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RISIKO MANAGER 05.2016

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12 RISIKO MANAGER 05|2016 eindeutige Funktion mit folgenden Eigenschaften [vgl. Corollary 5.3, Neri/Schneider 2013]: 1) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Verteilung auf mit Mittelwert . 2) Für = 1,…, gilt , wobei den Preis einer risikofreien Zero-Coupon-Anleihe mit Laufzeit T bezeichnet. 3) ist stückweise exponentiell, d. h. auf jedem Intervall gilt für Parameter und , (wobei und ). 4) ist stetig. Gleichung 01 Die Funktion heißt Buchen-Kelly-Dichte und ist eindeutig bestimmt durch die gegebenen Call-Preise, von welchen sie abhängt. Die Buchen-Kelly-Dichte hat die schöne Eigenschaft, dass sie unter allen risikoneutralen Dichten, welche obige Eigenschaften 1) und 2) erfüllen (d. h. welche die vorgegebenen Preise erklären) Entropie-maximierend ist. Anschaulich bedeutet dies, dass keinerlei Modellinformation, und damit keinerlei Modell-Mißspezifikationsrisiko, in die Gestalt von einfließt. Es gibt einen iterativen Algorithmus, welcher die Parameter der Funktion berechnet [vgl. Neri/Schneider 2013]. Dieser Algorithmus ist schnell und zuverlässig. Bei gegebenen Paramatern ist die zugehörige Funktion , wobei , in geschlossener Form bekannt [vgl. Proposition 2.7, Neri/ Schneider 2012]. Einer der maßgeblichen Nachteile bei Verwendung der Buchen-Kelly-Dichte ist deren Mangel an Glattheit. Zwar ist die Buchen-Kelly-Dichte per Definition stetig, aber in aller Regel nicht differenzierbar. Häufig hat sie eine ziemlich „zackige“ Gestalt mit Zacken an den Stellen [vgl. Ebach et al. 2015, vgl. Abb. 01]. Woran liegt das, und wie kann man dieses Problem beheben? In der Praxis hat man keine eindeutigen Call-Optionspreise gegeben, sondern vielmehr Geld- und Brief-Preise für jeden Strike. Der Buchen-Kelly-Algorithmus [vgl. Neri/Schneider 2013] benötigt aber als Input (Mid-) Call-Preise. In einem ersten Schritt müssen also aus Geld- und Brief-Preisen Mid-Preise ausgesucht werden. Hierfür gibt es offensichtlich eine gewisse Modellierungs-Freiheit. Es zeigt sich, dass die Buchen-Kelly-Dichte sehr empfindlich abhängt von der Wahl dieser Mid-Preise. Folglich muss man hierauf ein besonderes Augenmerk legen. Für eine beliebige stetige Dichte ist die Funktion zweimal stetig differenzierbar nach dem Strike mit zweiter Ableitung . Findet man folglich eine „schöne“ Dichte , welche die obigen Eigenschaften 1), 2) und 4) erfüllt, dann kann man die Buchen-Kelly-Dichte als Approximation von auffassen mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass stückweise exponentiell ist. Die Funktion kann zum Beispiel aus einem belie- Abb. 02 bigen parametrischen Modell für den Aktienkurs oder für den Volatilitäts-Smile gewählt werden. Letzteres kann dann mittels eines Fehlerfunktionals an die beobachteten Geld- und Brief-Preise für die Call-Optionen kalibriert werden – ein Standardvorgehen in der Praxis. Auf diese Art und Weise erhält man dann Mid-Preise . Diese Wahl von Mid-Preisen legt nahe, dass die zugehörige Buchen-Kelly-Dichte nicht zu weit von der „schönen“ Dichte abweicht. Kurz zusammengefasst zerlegen wir also die Gewinnung von in zwei Schritte: In einem ersten Schritt kalibrieren wir ein parametrisches Aktienmodell unserer Wahl mit „schöner“ Dichte an die beobachteten Optionspreise. In einem zweiten Schritt approximieren wir die Dichte durch Buchen-Kelly-Dichte und SVI-implizierte Dichte für die Daimler-Aktie am 16. Dezember 2016. Die gestrichelten blauen Linien im Hintergrund zeigen die verwendeten Strike-Level an. Buchen−Kelly SVI 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Aktienkurs

Marktrisiko 13 eine Buchen-Kelly-Dichte, was den Vorteil einer geschlossenen Form für die Inverse der zugehörigen Verteilungsfunktion hat. Dabei wird per Konstruktion sichergestellt, dass die Approximation derart ist, dass die gewünschten Mid-Preise erklärt bleiben. Im nächsten Abschnitt wird das Prozedere anhand eines Beispiels mit Optionen auf die Aktie der Daimler AG visualisiert. Ein Beispiel Im Folgenden illustrieren wir anhand der Daimler-Aktie, wie man eine „schöne“ Buchen-Kelly-Dichte gewinnen kann (Berechnungsdatum ist der 8. Januar 2016). In einem ersten Schritt kalibrieren wir ein sogenanntes SVI-Modell für den Volatilitäts- Smile [vgl. Gatheral/Jacquier 2014] an gegebene Geld-Brief-Preise für Optionen mit Laufzeit Dezember 2016 (etwas weniger als ein Jahr). Abb. 01 verdeutlicht, dass dieser Fit perfekt möglich ist. Die erhaltenen SVI-Parameter beschreiben den impliziten Volatilitäts-Smile als Gleichung 01 mit Parametern = 0.03363, = 0.10385, = -0.4, = 0.15421 und = 0.35334. Die Parameter sind bewusst so gewählt, dass keine Butterfly-Arbitrage entsteht [vgl. Gatheral/Jacquier 2014], d. h. der so gegebene Smile lässt sich in eine risikoneutrale Dichte umrechnen. Abb. 02 visualisiert diese Dichte. Ebenfalls abgebildet in Abb. 02 ist die Buchen-Kelly-Dichte, welche mittels dem Buchen-Kelly-Algorithmus [vgl. Neri/ Schneider 2013] ermittelt wurde, mit den SVI-implizierten Mid-Preisen als Input. Man sieht schön, dass der Unterschied zwischen und minimal, und aus praktischer Sicht vernachlässigbar, ist. Insbesondere ist sehr glatt. Wie oben erwähnt ist der entscheidende Vorteil der Buchen-Kelly-Dichte ƒ im Vergleich zu der aus dem SVI-Modell stammenden Dichte , dass die zugehörige Inverse der Verteilungsfunktion in geschlossener Form vorhanden, und damit effizient auszuwerten ist. In unserem Beispiel haben wir auf einem Standard-PC innerhalb von 0.18 Sekunden 1 Millionen Simulationen von der Buchen-Kelly-Dichte mittels der Inversionsmethode erzeugt. Abb. 03 visualisiert diese Simulationen als Histogramm im Vergleich zur analytischen Buchen-Kelly-Dichte. Man sieht schön, dass die Simulation nicht nur rasend schnell, sondern auch sehr akkurat ist. Zusammenfassung Es wurde aufgezeigt, wie man mittels einer cleveren Wahl von Mid-Preisen glatte Buchen-Kelly-Dichten aus Optionspreisen implizieren kann. Dies ist eine risikoneutrale Dichte mit der hervorstechenden Eigenschaft, dass die Inverse der zugehörigen Verteilungsfunktion in geschlossener Form verfügbar ist. Diese Eigenschaft ist essenziell für Anwendungen, welche effiziente Monte- Carlo-Simulationen verlangen, wie zum Beispiel die Bewertung von Basket-Optionen innerhalb eines Copula-Modells. Quellenverzeichnis sowie weiterführende Literaturhinweise Buchen, P.W./ Kelly, M. (1996): The maximum entropy distribution of an asset inferred from option prices. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 31, pp. 143-159. Ebach, E.M./ Scherer, M./ Schneider, L. (2015): Was verraten Index-Optionen über zukünftige Abhängigkeiten? Risikomanager, 11, pp. 1-7. Abb. 03 Histogramm von 1 Million unabhängiger Simulationen von der Buchen- Kelly-Dichte für den Aktienkurs von Daimler am 16. Dezember 2016. Histogramm (Buchen−Kelly simuliert) Buchen−Kelly−Dichte Gatheral, J./ Jacquier, A. (2014): Arbitrage-free SVI volatility surfaces. Quantitative Finance, 14, pp. 59-71. Mai, J.-F./ Scherer, M. (2012a): Simulating Copulas: Stochastic representations, sampling algorithms, and applications. Series in Quantitative Finance, Volume 4, Imperial College Press. Mai, J.-F./ Scherer, M. (2012b): Die Welt ist nicht normal (verteilt). Risikomanager, 25-26:1, pp. 6-11. Mai, J.-F./ Scherer, M. (2013): What makes dependence modeling challenging? Pitfalls and ways to circumvent them. Statistics and Risk Modeling, 30, pp. 287-306. Neri, C./ Schneider, L. (2012): Maximum entropy distributions inferred from option portfolios on an asset. Finance and Stochastics, 16, pp. 293-318. Neri, C./ Schneider, L. (2013): A family of maximum entropy densities matching call option prices. Applied Mathematical Finance, 20, pp. 548-577. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Aktienkurs Autor Dr. Jan-Frederik Mai arbeitet im Portfoliomanagement beim Münchner Assetmanager XAIA Investment AG.

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