variable Blocklänge gewonnene Variabilität deutlich einschränken. Die Berechnung mit stochastischen Blocklängen ist also aus Praktikabilitätsgründen nur ohne Forderung der Überlappungsfreiheit möglich. Der Fall ohne Überlappung wird im Folgenden nicht mehr berücksichtigt. Anwendung: Erzeugung von Credit-Spread-Szenarien mit einem einjährigen Prognosehorizont Ziel des Beispiels ist es, verschiedene Szenarien zur Prognose der Credit-Spread-Veränderung in einem Jahr zu erzeugen. Diese können beispielsweise zur Risikomessung zusammen mit simulierten Bonitätsveränderungen in einem Monte-Carlo-Ansatz eingesetzt werden [siehe dazu Bünte et al. 2009]. Grundlage für die Erzeugung der Szenarien bilden Credit-Spread-Daten, welche als Differenz aus den „Fair Value Curves“ von Bloomberg zur EUR-Swap- Abb. 01 Verschiedene Ziehungsmöglichkeiten beim Block-Bootstrap Datum Laufzeit 1 Laufzeit 2 Laufzeit 3 Laufzeit 4 Laufzeit 5 Laufzeit Laufzeit 6 7 Laufzeit k PD-Klasse 1 PD-Klasse 2 PD-Klasse 3 PD-Klasse 4 PD-Klasse 5 PD-Klasse 6 PD-Klasse j 02.02.2015 03.02.2015 04.02.2015 05.02.2015 06.02.2015 09.02.2015 10.02.2015 11.02.2015 12.02.2015 13.02.2015 16.02.2015 17.02.2015

Marktrisiko 21 Kurve, für feste Bonitätsklasse und Laufzeit, errechnet werden. Aus den vorliegenden Zeitreihen werden die ersten Differenzen gebildet. Die ersten Differenzen zum Zeitpunkt t ( Δ St) der Credit-Spreads ( S t ) können wie in Gleichung 01 angegeben konstruiert werden. Darüber hinaus kann in diesem Schritt eine Bereinigung der Delta-Spreads um ihren Mittelwert (arithmetisches Mittel) vorgenommen werden, um einen möglichen Trend zu eliminieren (im Fall multiplikativer Zuwächse stellt das geometrische Mittel den geeigneten Lageparameter dar). Die mittelwertbereinigten ersten Differenzen der Credit-Spread-Zeitreihen bilden die Grundgesamtheit, aus der mit Zurücklegen gezogen wird. Die verwendeten Delta-Spread-Zeitreihen weisen sehr schwache empirische Autokorrelationen auf. Das Vorhandensein komplexerer Abhängigkeitsformen muss nicht durch Annahmen ausgeschlossen werden, sondern wird durch den Block-Bootstrap-Ansatz automatisch berücksichtigt. Die kontemporären empirischen Korrelationen für die verschiedenen Laufzeiten sind wiederum sehr hoch (in einer Größenordnung von r: 0,8). Dieser Tatsache wurde durch die gleichzeitige Ziehung für alle Laufzeiten und vorhandene Bonitätsklassen Rechnung getragen. Aus den historisch beobachteten Zeitreihen der Credit-Spread-Tagesveränderungen wurden also stochastische Blöcke mit einer durchschnittlichen Länge von zwei Wochen (zehn Handelstagen) zufällig aus einer Poissonverteilung mit = 10 gezogen. Die Blöcke wurden mit Überlappung gebildet. Alle Startpunkte wurden als gleichverteilt angenommen. Durch wiederholtes Ziehen der Blocklänge aus Po ( = 10) und der Anfangsposition des Blocks wurden Blöcke erzeugt, die aneinander gereiht einen zufällig erzeugten Delta-Spread-Pfad empirisch beobachteter Wertveränderungen ergeben. So wurde ein möglicher zukünftiger Verlauf der Zeitreihe simuliert. Wie oben erwähnt, findet die Ziehung der Zufallszüge simultan für alle Laufzeiten einer Ratingklasse (und möglicherweise aller Abb. 02 Überlappungsfreie (oben) und sich überlappende (unten) Blöcke der Länge 3 Abb. 03 Delta-Spread- Block 1 Abb. 04 F(x) Konstruktion eines Pfades Repräsentative Quantile Bonitätsklassen) statt. Bezogen auf eine feste Ratingklasse entspricht ein Block damit der simultanen Entwicklung der mittelwertbereinigten Zwei-Wochen-Differenzen aller verfügbaren Laufzeiten, somit ist die kontemporäre Abhängigkeit in jeder Replikation vollständig eingehalten. Delta-Spread- Block k 1 Jahr Summe aller Deltaspread-Werte: Credit-Spread am Prognosehorizont Durch Aufaddieren der gezogenen Zeitreihe der Delta-Spreads ergibt sich der simulierte Wert des Credit-Spreads am Risikohorizont gemäß Abb. 03 (man beachte, dass im Fall multiplikativer Zuwächse das Produkt anstatt der Summe gebildet wird). t x

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