Aufrufe
vor 3 Wochen

RISIKO MANAGER 08.2019

  • Text
  • Normalverteilung
  • Insbesondere
  • Beispielsweise
  • Berichterstattung
  • Risiken
  • Informationen
  • Risiko
  • Bitsight
  • Ratingklassen
  • Unternehmen
RISIKO MANAGER ist das führende Medium für alle Experten des Financial Risk Managements in Banken, Sparkassen und Versicherungen. Mit Themen aus den Bereichen Kreditrisiko, Marktrisiko, OpRisk, ERM und Regulierung vermittelt RISIKO MANAGER seinen Lesern hochkarätige Einschätzungen und umfassendes Wissen für fortschrittliches Risikomanagement.

8

8 RISIKO MANAGER 08|2019 Abb. 05 .1 .08 .06 .04 .02 0 n₁ = 100, n₂ = 100, π₁ = .1, π₂ = .9, R = 100.000 80 90 100 110 120 # Ausfälle B(n, π) Empirische Verteilung Normalverteilung und auf deren Grundlage die Kalibrierung zu überprüfen. Auch die Verwendung des Hosmer- Lemeshow-Tests scheitert in diesen Fällen regelmäßig an den Testanforderungen, da der Test eben genau auf den genannten Normalverteilungsapproximationen innerhalb der Ratingklassen beruht. Der Spiegelhalter-Test umgeht zwar diese Testanforderung, indem die Normalverteilungsapproximation auf Gesamtebene durchgeführt wird (wo i. d. R. die Approxi - mationsbedingung erfüllt ist), allerdings ergibt sich eine andere Einschränkung: Da der Spiegelhalter-Test auf Individualebene durchgeführt wird, ist es nicht direkt möglich, eine extern vorgegebene Ausfallrate zur Überprüfung der Kalibrierung des gesamten Portfolios zu testen. Dies ist in der Praxis jedoch häufig (z. B. von der Bankenaufsicht) gefordert. 5 Generierung einer ratingklassenübergreifenden Verteilungsfunktion der Ausfälle mittels Monte-Carlo-Simulation Abb. 06 n₁ = 1.000, n₂ = 1.000, π₁ = .1, π₂ = .9, R = 100.000 .03 .02 .01 0 900 950 1.000 1.050 1.100 # Ausfälle B(n, π) Empirische Verteilung Normalverteilung Liegt eine Situation vor, in der die Approximation der Binomialverteilungen der einzelnen Ratingklassen durch Normalverteilungen aufgrund der zu geringen Observationszahl nicht möglich ist, kann die aggregierte Verteilung mittels Monte-Carlo (MC)-Simulation geschätzt werden. Zur Erläuterung des Vorgehens sei angenommen, dass n = n₁ + n₂ Ratings vorliegen, wobei n1 Ratings der Ratingklasse 1 und n2 Ratings der Ratingklasse 2 zugeordnet werden. Die Zufallsvariable X₁ (X₂) entspricht der Anzahl an Ausfällen in Ratingklasse 1 (2) und X = X₁+ X₂ der aggregierten Anzahl an Kreditausfällen. Zur Verteilung sei angenommen, dass X₁~ B(n₁, π₁), X₂ ~ B(n₂, π₂) und die Kreditausfälle innerhalb und zwischen den Ratingklassen unabhängig sind. Analog zum Binomialtest ergibt sich die Teststatistik als Gesamtanzahl der beobachteten Kreditausfälle. Die Nullhypothese des in Kapitel 2 betrachteten konservativen Testproblems lässt sich dann formulieren zu „Die wahre (aggregierte) Anzahl an Kreditausfällen ist kleiner gleich der prognostizierten (aggregierten) Anzahl an Kreditausfällen“.

Kreditrisiko 9 Die Idee des simulationsbasierten Ansatzes ist nun, die theoretische Verteilungsfunktion von X durch die empirische Verteilungsfunktion zu approximieren, indem eine einfache Stichprobe aus X gezogen wird. Der Algorithmus zur Generierung der empirischen Verteilungsfunktion sieht dann wie folgt aus: i. Ziehung von X 1r aus B(n₁, π̂₁) und X 2r aus B(n₂, π̂₂), wobei π̂₁ und π̂₂ der prognostizierten Ausfallwahrscheinlichkeit der Ratingklasse 1 und 2 entspricht. ii. Berechnung von X r = X 1r +X 2r . iii. R mal Wiederholung von Schritt i. bis ii. iv. Verwendung der in Schritt iii. erhaltenen Stichprobe X 1 , …, X R als Basis zur Bestimmung der empirischen Verteilungsfunktion: Abb. 07 .1 .08 .06 .04 .02 n₁ = 100, n₂ = 100, π₁ = .1, π₂ = .9, R = 100.000 0 80 90 100 110 120 B(n, π) Emp. Verteilungsfkt. Faltung Normalverteilung Die empirische Verteilungsfunktion stellt einen erwartungstreuen und konsistenten Schätzer der wahren Verteilung der aggregierten Kreditausfälle dar. Für die resultierende empirische Verteilungsfunktion lässt sich zeigen, dass sie (i) der Binomialverteilung entspricht, wenn nur eine Ausfallwahrscheinlichkeit vorliegt, und (ii) der über Ratingklassen aggregierten Normalverteilung entspricht, wenn für mehrere Ratingklassen mit unterschiedlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten je Ratingklasse eine Approximation durch die Normalverteilung möglich ist. Unserem Beispiel aus Abschnitt 2 folgend, lässt sich zeigen, dass für zwei Ratingklassen mit je 100 Observationen und Ausfallwahrscheinlichkeiten von 0.1 und 0.9 die empirische Verteilungsfunktion aus 100.000 Iterationen – ganz im Gegensatz zur Binomialverteilung mit summierter Observationszahl und mittlerer Ausfallwahrscheinlichkeit – nahezu der aggregierten Normalverteilung entspricht. Abb. 05 Dieses Bild bestätigt sich, wenn man die Fallzahlen in den beiden Ratingklassen auf 1000 Observationen erhöht. Abb. 06 Im Zusammenhang des betrachteten Testproblems aus Abschnitt 2 bedeutet dies, dass nun der P-Wert basierend auf der empirischen Verteilungsfunktion anstatt auf der Binomialverteilung bestimmt werden kann. Aufgrund der potentiell breiteren Flanken der empirischen Verteilungsfunktion wird für das vorgestellte Testproblem ein kleinerer P-Wert als beim Binomialtest erwartet und somit die Nullhypothese im Mittel schneller abgelehnt. Für die Praxis bedeutet dies, dass der Test basierend auf der empirischen Verteilungsfunktion tendenziell sensitiver gegenüber einer möglichen Fehlkalibrierung des Ratingmodells ist. Im folgenden Abschnitt werden wir zeigen, dass nicht nur die simulationsbasierte aggregierte Ausfallverteilung, sondern auch eine Ausfallverteilung, die sich aus Faltung der einzelnen Binomialverteilungen der verschiedenen Ratingklassen ergibt, zu einem Ergebnis führt, das für hinreichend große Fall- und Iterationszahlen faktisch der Aggregation der approximierten Normalverteilungen entspricht. # Ausfälle Generierung einer ratingklassenübergreifenden Verteilungsfunktion der Ausfälle durch Funktionsfaltung Neben der Schätzung der aggregierten Verteilungsfunktion mittels Monte-Carlo-Simulation besteht die Möglichkeit, die (exakte) Wahrscheinlichkeitsfunktion als Summe unabhängiger diskreter Zufallsvariablen über eine sukzessive Zusammenführung (Faltung) der Wahrscheinlichkeitsfunktionen der einzelnen Zufallsvariablen zu generieren (vgl. beispielsweise [Butler und Stephens (2017)] sowie [Woodward und Palmer (1997)]). In der Literatur wird die resultierende Wahrscheinlichkeitsfunktion i. d. R. der verallgemeinerten Binomialverteilung zugeordnet. Seien – wie bereits erwähnt – die Ausfälle in den Ratingklassen 1 und 2 binomialverteilt mit X₁~B(n₁,π₁) und X₂~B(n₂, π₂),

RISIKO MANAGER

RISIKO MANAGER 01.2019
RISIKO MANAGER 02.2019
RISIKO MANAGER 03.2019
RISIKOMANAGER_04.2019
RISIKO MANAGER 05.2019
RISIKO MANAGER 06.2019
RISIKO MANAGER_07.2019
RISIKO MANAGER 08.2019
RISIKO MANAGER 01.2018
RISIKO MANAGER 02.2018
RISIKO MANAGER 03.2018
RISIKO MANAGER 04.2018
RISIKO MANAGER 05.2018
RISIKO MANAGER 06.2018
RISIKO MANAGER 07.2018
RISIKO MANAGER 08.2018
RISIKO MANAGER 09.2018
RISIKO MANAGER 10.2018
RISIKO MANAGER 01.2017
RISIKO MANAGER 02.2017
RISIKO MANAGER 03.2017
RISIKO MANAGER 04.2017
RISIKO MANAGER 05.2017
RISIKO MANAGER 06.2017
RISIKO MANAGER 07.2017
RISIKO MANAGER 08.2017
RISIKO MANAGER 09.2017
RISIKO MANAGER 10.2017
RISIKO MANAGER 01.2016
RISIKO MANAGER 02.2016
RISIKO MANAGER 03.2016
RISIKO MANAGER 04.2016
RISIKO MANAGER 05.2016
RISIKO MANAGER 06.2016
RISIKO MANAGER 07.2016
RISIKO MANAGER 08.2016
RISIKO MANAGER 09.2016
RISIKO MANAGER 10.2016
RISIKO MANAGER 01.2015
RISIKO MANAGER 02.2015
RISIKO MANAGER 03.2015
RISIKO MANAGER 04.2015
RISIKO MANAGER 05.2015
RISIKO MANAGER 06.2015
RISIKO MANAGER 07.2015
RISIKO MANAGER 08.2015
RISIKO MANAGER 09.2015
RISIKO MANAGER 10.2015
RISIKO MANAGER 11.2015
RISIKO MANAGER 12.2015
RISIKO MANAGER 13.2015
RISIKO MANAGER 15-16.2015
RISIKO MANAGER 17.2015
RISIKO MANAGER 18.2015
RISIKO MANAGER 19.2015
RISIKO MANAGER 20.2015
RISIKO MANAGER 21.2015
RISIKO MANAGER 22.2015
RISIKO MANAGER 23.2015
RISIKO MANAGER 24.2015
RISIKO MANAGER 25-26.2015
 

Copyright Risiko Manager © 2004-2017. All Rights Reserved.