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RISIKO MANAGER 02.2017

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6 RISIKO MANAGER 02|2017 Abb. 02 Ausfallrate – Jahr 1 Ausfallrate – Jahr 3 Ausfallrate – Jahr 2 Ausfallrate – Jahr 4 Ausfallrate – Jahr 5 Einjährige PD und jahresspezifische Ausfallrate (links); jahresspezifische Ausfallrate und geschätzte jahresspezifische PD (rechts) Jahr 1 Jahr 1 T R S N O P Q Q N P O I J K LM L M J K F G H F G HI A B C D E E B C D A PD einjährig – Jahr 1 Ausfallrate – Jahr 1 PD einjährig – Jahr 1 Ausfallrate – Jahr 2 Jahr 3 PD einjährig – Jahr 1 PD einjährig – Jahr 1 Ausfallrate – Jahr 4 PD einjährig – Jahr 1 Ausfallrate – Jahr 5 zeitpunkt nimmt die Aussagekraft der ratingrelevanten Merkmale eines Kreditnehmers im Zeitverlauf ab. Daher reduziert sich auch die Vorhersagekraft der einjährigen PD für spätere Perioden. Im Ergebnis ist zu erwarten, dass sich die jahresspezifischen Ausfallraten, welche letztlich zur Schätzung der bedingten PD-Profile dienen, geschätzte PD – Jahr 1 Jahr 2 Jahr 2 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T E C D A B A B C A B Q M H I J K L N O P G F R S T geschätzte PD – Jahr 2 geschätzte PD – Jahr 3 geschätzte PD – Jahr 4 geschätzte PD – Jahr 5 Jahr 3 Ausfallrate – Jahr 3 Jahr 4 Jahr 4 R T L M N O P Q S J K I H I F G H F G D E E D Jahr 5 Jahr 5 H E F G M O P Q R S T J L N K I C D B A B A B A B C C S Q T R P I J K L N M O E F G H C D A D E C G F D E F I H K J I G H R S T Q S R P L NM O Q S T R P K NM O L J L K J Q S T N P R M O T über die Zeit tendenziell annähern. Zweitens zeichnet sich ein Selektionseffekt ab. Dieser begründet sich darin, dass beispielsweise eine zum fünften Jahr korrespondierende Ausfallrate auch nur für solche Verträge ermittelt werden kann, welche nicht zuvor ausgefallen und abgewickelt wurden. Der Selektionseffekt führt zu einer Verringerung der Ausfallrate für alle Ratingklassen, insbesondere aber für die schlechten. Im Speziellen ist zu beobachten, dass er in den Klassen A und B entgegen des Trennschärfeeffekts wirkt, wohingegen bei Klassen mit hoher Ausfallrate (bspw. T) die Wirkung beider Effekte gleichgerichtet ist. Schätzung bedingter PD-Profile als Funktion einjähriger PDs Ausgehend von der beschriebenen Datengrundlage erfolgt zunächst die Schätzung des Zusammenhangs zwischen einjähriger PD und bedingter jahresspezifischer Ausfallrate für die beobachtbare Datenhistorie. Die Modellierung erfolgt für jede Jahresscheibe einzeln, jedoch auf Basis eines einheitlichen Regressionsmodells. Das verwendete Regressionsmodell ist ein verallgemeinertes lineares Modell (GLM). Als Linkfunktion für die abhängige Variable (bedingte Ausfallrate einer Jahresscheibe) wird die logit-Funktion gewählt ( Gleichung 01). Gleichung 01 logit-Funktion Durch die Transformation wird sichergestellt, dass die abhängige Variable in der Anwendung stets Werte zwischen 0 und 1 annimmt. Diese Transformation stellt ein gängiges Vorgehen bei der Modellierung von Anteilen dar [vgl. Baum 2008; Papke/ Wooldridge 1996]. Darüber hinaus wird die unabhängige Variable (einjährige PD) ebenfalls einer logit-Transformation unterzogen. Dies ist zwar nicht notwendig für die Anwendung eines GLM, liefert jedoch in diesem Fall präzisere Schätzergebnisse. Um eine bessere Anpassung an die Daten zu erhalten, wurde zudem ein quadratischer Term hinzugefügt. Dieser besitzt keine inhaltliche Bedeutung und kann, je nach Datenlage, weggelassen werden. Die beschriebene Modellspezifikation für die Schätzung des Zusammenhangs zwischen bedingter jahresspezifischer Ausfallrate und der einjährigen PD-Prognose zum Betrachtungszeitpunkt ist in Gleichung 02 dargestellt.

Kreditrisiko 7 Gleichung 02 Regressionsmodell zur Schätzung des Zusammenhangs zwischen bedingter Ausfallrate und einjähriger PD Zugehörigkeitsdauer im Mittel sinkende Ausfallrate (Selektionseffekt). Die mittlere und untere Darstellung der linken Spalte zeigen die geschätzten Koeffizienten für die logit-PD und deren quadrierten Term. Der Effekt der PD auf die Ausfallrate sinkt mit zunehmender Zeit ebenfalls ab. Dieses Absinken ist ebenfalls plausibel und erfasst den mit zunehmender Zeit ansteigenden Verlust an Trennschärfe. Strukturparameter als Funktion der Zeit und Extrapolation In einem ersten Schritt werden mithilfe des beschriebenen Modells die logit-transformierten jahresspezifischen Ausfallraten auf die, ebenfalls logit-transformierten, einjährigen PDs regressiert. Es erfolgt für jedes Jahr eine separate Regression mittels des oben dargestellten Modells. Das Ergebnis dieser Regressionen liefert bereits Schätzer für die PDs der Jahre 2 bis 5. Diese stellen jedoch lediglich in-sample Prognosen dar und erlauben noch keine Extrapolation von PD-Profilen über einen längeren Zeitraum. In einem zweiten Schritt werden daher die geschätzten Koeffizienten dieser ersten Regressionen als Funktion der Zeit modelliert und über den vorliegenden Zeitraum von fünf Jahren hinaus extrapoliert. Schließlich können auf Basis der extrapolierten Koeffizienten die bedingten PD-Profile für weitere Jahre berechnet werden. Die linke Spalte in Abb. 02 zeigt die Informationen, die im ersten Schritt für die fünf jahresspezifischen Regressionen verwendet werden. Vertikal abgetragen sind die Ausfallraten. Beide Größen sind in einer logit-transformierten Darstellung geplottet. In der Waagerechten stehen jeweils die einjährigen PDs. Die rechte Spalte fasst das Ergebnis der Schätzung zusammen und kontrastiert die gefitteten Werte (vertikale Achse) und die Ausgangswerte der abhängigen Variablen. Anhand der engen Punktwolken um die angedeuteten Regressionsgeraden wird ersichtlich, dass die Regressionen eine sehr hohe Anpassungsgüte aufweisen. Sämtliche Koeffizienten sind hoch signifikant (mit Ausnahme des Koeffizienten für den linearen Term in der Regression für das Jahr 5; hier beträgt der P-Wert 0,097) und die R-Quadrate liegen zwischen 97,8 und 99,9 Prozent. Die Koeffizienten dieser fünf Regressionen sind in Abb. 03 in der linken Spalte abgetragen. Die obere Darstellung zeigt einen mit zunehmender Zeit fallenden Verlauf der Konstanten („Beta 0“). Diese Entwicklung entspricht der fachlichen Erwartung und erfasst die mit steigender Abb. 03 Um die Zusammenhänge über die vorhandenen fünf Jahre der Datenhistorie hinaus fortschreiben zu können, werden im zweiten Schritt die zuvor ermittelten Koeffizienten und als Funktion der Zeit geschätzt und anschließend extrapoliert. Hierfür wird ein nichtlineares Regressions- Schätzung und Extrapolation der Parameter als Funktion der Zeit Beta 0 0 1 2 3 4 5 Jahr Beta 1 0 1 2 3 4 5 Jahr Beta 2 0 1 2 3 4 5 Jahr Beta 0 (Fitted) Beta 1 (Fitted) Beta 2 (Fitted) Beta 0 Beta 1 Beta 2 Beta 0 (Fitted) 0 5 10 15 20 Jahr Beta 1 (Fitted) 0 5 10 15 20 Jahr Beta 2 (Fitted) 0 5 10 15 20 Jahr

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