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RISIKO MANAGER 05.2016

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18 RISIKO MANAGER 05|2016 Nichtparametrische Verfahren im Marktpreisrisikomanagement Quantifizierung von Credit-Spreads mithilfe eines Block-Bootstraps Die Finanzkrise nach der Lehman-Pleite rückte eine Risikoart in den Fokus des Risikomanagements, die zuvor allenfalls eine Randnotiz darstellte, das Credit-Spread-Risiko. Binnen weniger Wochen liefen die Credit-Spreads von Finanztiteln selbst bei unverändert guter Bonität um teils mehrere hundert Basispunkte heraus. Seitdem ist die Quantifizierung und Überwachung dieser Risikoart fester Bestandteil des Risikomanagements von Finanzinstituten. Eine schlechte Verfügbarkeit langer Marktdatenhistorien sowie Abhängigkeitsstrukturen zwischen verschiedenen Spreadkurven lassen die Risikoermittlung schnell zu einer komplexen Aufgabe werden. Der vorliegende Artikel stellt daher ein vergleichsweise einfaches Verfahren vor, bei dem mithilfe eines Block-Bootstraps unter Berücksichtigung bestehender Abhängigkeitsstrukturen Credit-Spread-Szenarien erzeugt und darauf basierende Risikowerte ermittelt werden können.

Marktrisiko 19 Allgemeine Vorgehensweise Beim Bootstrap [vgl. Efron 1979] handelt es sich um ein Resampling-Verfahren. Dabei wird mit Zurücklegen aus einer vorliegenden Stichprobe gezogen und damit eine neue Stichprobe erzeugt. Diese stellt eine alternative Stichprobe tatsächlich beobachteter Werte dar. Da die Ziehung aus der empirischen Verteilung der Werte erfolgt, werden viele Eigenschaften der ursprünglichen Daten auf die neue Stichprobe übertragen. Der Bootstrap setzt jedoch die „Austauschbarkeit“ der Beobachtungen voraus, das heißt, dass die Position der Beobachtungen in der Stichprobe keinen Einfluss auf das Endergebnis hat. Es ist unmittelbar ersichtlich, dass diese Bedingung bei Zeitreihen im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Um den Besonderheiten von Zeitreihen Rechnung zu tragen, insbesondere dem Vorhandensein zeitlicher Abhängigkeiten, wurde der Block-Bootstrap entwickelt. Der Block-Bootstrap ist eine breit einsetzbare Methode zur Simulation von Zeitreihen. Diese kann dazu verwendet werden, (möglicherweise mehrdimensionale) Prozesse zu modellieren, die selbst schwach stationär sind oder für die das Vorhandensein schwach stationärer additiver beziehungsweise multiplikativer Zuwächse (siehe Erläuterung unten) als angemessen angesehen werden kann. Weitere Annahmen bezüglich der Zeit- und Querschnittsabhängigkeiten sind nicht notwendig. Im Gegensatz zum herkömmlichen Bootstrap werden beim Block-Bootstrap im Allgemeinen keine Beobachtungen, sondern Gruppen aufeinander folgender Beobachtungen (Blöcke) mit Zurücklegen aus den ursprünglichen Daten gezogen. Durch die Blockbildung bleiben zeitliche Abhängigkeiten zu einem großen Teil erhalten. Lediglich an den Schnittstellen zwischen Blöcken werden diese erwartungsgemäß unterbrochen. Die Querschnittsabhängigkeiten hingegen werden, bis auf Stichprobeneffekte, vollumfänglich abgebildet. Abb. 01 stellt eine Zeitreihe von Finanzdaten für verschiedene Laufzeiten und Bonitätsklassen (PD-Klassen) dar. Im einfachsten Fall könnte eine pseudohistorische Zeitreihe konstruiert werden, indem Blöcke für eine feste Laufzeit und Bonitätsklasse gezogen und „aneinandergehängt“ werden. Das blaue Rechteck stellt beispielsweise einen möglichen Block mit Länge n:6 für Laufzeit 2 und Bonitätsklasse 1 dar. Alternativ könnte man eine gleichzeitige Ziehung aller Laufzeiten vornehmen. In Abb. 01 ist dies durch das rote Rechteck mit einer Blocklänge n:3 für Bonitätsklasse 1 dargestellt. Dieses Rechteck stellt einen Block dar. Noch allgemeiner könnte eine Ziehung für alle Laufzeiten und Bonitätsklassen vorgenommen werden (grünes Polygon mit n:3). Da sämtliche gezogenen Werte für ein gegebenes Datum gleichzeitig beobachtet wurden, bleiben vorhandene Querschnittsabhängigkeiten bestehen. In der Praxis wird nicht aus den Daten sondern aus einem Laufindex gezogen. Die durch Resampling konstruierten Zeitreihen bestehen also aus Ziehungen aus diesem Laufindex. Dadurch können auf einfache Art und Weise vektor- und matrixwertige Prozesse konstruiert und somit die gegenseitigen kontemporären Abhängigkeiten mehrerer Zeitreihen genau eingehalten werden. Das ist, nach Meinung der Autoren, der größte Vorteil dieser vielseitigen Methode. Die Konstruktion eines Pfades erfolgt durch einfaches Aneinanderreihen der gezogenen Blöcke. Damit dies nicht zu Verzerrungen führt, müssen die zugrunde Gleichung 01 Gleichung 02 liegenden Zeitreihen schwach stationär und ergodisch sein. Ersteres stellt sicher, dass die lokalen Verteilungen nicht von der absoluten Position in der Zeitreihe, sondern vom Abstand zwischen Beobachtungen abhängen. Letzteres gewährleistet, dass die zeitliche Abhängigkeit zwischen immer entfernteren Beobachtungen mit der notwendigen Geschwindigkeit abklingt. Aufgrund der oben genannten Bedingungen wird möglicherweise nicht aus den ursprünglichen Daten, sondern aus ihren Zuwächsen gezogen. Im Fall additiver Zuwächse (hierzu wird die nicht streng mathematische Bezeichnung „arithmetischer Prozess“ verwendet) werden die Zuwächse durch Differenzenbildung konstruiert (siehe Gleichung 01, erster Teil). Der Fall multiplikativer Zuwächse („Geometrischer“ Prozess) wird in Gleichung 02 (zweiter Teil) dargestellt. Hierbei bezeichnet S t den stochastischen Prozess zum Zeitpunkt t. Blocklänge (1) ΔSt = S t − S t-1 (2) δ St = St / S t-1 In der ursprünglichen Version des Block-Bootstraps wird die Länge der Blöcke konstant gehalten. Alternativ dazu schlagen Politis und Romano [vgl. Politis/ Romano 1994] vor, die Blocklänge stochastisch (mit einem vorgegebenen Erwartungswert) zu wählen. Das Hauptziel dabei ist die Gewährleistung der Stationarität der generierten Zeitreihen. Diese haben sie für den Fall einer geometrischen Verteilung bewiesen. Aus diesem

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