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RISIKO MANAGER 05.2016

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10 RISIKO MANAGER 05|2016 Portfolio-Aktienmodell Effiziente Simulation von risikoneutralen Verteilungen Der vorliegende Artikel beschreibt einen effizienten Simulationsalgorithmus für die risikoneutrale Verteilung eines Aktienkurses an einem bestimmten, zukünftigen Tag. Dieses Thema ist sowohl im Risikomanagement von Aktienportfolios als auch für die Bewertung von Basket-Optionen wichtig, denn in beiden Anwendungen ist es nicht unüblich, mehrere Aktienkurse mittels einer sogenannten Copula-Funktion zu einem Portfolio-Aktienmodell zu aggregieren. Bei diesem Ansatz basiert die Monte-Carlo-Simulation automatisch auf der sogenannten Inversionsmethode, was das Auswerten der Inversen der Verteilungsfunktionen der einzelnen Aktienkurse erfordert. Das ist in den allermeisten Modellen für risikoneutrale Dichten nicht effizient und akkurat möglich. Für die sogenannte Buchen-Kelly-Dichte hingegen kennt man die benötigte Inverse in geschlossener Form und kann in Sekundenbruchteilen Millionen von Simulationen erzeugen. Der Nachteil ist, dass die Buchen-Kelly-Dichte häufig nicht so glatt ist, wie man es in der Praxis gerne hätte. Im vorliegenden Artikel wird demonstriert, wie man dieses Problem umgehen kann.

Marktrisiko 11 Motivation Als motivierendes Beispiel betrachten wir die Bewertung einer europäischen Basket-Option auf die Linearkombination von Aktien mit Laufzeit . Ein häufig angewandter Modellierungsansatz basiert auf dem Konzept von sogenannten Copula-Funktionen. Für Hintergrundinformationen zum Thema Copulas sei der interessierte Leser auf die diesbezügliche Standardliteratur verwiesen [vgl. Mai/Scherer 2012a]. Die Idee ist, dass man die risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsverteilungen der einzelnen Aktien aus Optionsdaten auf die jeweilige Aktie ermittelt. Hat man auf diese Weise alle eindimensionalen Verteilungen ermittelt, so wird die Abhängigkeit zwischen den Aktien in einem zweiten Modellierungsschritt mittels einer (parametrischen) Copula generiert. Mit solch einem Modell funktioniert die Basket-Optionsbewertung dann via Monte- Carlo-Simulationen: Der -dimensionale Vektor von Aktienkursen wird mal simuliert und der resultierende Payoff am Laufzeitende für jede Simulation berechnet. Das arithmetische Mittel all dieser berechneten Payoffs, multipliziert mit einem risikofreien Diskontfaktor, ist dann eine Schätzung für den Optionspreis, welche mit wachsendem gegen den tatsächlichen Modellpreis konvergiert. Der entscheidende Vorteil der Copula-Modellierung in obigem Beispiel beruht darauf, dass man die Gewinnung der Verteilungen der einzelnen Aktien – die sogenannten Randverteilungen – vollständig von der Abhängigkeitsmodellierung trennen kann. Während der Fokus des vorliegenden Artikels ausschließlich auf der Gewinnung der Randverteilungen liegt, sei trotzdem am Rande erwähnt, dass die Wahl einer geeigneten Copula im Allgemeinen kein triviales Thema ist [vgl. Mai/Scherer 2012b,2013]. Welche praktischen Aspekte sind bei solch einem Bewertungsansatz zu beachten? 1) Bei der Monte-Carlo-Simulation wird die Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeitsstruktur zum zweiten Mal sichtbar: Für die Copula verwendet man einen Simulationsalgorithmus, welcher die Realisierung eines Zu- fallsvektors mit gleichverteilten Komponenten zurückliefert. Der eigentliche Vektor von Aktienkursen entsteht daraus dann mittels der Transformation , wobei die Funktion die (verallgemeinerte) Inverse der Verteilungsfunktion des -ten Aktienkurses bezeichnet [vgl. Mai/Scherer 2012a, S. 234]. Folglich muss man die Inverse auswerten können, was in vielen Aktienmodellen nicht ohne Weiteres akkurat möglich ist. 2) Um eine hohe Anzahl an Monte-Carlo-Simulationen schnell und akkurat generieren zu können, ist es unabdingbar, dass die Auswertung der Funktionen nicht nur prinzipiell möglich ist, sondern im Idealfall auch schnell und akkurat ist. Wir stellen im vorliegenden Artikel ganz bewusst eine Methode zur Gewinnung der Randverteilungen vor, welche die Funktionen in geschlossener Form mitliefert, sodass ohne Weiteres Millionen von Simulationen innerhalb von Sekundenbruchteilen auf akkurate Weise erzeugt werden können. Abb. 01 IV (in %) 55 50 45 40 35 30 Die Buchen-Kelly-Verteilung In der Folge betrachten wir eine einzelne Aktie und bezeichnen deren Verteilungsfunktion mit (anstelle von wie in der Motivation oben, d. h. wir sparen uns die Indizierung). Es gibt in der Praxis eine ganze Reihe von Methoden, um die Verteilungsfunktion aus beobachteten Optionspreisen zu gewinnen. Neben klassischen Aktienpreismodellen basierend auf stochastischen Prozessen ist eine ebenfalls beliebte Praxis die Verwendung eines parametrischen Modells für den beobachteten impliziten Volatilitäts-Smile, aus welchem wiederum die Verteilungsfunktion abgeleitet werden kann [vgl. Gatheral/Jacquier 2014]. Allerdings ist es eher untypisch, dass man die benötigte Inverse der Verteilungsfunktion in geschlossener Form erhält. Dies ist anders bei der sogenannten Buchen-Kelly Verteilung [vgl. Buchen/Kelly 1996], für eine ausführliche Analyse [vgl. Neri/Schneider 2012, Neri/ Schneider 2013]. Für gegebene Call-Optionspreise mit Strike-Preisen , sowie einem gegebenen Equity-Forward-Wert gibt es eine Implizite Volatilitäten für Dezember, 16 Optionen auf Daimler; Geld- und Brief-Preise sowie Mid-Preise eines gefitteten SVI-Modells. Geld/Brief SVI Fit 25 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 Strike

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