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RISIKO MANAGER 10.2019

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54 RISIKO MANAGER 10|2019 Abb. 08 Simulationsdurchlauf zur Erzeugung eines jährlichen Schadenszenarios Schritt 1 a Ziehe Wert aus A-posteriori-Wissen über λ spezifiziert Schadenanzahl- Verteilung Ziehe Schadenanzahl aus Pois( ) Jährlicher Oberleitungsschaden = Schritt 1 b Ziehe Wert aus A-posteriori-Wissen über spezifiziert Schadenhöhe- Verteilung Ziehe Schadenhöhe aus LN( ) ( mal) eine Zufallsgröße X 1 , der ersten „Schadenhöhe je Vorfall“, vorgestellt. Das Submodell der Schadenhöhe X 1 wird durch das Verteilungsmodell der logarithmischen Normalverteilung mit den Parametern µ und σ² abgebildet, geschrieben X 1 ~ LN(μ; σ²). Zunächst wird die durchschnittliche Variabilität der Schadenhöhe als bekannt vorausgesetzt – beispielsweise aufgrund der Ergebnisse einer Oberleitungsnetzsimulation oder der Existenz repräsentativer Benchmarkwerte externer Informationsdienstleister wie Studien oder Versicherungen (für den Fall einer unbekannten Varianz vgl. Shevchenko/Wüthrich 2008). Somit kann ein konkreter Wert für σ ableitet werden, beispielsweise σ = 0,8. Dagegen stellt der Parameter μ häufig eine unbekannte, nicht messbare Größe dar. Der Glaube an mögliche, plausible Werte für die durchschnittliche Schadenhöhe je Vorfall wird durch die A-priori-Verteilung von μ ausgedrückt. Wir unterstellen für die Zufallsgröße μ eine symmetrische Verteilung. Eine zur logarithmischen Normalverteilung konjugierte A-priori-Verteilung mit dieser Eigenschaft ist die Normalverteilung, das heißt es wird μ ~ N(μ₀; σ²₀) angenommen. Hilfreich für die weitere Interpretation von μ und die Bestimmung der Hyperparameter μ 0 und σ²₀ ist der in Gleichung 12 enthaltene Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert von X, der durchschnittlichen Schadenhöhe, und dem unbekannten μ. Gleichung 12 Das heißt, die durchschnittliche Schadenhöhe ist ebenfalls eine Zufallsgröße, die bei bekannter Varianz σ² vom jeweiligen Wert des Parameters μ abhängt – es besteht folglich ein funktionaler Zusammenhang zwischen der durchschnittlichen Schadenhöhe und μ. Die Schätzung der Hyperparameter folgt analog zur Bestimmung der Hyperparameter im Submodell der Schadenanzahl, indem nun Vorwissen über die durchschnittliche Schadenhöhe in Form statistischer Charakteristika formuliert wird. Anschließend wird der funktionale Zusammenhang zwischen μ und der durchschnittlichen Schadenhöhe ausgenutzt, um die Hyperparameter μ 0 und σ²₀ zu berechnen. Ausgehend von dem Wissen, dass viele Kleinschäden auftreten, aber auch größere finanzielle Schäden nicht unwahrscheinlich sind, kann der Betriebsleiter beispielsweise die erwartete durchschnittliche Schadenhöhe je Vorfall auf 20 [T €] (für T=Tausend) schätzen. Ferner glaubt der Betriebsleiter, dass die plausiblen Werte für die durchschnittliche Schadenhöhe im Mittel um 15 Prozent streuen. In Analogie zu der Modellierung der Parameterunsicherheit für die Schadenanzahl kann ein System von Gleichungen aufgestellt werden, deren Lösung Schätzungen für die Hyperparameter μ 0 und σ²₀ liefert (ggf. kann je nach Vorwissen die Berechnung mithilfe geeigneter statistischer Software durchgeführt werden). Monte-Carlo-Simulation im Gesamtrisikomodell Für die Prognose des Gesamtrisikos aus Oberleitungsausfällen ist die Berechnung der zusammengesetzten Verteilung der jährlichen Gesamtschadensumme notwendig. Da die Schadenanzahl hier einer

OpRisk 55 Poisson-Verteilung folgt, wird die entsprechende Verteilung des Gesamtschadens unter den getroffenen Modellierungsannahmen als zusammengesetzte Poisson-Verteilung bezeichnet. Ausgehend von bekannter Schadenanzahl- und Schadenhöheverteilung kann jedoch im Allgemeinen die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsverteilung analytisch nicht berechnet werden, d. h. eine explizite Angabe der Verteilung des Gesamtschadens ist nicht möglich. Mithilfe einer Monte-Carlo-Simulation wird die zusammengesetzte Verteilung durch die empirische Verteilung des Gesamtschadens approximiert, indem eine große repräsentative Stichprobe möglicher Schadenszenarien für die Oberleitungsausfälle im kommenden Jahr erzeugt wird. Den Kern der Monte-Carlo-Simulation bildet die Vorgehensweise zur Erzeugung eines jährlichen Schadenszenarios. ( Abb. 08) Die Parameterunsicherheiten werden durch ein Wahrscheinlichkeitsmodell in der Simulation berücksichtigt, das je nach Wissensstand zum Bewertungszeitpunkt durch A-priori- oder A-posteriori-Verteilung des nicht messbaren Parameters modelliert wird. Im weiteren Verlauf sprechen wir jeweils von einer A-posteriori-Verteilung, d. h. wir nehmen an, dass für die Quantifizierung des Oberleitungsschadens ein Lernprozess eingesetzt hat. Ein Simulationsdurchlauf besteht im Wesentlichen aus der Simulation einer Schadenanzahl sowie der anschließenden Simulation der korrespondierenden Anzahl von „beobachteten“ Schadenhöhen und lässt sich wie folgt beschreiben: 1. Erzeugung einer Zufallszahl für die unbekannten Parameter des Gesamtmodells aus der jeweiligen A-posteriori- Verteilung a. Ziehung eines Werts für die durchschnittliche Anzahl von Schäden, die im nächsten Schritt die Schadenanzahl-Verteilung charakterisiert b. Ziehung eines Werts für die durchschnittliche Schadenhöhe, die im nächsten Schritt die Schadenhöhe- Verteilung charakterisiert 2. Erzeugung einer jährlichen Schadenanzahl m, aufgefasst als Realisierung der Zufallsgröße „Schadenanzahl“, aus der Schadenanzahl-Verteilung 3. Erzeugung von m Schadenhöhen aus dem Wahrscheinlichkeitsmodell der Schadenhöhe, aufgefasst als Realisierungen der m gleichartigen Zufallsgrößen „Schadenanzahl je Vorfall“ 4. Berechnung eines Zukunftsszenarios für den jährlichen Oberleitungsschaden durch Summation aller m „beobachteten“ Schadenhöhen. Mithilfe der Monte-Carlo-Simulation kann aus einer ausreichend großen Anzahl von simulierten Oberleitungsschäden eine repräsentative empirische Verteilung erzeugt werden. Somit ist der erste Schritt der Risikoquantifizierung, nämlich die Bestimmung oder Schätzung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Risiko eines jährlichen Oberleitungsschadens, vollständig durchgeführt. Die anschließende Auswertung des Simulationsergebnisses mithilfe statistischer Kennzahlen liefert schließlich auch den Risikogehalt. Als Risikomaße können die Standardabweichung oder auch der Value-at-Risik herangezogen werden. Monte-Carlo-Simulation im Vergleich Die obige Monte-Carlo-Simulation kann nach dem frequentistischen Ansatz auch ohne Berücksichtigung von Parameterunsicherheiten durchgeführt werden, dazu werden die unbekannten Parameter an- Abb. 09 Empirische Verteilung des jährlichen Oberleitungsschadens – Frequentistisch versus Bayes Werte für jährlichen Oberleitungsschaden Werte für jährlichen Oberleitungsschaden

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