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RISIKO MANAGER 08.2019

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6 RISIKO MANAGER 08|2019 Abb. 02 .08 .06 .04 n₁ = 100, n₂ = 200, π₁ = .5, π₂ = .5 nahezu identisch mit dieser aggregierten Normalverteilung ist, während die Binomialverteilung mit angenommener mittlerer Erfolgswahrscheinlichkeit je nach Parameterkonstellation teils erheblich abweicht. Ausgehend von den bisherigen Überlegungen zeigen wir in Abschnitt 4, dass es auch ohne Monte-Carlo-Simulation möglich ist, aus den Binomialverteilungen der einzelnen Klassen mittels Faltung eine gemeinsame Verteilung zu generieren. Die resultierende Verteilung ist zwar selber nicht binomialverteilt, sondern verallgemeinert binomialverteilt, eignet sich aber durchaus zur Beantwortung der Frage, ob die Gesamtheit aller Ratingklassen korrekt kalibriert ist. Wir schließen mit einem Fazit im letzten Abschnitt. .02 Abb. 03 .08 80 90 100 110 120 # Ausfälle B(n, π) Normalverteilung n₁ = 100, n₂ = 100, π₁ = .3, π₂ = .7 Probleme bei der ratingklassenübergreifenden Kalibrierungsüberprüfung Sei Y eine unabhängig und identisch Bernoulli-verteilte Zufallsvariable und Y 1 , …,Y n eine einfache Stichprobe aus Y. Dabei bezeichne Y die Information, dass ein Kredit ausfällt (Y=1) oder nicht (Y=0) und π die wahre (unbekannte) Ausfallwahrscheinlichkeit, d. h., P (Y=1) = π. Daraus folgt, dass die Summe der n Kreditausfälle binomialverteilt ist. Formal bezeichnen wir dies mit: Ỹ =∑ⁿ i=1 Y i ̃ B(n,π). .06 .04 .02 80 90 100 110 120 # Ausfälle B(n, π) Normalverteilung Im Folgenden fokussieren wir uns auf das konservative Testproblem, das besagt, dass die prognostizierte Ausfallwahrscheinlichkeit π̂ mindestens der wahren Ausfallwahrscheinlichkeit π entspricht. Formal ergeben sich die Hypothesen zu: H0: π ≤ π̂ versus H1: π≤ π̂ . 1 Die Teststatistik des Binomialtests entspricht dann der beobachteten Anzahl an Kreditausfällen. Die Nullhypothese H0 ist zum Niveau 1-α abzulehnen, wenn T > B -1 (1-α; n, π̂ ) ist, wobei T der Teststatistik und B -1 der inversen Binomialverteilung entspricht. 2 Die Verwendung des Binomialtests zur Überprüfung der korrekten Kalibrierung innerhalb einer Ratingklasse ist dann statthaft, wenn die Annahme gleicher Ausfallwahrscheinlichkeiten innerhalb dieser

Kreditrisiko 7 Abb. 04 .1 .08 .06 .04 .02 0 80 90 100 110 120 # Ausfälle B(n, π) n₁ = 100, n₂ = 100, π₁ = .1, π₂ = .9 Normalverteilung Klasse erfüllt ist. 3 Grafisch lassen sich die Testentscheidung und der zugehörige P-Wert für eine Ratingklasse – beispielsweise – mit 200 Observationen und einer prognostizierten Ausfallwahrscheinlichkeit von 50 % und 110 beobachteten Ausfällen wie folgt veranschaulichen. Abb. 01 Da annahmegemäß alle 200 Observationen derselben Ratingklasse entstammen und eine einheitliche Ausfallwahrscheinlichkeit aufweisen, ist die Verwendung des Binomialtests problemlos möglich. Genauso stellt sich der Sachverhalt dar, wenn die gesamte Beobachtungsmenge aus mehreren Teilmengen besteht (hier beispielsweise zwei Ratinggruppen à 100 Observationen), solange deren Ausfallwahrscheinlichkeiten identisch sind (hier 0.5). Ferner lässt sich die aggregierte Binomialverteilung auch durch eine Normalverteilung approximieren. 4 In der Praxis ist dies ein häufig verwendetes und anerkanntes Vorgehen. Abb. 02 Betrachtet man nun mehrere Ratingklassen mit unterschiedlichen Ausfallwahrscheinlichkeiten und sind für sämtliche Ratingklassen die Approximationsbedingungen zur Normalverteilung erfüllt, ist die Approximation in jeder Ratingklasse und die anschließende Zusammenführung zu einer gemeinsamen Normalverteilung ein gangbarer und intuitiver Weg zur Erzeugung einer Gesamtverteilung, auf deren Grundlage die korrekte Kalibrierung getestet werden kann. Bei bspw. zwei Gruppen von Ratings, die als Ratingklassen interpretiert werden können und unterschiedliche Ausfallwahrscheinlichkeiten aufweisen (z. B. zwei Ratingklassen à 100 Observationen von denen eine Ratingklasse eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 0.3 und die andere Ratingklasse von 0.7 aufweist), lässt sich zeigen, dass sich die aggregierte Normalverteilung („Wahrheit“) erheblich von einer Binomialverteilung unterscheidet, die die aggregierte Fallzahl beider Subgruppen (n = 200) und deren mittlere Ausfallwahrscheinlichkeit (π = 0.5) aufweist. Abb. 03 Noch deutlicher stellt sich der Sachverhalt dar, wenn man extremere Ausfallwahrscheinlichkeiten, beispielsweise 0.1 für die Ratingklasse 1 und 0.9 für die Ratingklasse 2 wählt. Abb. 04 Folglich ist die Verwendung einer gemeinsamen Binomialverteilung kein allgemein gültiger Weg zur Erzeugung einer gemeinsamen Verteilung. In der Praxis kommt es oftmals vor, dass in den Ratingklassen mit geringen Ausfallwahrscheinlichkeiten ebenfalls geringe Stückzahlen vorliegen und somit einzelne oder auch mehrere Ratingklassen die Approximationsbedingung nicht erfüllen. In diesen Fällen ist es nicht möglich, eine gemeinsame Normalverteilung zu bilden

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