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RISIKO MANAGER 01.2017

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24 RISIKO MANAGER 01|2017 Informationskriterien für die Modellwahl Geht man von insgesamt k Faktoren im Modell aus, so können auch die verbleibenden Modellparameter, die Faktoren und Loadings, geschätzt werden. Die grundlegende Frage ist jedoch, wie viele Faktoren überhaupt im Modell berücksichtigt werden müssen. Dies wird in der Statistik üblicherweise über Informationskriterien bestimmt. Solche sind Funktionen, die für verschiedene mögliche Modelle ihr Minimum am „wahren“, oder „besten“ Modell annehmen. Somit wird die Frage der Modellwahl also in die Minimierung des Informationskriteriums überführt. Das Problem besteht nun im Allgemeinen darin, ob es sein Minimum tatsächlich beim besten Modell annimmt. Dazu betrachten wir ein solches im Detail. Ein Informationskriterium besteht aus zwei Teilen. Eines, das die Anpassungsgüte evaluiert, etwa die logarithmierte Likelihood, oder, wie im folgenden Beispiel ( Gleichung 02), die Summe der Fehlerquadrate. Da mehr Faktoren die Beobachtungen besser beschreiben können, sind die Fehler kleiner und die Anpassungsgüte steigt. Um jedoch dem Reiz, zu viele Faktoren in das Modell mit einzubeziehen („overfitting“), entgegenzuwirken, dient der zweite Teil des Informationskriteriums als Strafterm g, der wachsende Komplexität bestraft. Er muss derart ausgestaltet sein, dass das Kriterium für das „wahre“ Modell sein Minimum annimmt. Für Faktormodelle, die eine überschaubare Anzahl an Einheiten N besitzen, aber große Zeitreihen der Länge T beschreiben, bieten sich verschiedene Modellwahlkriterien an. Weit verbreitet sind die Akaike und Bayes-Schwarz Kriterien (AIC und BIC). Da keines der beiden für endliche Stichproben immer bessere Ergebnisse erzielt, ist es Aufgabe des Anwenders, eines der vorhandenen auszuwählen. Tatsächlich gibt es aber noch eine größere Zahl an weiteren Modellwahlkriterien [vgl. Bartholomew/Knott/Moustaki 2011, S. 58-59, S. 63-64]. Hier aber wollen wir die Aufmerksamkeit auf einen Sonderfall legen. Denn wenn eine sehr große Anzahl an Zeitreihen untersucht werden, also wenn N und T sehr groß wird, liefern die gewöhnlichen Modellwahlkriterien verzerrte Schätzer für die wahre Anzahl der Faktoren und sind somit nicht mehr geeignet [vgl. Bai/Ng 2002, S. 202]. Für einen solchen Fall haben Bai und Ng Klassen von Kriterien entwickelt, wie sie in Gleichung 02 vorgestellt werden. Beide unterscheiden sich in der Ausprägung der Anpassungsgüte. Bai und Ng haben gezeigt, dass falls der Strafterm beide Bedingungen in Gleichung 03 erfüllt, beide Kriterien für mit Wahrscheinlichkeit eins ihr Minimum beim wahren Modell annehmen [siehe Bai/Ng 2002, S. 199-200]. Die Bedingungen fordern erstens, dass der Strafterm für wachsende N und T verschwindet, und zweitens, dass die Geschwindigkeit, mit der er dies tut, mit begrenzt ist. Ein Beispiel für einen Strafterm, der beide Bedingungen erfüllt, und zudem gute Ergebnisse auf endlichen Datensätzen erzielt, ist etwa ln [vgl. Bai/Ng 2002, S. 201]. Abb. 02 Ausprägung des ersten Faktors im Vergleich zu S&P 500 Financials von Januar 2006 bis Dezember 2015 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 Mrz 06 Mai 06 Jul 06 Sep 06 Nov 06 Mrz 07 Mai 07 Jul 07 Sep 07 Nov 07 Mrz 08 Mai 08 Jul 08 Sep 08 Nov 08 Mrz 09 Mai 09 Jul 09 Sep 09 Nov 09 Mrz 10 Mai 10 Jul 10 Sep 10 Nov 10 Mrz 11 Mai 11 Jul 11 Sep 11 Nov 11 Mrz 12 Mai 12 Jul 12 Sep 12 Nov 12 Mrz 13 Mai 13 Jul 13 Sep 13 Nov 13 Mrz 14 Mai 14 Jul 14 Sep 14 Nov 14 Mrz 15 Mai 15 Jul 15 Sep 15 Nov 15 1. Faktor Monatliche Rendite der S&P 500 Financials

Marktrisiko 25 Es lässt sich zeigen, dass die herkömmlichen Informationskriterien, das Akaike und Bayes-Schwarz Kriterium (AIC und BIC), diese Bedingungen nicht erfüllen [vgl. Bai/Ng 2002, S. 202]. Das bedeutet jedoch nicht, dass diese Kriterien ihr Minimum immer bei einem falschen Modell annehmen, sondern vielmehr, dass sie eine richtige Wahl für allgemeine Konfigurationen von N und T nicht mehr gewährleisten können: Dann lässt sich für Faktormodelle zeigen, dass das AIC für zu viele Faktoren, das BIC zu wenige Faktoren schätzt [vgl. Bai/Ng 2002, S. 202]. Gleichung 02 Panel Criterion Information Criterion Mit Gleichung 03 Modellwahlkriterien Konsistenzbedingungen Anwendungsbeispiel: Faktoren für US-Aktienrenditen Im letzten Teil wollen wir die Anzahl der treibenden Faktoren im amerikanischen Aktienmarkt bestimmen. Dabei betrachten wir die Aktienrenditen von Unternehmen, die im American Stock Exchange (AMEX), New York Stock Exchange (NYSE) oder NASDAQ gelistet sind. Für den Zeitraum von Januar 1996 bis Dezember 2015, also für T=276 Monate, lassen sich vom öffentlich zugänglichen Datenportal Yahoo! Finance insgesamt N=1856 Aktienkurse extrahieren. Damit sind unsere empirischen Ergebnisse für den von Bai und Ng betrachteten Zeitraum von Januar 1996 bis Dezember 1998 mit deren vergleichbar, wobei sie mit N=8436 einen größeren Datensatz für diesen dreijährigen Zeitraum nutzten [vgl. Bai/Ng 2002, S. 208]. Um zu ermitteln, wie viele Faktoren im Faktormodell vorhanden sind, muss der Datensatz in beiden Dimensionen T und N ausreichende Größe vorweisen, sodass das benutzte Informationskriterium konvergieren kann. Zum ersten Mal wurde die Modellwahl für die Anzahl der Faktoren für Dezember 1998 durchgeführt, da erst ab T=36 von einer stabilen Schätzung wie bei Bai und Ng ausgegangen werden kann. Hieraus schätzte das Informationskriterium IC aus Gleichung 02 zwei Faktoren, was mit dem Ergebnis von Bai und Ng übereinstimmt. Für diese – im Vergleich zu den darauffolgenden schweren Erschütterungen zu Beginn und gegen Ende des vergangenen Jahrzehnts – ruhige Periode genügen also nur wenige Faktoren, um das Verhalten der Renditen zu beschreiben. Stellt man diesem Datensatz einem gleichlangen, von Januar 2013 bis Dezember 2015, gegenüber, so ergibt sich eine geschätzte Anzahl von fünf Faktoren. Die Welt der Aktienrenditen heute gestaltet sich also komplexer als noch vor zwei Jahrzehnten, und die Zahl der zur Erklärung notwendigen Faktoren hat sich mehr als verdoppelt. Die wachsende Komplexität im amerikanischen Aktienmarkt ist in Abb. 01 visualisiert: Es ist auf der y-Achse die Anzahl der mit je einem Kriterium aus der Klasse der PC und IC sowie durch die klassischen AIC und BIC geschätzten Faktoren von Datensätzen verschiedener Größe, von Januar 1996 bis zu dem an der x-Achse aufgetragenen Datum, aufgetragen. Es fällt auf, dass der Schätzer der PC bis zum Jahr 2003 für zeitlich wachsende Datensätze weniger Faktoren schätzt. Dies kann darauf hinweisen, dass für unseren Datensatz das Panelkriterium PC für T100 liefern beide Methoden ähnliche Ergebnisse. Das Informationskriterium IC jedoch schätzt nachvollziehbarerweise für wachsendes T auch mehr Faktoren. Besonders nach Zeiten hoher Volatilität, wie zwischen Juni 2004 und Juni 2005, wächst die Anzahl der geschätzten Faktoren deutlich. Während das AIC immer die obere Schwelle für die Anzahl der Faktoren, 20, wählt, scheint das BIC besser zu funktionieren. Das BIC schätzt jedoch eine geringere Faktordimension als das IC. Die einzelnen Faktoren beschreiben die zeitabhängige Variation der Observationen. Obwohl sie grundsätzlich keiner empirischen Zeitreihe zugeordnet werden können, ist es naheliegend, dass sie zu anderen Zeitreihen, die für die Erklärung der Observationen statistisch signifikant sind, einen hohen Grad an Korrelation aufweisen. Untersuchen wir zum Beispiel den ersten Faktor des obigen Datensatzes von Januar 2006 bis Dezember 2015, den wir errechnet haben. Als erster Faktor ist er der wichtigste der für diesen Zeitraum insgesamt geschätzten Faktoren und er alleine erklärt 42,66 Prozent der gesamten Variation der Observationen. In Abb. 02 wird er mit der monatlichen Rendite aller im S&P500 gelisteten Unternehmen aus der Finanzbranche verglichen. Es ist offensichtlich, dass beide Zeitreihen stark korrelieren, sie tun dies mit einem Koeffizienten von . Allerdings ist zu beachten, dass es sich hier um eine a posteriori Untersuchung handelt. Der Faktor – und jede seiner monatlichen Ausprägungen – wird anhand des kompletten Datensatzes, also einschließlich der Observationen im Dezember 2015, berechnet. Insofern bezeugt Abb. 02 nicht die potenzielle Vorhersagekraft der Faktoren, sondern lässt im Umkehrschluss Schlüsse über die bedeutende Rolle von Unternehmen aus der Finanzbranche für den untersuchten Datensatz zu.

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