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RISIKO MANAGER 15-16.2015

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8 Ausgabe

8 Ausgabe 15-16/2015 t Abb. 01 Abgrenzung von klassischem Counterparty Default Risk, CVA und CVA-Risk sowie den entsprechenden Risikomaßen schreibt dazu [vgl. BIS 2011], dass während der Finanzkrise die Mark-to-Market-Verluste durch die Neuberechnung von CVA etwa zwei Drittel aller Verluste im Counterparty Default Risk ausmachten. Dass heißt, nur ein Drittel der Verluste kamen durch tatsächlich ausfallende Marktakteure zustande. Diese neuen Risiken wurden durch keinen der damals existierenden Eigenkapitalpuffer aufgefangen. Die Simulationen für die Bewertung im Rahmen des Marktrisikos berücksichtigen keine Ausfälle der Kontrahenten. Die klassischen Methoden für Counterparty Default Risk wiederum adressieren nur tatsächlich eintretende Verluste durch realweltliche Ausfälle (und sind, was das angeht, relativ simpel: Meist wird lediglich die Nominale mit einer von der Asset-Klasse abhängigen Risikogewichtung multipliziert). Die Vorstufen eines Ausfalls, das heißt die schrittweise Verschlechterung der Bonität eines Kontrahenten und die damit verbundenen Abwertungen der gehaltenen Kontrakte durch Anpassungen im CVA, wurden bis dato nicht abgesichert. Das entsprechende Risiko bezeichnen wir – wie bereits erwähnt – als CVA-Risiko. Zur Quantifizierung des CVA-Risikos werden die allgemein bekannten Risikomaße Value-at-Risk (VaR) und Expected Shortfall (ES) herangezogen. t Abb. 01 gibt eine grafische Übersicht über die verschiedenen Größen, Risiken und assoziierten Risikomaße, die im Weiteren teilweise vertieft werden. Für eine Erläuterung der Risikomaße des klassischen Counterparty Default Risk, die auf Exposure und Loss basieren, sei an dieser Stelle auf Brigo et al. verwiesen [Brigo et al. 2013]. Einfache Berechnungsansätze für CVA CVA t,T bezeichne die (positive) Differenz aus dem Wert einer Position zum Zeitpunkt t mit einem fiktiven Kontrahenten ohne Ausfallrisiko und der gleichen Position mit dem tatsächlichen Kontrahenten unter Berücksichtigung von dessen Ausfallrisiko. In der Regel gibt es eine CVA-Position pro Kontrahenten im Portfolio, das heißt, es muss eine übergreifende Betrachtung aller Positionen pro Kontrahenten stattfinden. Bei gleichbleibenden äußeren Rahmenbedingungen und Bonität des Kontrahenten wird CVA t Gleichung 01 t Gleichung 02 langsam gegen Null streben, je näher t der Fälligkeit T des Portfolios mit dem Kontrahenten kommt, da die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb des kürzer werdenden Zeitrahmens (t, T] immer kleiner wird. Eine sehr bekannte – aber das Problem stark vereinfachende – mathematische Definition für CVA mit einem bestimmten Kontrahenten zum Zeitpunkt t = 0 mit längster Fälligkeit T aller Positionen mit diesem Kontrahenten ist in t Gleichung 01 wiedergegeben, wobei • REC die Erlösquote (engl. Recovery Rate) des Kontrahenten bezeichnet, das heißt den Prozentsatz, der im Fall eines Ausfalls des Kontrahenten vom Nominal noch zu retten ist, • q(t) gibt die Dichte der Ausfallzeit des Kontrahenten zum Zeitpunkt t an, • v(t) ist der Erwartungswert zum Zeitpunkt t der zukünftigen, diskontierten Exposure, bedingt auf die verfügbare Marktinformation zum Zeitpunkt t. Die auf den ersten Blick intuitive t Gleichung 01 basiert aber auf stark vereinfachenden Annahmen, wie ein zweiter Blick verrät. So wird einerseits die Recovery Rate als konstant angenommen (und in der Praxis beispielsweise auf den Wert 40 Prozent gesetzt). Andererseits wird vereinfachend Unabhängigkeit zwischen dem Ausfallzeitpunkt des Kontrahenten und dem dann erwarteten Exposure postuliert – wie aus dem Produkt q(t) v(t) ersichtlich wird. Wird diese Annahme fallen gelassen, so entsteht eine Situation die als „Wrong Way Risk” (WWR) bezeichnet wird. Darauf wird später noch knapp eingegangen. t Gleichung 01 eignet sich vor allem zur analytischen Betrachtung von CVA und kann bis auf Instrumenten- Ebene verfeinert wird, das heißt, es gibt unterschiedliche Formeln für CVA je nach Assetklasse. Dieser Weg wird etwa von Brigo et al. [vgl. Brigo et al. 2013] verfolgt. Eine etwas andere Herangehensweise offenbart die folgende, leicht abweichende Definition von CVA. Hier liegt der Fokus auf einer praktischen, simulationsnahen Anwendung. Die Notation deckt sich stärker mit der Terminologie aus dem klassischen Counterparty Default Risk (vgl. t Gleichung 02) mit Ausfallzeitpunkt des Kontrahenten , Fälligkeit des betrachteten Derivats T, Recovery Rate des Kontrahenten REC, Diskontierungsfaktor D(t, s) für das Intervall (t, s] und Exposure Ex() zum Ausfallzeitpunkt . Der Erwartungs-

9 95%-CVA-VaR (blau) and CVA-ES (orange), basierend auf 200 Simulationen von CVA 0 – CVA T (grau) wert wird unter dem risikoneutralen Maß (ein weiterer Hinweis darauf, dass CVA Teil des Pricings ist) und bedingt auf die Marktinformation zum Zeitpunkt t gebildet. In t Gleichung 02 sind potenziell noch alle auftretenden Größen zufällig und auch möglicherweise stochastisch abhängig. Für eine konkrete Anwendung werden aber oft vereinfachende Annahmen getroffen. Aus t Gleichung 02 wird bereits der Simulationsansatz für CVA ersichtlich: Es müssen der Ausfallzeitpunkt und die Höhe des Verlusts zu diesem Zeitpunkt, das Exposure Ex(), simuliert werden. Dieser Ansatz soll im Folgenden konkretisiert werden. Risikomaße von CVA Bevor wir uns der Modellierung und der Simulation des Ausfallzeitpunktes und des Exposures zuwenden, seien hier noch der Vollständigkeit halber die aus Sicht des t Gleichung 03 t Abb. 02 Risikomanagements relevanten Risikomaße von CVA genannt. CVA-VaR ist der Value-at-Risk von CVA zum Konfidenzniveau , Risikohorizont T und Fälligkeit T, das heißt hieraus resultiert t Gleichung 03. Ebenso CVA-ES, der Expected Shortfall von CVA, mit Erwartungswert unter dem realweltlichen Maß bedingt auf die Marktinformation zum Zeitpunkt t = 0. t Abb. 02 zeigt die Simulation von CVA 0 – CVA T für zunehmenden Risikohorizont T und die zugehörigen (geschätzten) Risikomaße. Ausfallzeiten modelliert durch Intensitäts-Modelle Bei der Ausfallzeit handelt es sich um den Zeitpunkt des Ausfalls eines Kontrahenten. Diese bestimmt, zusammen mit dem Exposure, den Verlust. Gängige Modelle für den zufälligen Zeitpunkt einer Insolvenz fallen fast durchweg in eine der zwei Klassen: Strukturierte Modelle (diese modellieren im Wesentlichen die Bilanz einer Firma und definieren den Ausfallzeitpunkt als den ersten Moment, zu welchem der Wert einer Firma unter deren Verbindlichkeiten fällt) und Intensitäts-Modelle. Wir beschreiben (und nutzen) im Folgenden lediglich die zweite Klasse. Es wird hierin angenommen, dass die Ausfallwahrscheinlichkeit für einen infinitesimal kleinen Zeitraum proportional zu einer (eventuell stochastischen) Intensität ist, welche mit bezeichnet wird. Mathematisch gesprochen wird also angenommen, dass t Gleichung 04 gilt. Daraus lässt sich folgern, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit für s Zeiteinheiten gegeben ist durch t Gleichung 05. Modelliert wird also ein nicht-negativer, stochastischer Prozess = {(t)} t 0 , welcher das lokale Ausfallverhalten von beschreibt. Für eine ganze Reihe von stochastischen Prozessen kann t Gleichung 05 geschlossen berechnet werden, und somit können Ausfall- und Überlebenswahrscheinlichkeiten explizit angegeben werden. Für eine Simulation von ist noch wichtig, die als „kanonische Repräsentation” bekannte Darstellung zu kennen (vgl. t Gleichung 06), wobei eine exponential-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert eins ist. Um nun via t Gleichung 06 zu simulieren, muss lediglich gezogen werden und wird so lange simuliert, bis die Bedingung (t)dt zutrifft. Das Integral wird dabei typischerweise durch eine (diskretisierende) Summe ersetzt. Berechnung des Exposures Ist der Ausfallzeitpunkt simuliert, so fehlt zur Berechnung von CVA noch das t Gleichung 04 t Gleichung 05 t Gleichung 06

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