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RISIKO MANAGER 03.2017

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Abb. 04 X i + const

Abb. 04 X i + const Rating 0 Abb. 05 const AAA 0 Simulation von Ausfällen (ohne systematische Faktoren) in verschiedenen Ratingklassen (illustrativ) Verteilung von X i für Ratingklasse C Bessere Ratingklasse welche wir mit Z 1 und Z 2 bezeichnen. Unsere Analyse zeigt, dass die Faktorladungen des ersten Faktors für alle Assets in etwa gleich groß sind, während die Ladungen des zweiten Faktors in einer negativen Korrelation zur Marktgröße eines Assets stehen. Zur leichteren Interpretation können wir daher die beiden Faktoren Z 1 und Z 2 als Marktfaktor bzw. Größenfaktor betrachten. Basisrisiko: Zur Abbildung des Basisrisikos im Portfolio folgen wir einem Vor- Ausfallwahrscheinlichkeit je Ratingklasse Verteilung von X i für Rating Klasse B Verteilung von X i für Rating Klasse AAA Einfluss der systematischen Faktoren Z 1 und Z 2 auf die Simulation der Ausfälle (illustrativ) systematische Komponente V i = const Rating + Z 1 b i,1 + Z 2 b i,2 + Verteilung V i eines Schuldners mit AAA Rating ohne systematische Faktoren 1 - b i,1 2 - b i,2 2 * Xi schuldnerspezifische Komponente e. g., Z 1 b i,1 + Z 2 b i,2 < 0 Verteilung V_i unter einer Realisation (Beispiel) der systematischen Faktoren Höhere Ausfallwahrscheinlichkeit durch Verschiebung nach unten über die systematischen Faktoren 24 RISIKO MANAGER 03|2017 schlag aus einem BCBS-Konsultationspapier zum FRTB. In diesem Artikel wird eine „Baseline-Methode des Ausschusses“ zur Abbildung des Basisrisikos beschrieben. Hinter dieser Formulierung verbirgt sich die Idee einer Anpassung der einzelnen Asset-Sensitivitäten an die Risikofaktoren durch Neuskalierung der Sensitivitäten innerhalb genau definierter Asset-Klassen. Wir formalisieren diesen Ansatz auf die folgende Weise: Erinnern wir uns da-ran, dass es in unserem Modell zwei systematische Faktoren gibt, die wir mit Z 1 und Z 2 bezeichnen. Im konkreten Fall könnten Z 1 und Z 2 als Marktfaktor bzw. Größenfaktor betrachtet werden. Darauf aufbauend definieren wir vier Klassen: „Long Z 1 “, „Short Z 1 “, „Long Z 2 “ und „Short Z 2 “. Analog dazu zerlegen wir jedes Netto-Asset-Exposure proportional zu seinen (quadrierten) Faktorladungen in zwei faktorspezifische Komponenten. Die quadrierten Faktorladungen stellen genau den Anteil der Gesamtvarianz einer Asset-Rendite dar, der durch die jeweiligen Faktoren erklärt wird. Im nächsten Schritt bestimmen wir, welche Exposure-Richtung – Long oder Short – herunterskaliert werden muss. Wir führen diesen Schritt für jeden Faktor separat durch, indem wir bestimmen, ob das Gesamtportfolio in Bezug auf den jeweiligen Faktor „Long (positiv)“ oder „Short (negativ)“ ist. Wenn das gesamte Netto-Exposure des Portfolios für einen bestimmten Faktor positiv (negativ) ist, skalieren wir die negativen (positiven) Anteile der einzelnen faktorspezifischen Komponenten mit einem Faktor, der proportional zur zugehörigen Faktorsensitivität der Exposures für diesen Faktor ist. Mit dieser Neuskalierung modellieren wir das Risiko einer unzureichenden Kapitalunterlegung (z. B. kann ein Short-Exposure gegenüber Z 1 ein [größeres] Long-Exposure gegenüber dem gleichen Faktor nur in begrenztem Maße kompensieren). Dieser Ansatz zur Modellierung des Basisrisikos ist konstruktionsbedingt flexibel und allgemein; seine Verwendung ist daher nicht auf bestimmte Asset-Konfigurationen beschränkt. »» b6. Monte-Carlo-Simulation: Die Methode, mit der wir korrelierte Ausfälle simulieren, entspricht der in [Vasicek (1987)]. Für jeden Schuldner i führen wir eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X i ein (d. h. eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Mittelwert Null und der Varianz Eins). Wir verschieben den Mittelwert von X i um eine Konstante nach oben, um die Ratingklasse dieses Schuldners zu modellieren (eine bessere Ratingklasse bedeutet einen höheren Mittelwert) und bilden

Kreditrisiko 25 so die marginale Ausfallwahrscheinlichkeit von Schuldner i ab. Dieser Mechanismus wird in Abb. 04 dargestellt. Die Ausfallkorrelation gelangt über die systematischen Faktoren in unser Modell. Die beiden systematischen Faktoren Z 1 und Z 2 betreffen alle Schuldner und führen somit zu einer Korrelation bei Ausfällen. Die Wirkung der systematischen Faktoren auf einen Schuldner ergibt sich aus den entsprechenden Faktorladungen. Wir modellieren die systematischen Faktoren Z 1 und Z 2 mit normalverteilten Zufallsvariablen. Anschließend simulieren wir diese Verteilungen und bestimmen bei jedem Simulationslauf pro Schuldner, ob ein Ausfall vorliegt oder nicht. Dieser Mechanismus wird in Abb. 05 dargestellt. »» b7/b8. Verlustverteilung: Um ein einzelnes Szenario mit korrelierten Ausfällen zu skizzieren, simulieren wir die Zufallsvariablen Z 1 und Z 2 (d. h. die beiden systematischen Faktoren in unserem Modell) und für jeden Schuldner i die Zufallsvariable X i . Anhand dieser Zahlen bestimmen wir den Ausfallstatus der einzelnen Schuldner im aktuellen Szenario ( Abb. 04). Für jeden ausgefallenen Schuldner betrachten wir alle relevanten Exposures dieses Schuldners als ausgefallen. Wir simulieren eine Vielzahl von Szenarien (z. B. N = 100.000), um eine verlässliche Schätzung der Verlustverteilung – und daran anschließend der zugehörigen DRC – zu erhalten. Für jedes simulierte Szenario ermitteln wir den zugehörigen Portfolioverlust, um so die Portfolioverlustverteilung zu ermitteln ( Abb. 06). Diese Verteilung repräsentiert die hypothetischen Verluste durch (korrelierte) Portfolioausfälle. Aus dieser Verteilung berechnen wir die Default Risk Charge (DRC). Nach den Basler Regeln wird die DRC beim IMA-Ansatz durch den 99,9 Prozent-Perzentil-VaR-Wert (Value at Risk) der simulierten Verlustverteilung bestimmt ( Abb. 06). »» b9. DRC-Kapitalanforderungen: Die Eigenkapitalunterlegung entspricht dem Durchschnitt der errechneten DRC-Werte in den letzten zwölf Wochen oder, falls der aktuell ermittelte DRC-Wert größer Abb. 06 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 ist als dieser Durchschnitt, dem aktuellen DRC-Wert. Da es sich um ein Monte-Carlo-Simulationsmodell handelt, spielt die Anzahl der verwendeten Simulationsläufe eine Rolle. Um insgesamt eine schnellere Modellkonvergenz zu erzielen, können unterschiedliche Varianzreduktionstechniken eingesetzt werden (wie z. B. gewichtete oder geschichtete Stichproben oder antithetische Variablen). Entscheidungen und Herausforderungen Verteilung des Portfolioverlustes im korrelierten Ausfall Banken müssen sich aus ganzheitlicher Sicht zwischen dem Standardansatz und dem internen Modellansatz für Marktrisiken entscheiden. Einen Aspekt dieser Entscheidung bildet die Default Risk Charge. Unser hier dargestellter Vergleich zwischen dem IMA-DRC und dem SA-DRC kann bei diesem Entscheidungsprozess als Input dienen. Banken, die über die Umsetzung eines internen DRC-Modells nachdenken, sehen sich mit einer ganzen Reihe von Entscheidungen konfrontiert. Eine einzige richtige Antwort auf die Frage, wie die DRC am effektivsten und kapitaleffizientesten umgesetzt werden kann, gibt es nicht. Wir sehen vier Dimensionen für die Optimierung bei der Analyse einer DRC-Modellumsetzung: a. Input/Datenauswahl: Entscheidung über DRC = 99.9 % VaR 0 0 2 Mio. 4 Mio. 6 Mio. 8 Mio. 10 Mio. die bei der Beobachtung, Simulation und Berechnung von Zahlen verwendeten Daten und Parameter. b. Numerische Auswahl: Entscheidung über die zur Analyse von großen Datenmengen verwendeten numerischen Methoden; insbesondere große Portfolios können bei der Berechnung Probleme bereiten. c. Softwareauswahl: Entscheidung über die für einen kurzfristigen Prototyp (als Hilfe für strategische Entscheidungen) sowie für die langfristige IT-Umsetzung verwendeten Softwarepakete. d. Modellauswahl: Entscheidung über die Verwendung des Standard-DRC-Ansatzes oder des internen DRC-Modellansatzes. Im nächsten Abschnitt erläutern wir, warum diese Entscheidung stark von der Struktur des Portfolios abhängt (relevante Portfolioparameter sind z. B. die Größe, Konzentration, Korrelation oder Verteilung der Ausfallwahrscheinlichkeiten). Ziel unseres Modells (und der BCG-Prototypumsetzung) ist es, die Hebel und Treiber eines DRC-Modells für ein bestimmtes Portfolio zu identifizieren. Diese Erstanalyse vor der eigentlichen Umsetzung kann darüber Aufschluss geben, ob bei der weiteren DRC-Umsetzung eher ein Standardansatz (SA) oder ein interner Modellansatz (IMA) vorteilhaft wäre.

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