nicht vom Vermögen
nicht vom Vermögen abhängt, wird sie auch als CRRA-Nutzenfunktion (Constant Relative Risk Aversion) bezeichnet. In der Erwartungsnutzentheorie wird angenommen, dass ein Investor, ausgestattet mit einem positiven anfänglichen Vermögen und gegebener Nutzenfunktion , eine Investmentstrategie wählen wird, welche den erwarteten Nutzen des Vermögens zum terminalen Anlagehorizont unter dem objektiven Maß , also , maximiert. Um diesen Erwartungswert berechnen zu können, muss zunächst ein Modell für die Entwicklung der im Markt vorhandenen Assets postuliert werden. Das Marktmodell Klassischerweise wird hier von einem erweiterten Black-Scholes-Modell mit konstanten Koeffizienten ausgegangen, indem sich die Preise von risikobehafteten Assets gemäß einer mehrdimensionalen geometrischen Brownschen Bewegung entwickeln (vgl. Definition 04). Des Weiteren steht dem Investor eine risikolose Anlage (im weiteren Sinn ein Bankkonto) zur Verfügung, die mit der risikolosen Rendite r verzinst wird. Gleichung 01 Dynamik des Investorenvermögens Das Investorenvermögen für ein gegebenes Anfangskapital und eine gegebene Investmentpolitik entwickelt sich gemäß der stochastischen Differentialgleichung mit und . Gleichung 02 Das Portfoliooptimierungsproblem Das Portfoliooptimierungsproblem ist gegeben durch . Im Fall der Power-Nutzenfunktion ist dieser Erwartungswert wohldefiniert. Gleichung 03 Das Statische Optimierungsproblem Zu jedem Zeitpunkt muss der Investor nun entscheiden, welcher Anteil des aktuellen Vermögens in das -te Asset zum Preis investiert wird. Wir erlauben dabei explizit Leerverkäufe (also ) und gehen darüber hinaus davon aus, dass der Markt hinreichend liquide ist, sodass die Assets in beliebigen Mengen (auch Bruchteilen) gekauft und verkauft werden können und die Transaktionen die Preise der Assets nicht beeinflussen. Transaktionskosten und Steuern werden vernachlässigt. Das restliche Vermögen , das nicht in die risikobehafteten Anlagen investiert wird, befindet sich auf dem Bankkonto und wird mit dem Zins r stetig verzinst. Ein negativer Wert wird dabei als Geldleihe beziehungsweise gehebeltes Investment interpretiert. Insgesamt entwickelt sich das Vermögen für ein gegebenes Anfangskapital und eine gegebene Investmentpolitik somit gemäß der Dynamik in Gleichung 01. Eine zentrale Rolle wird im Folgenden dem sogenannten Markt-Diskontierungs-Prozess zukommen. Bei der Bewertung (möglicherweise zufälliger) zukünftiger Zahlungsströme, wird mithilfe von der aus der Optionsbewertung be- Das statische Optimierungsproblem ist gegeben durch , wobei eine positive und messbare Zufallsvariable ist, welche das optimale Zielvermögen zum Zeitpunkt in Abhängigkeit des Anfangsvermögens beschreibt. 34 RISIKO MANAGER 06|2016 kannte Wechsel vom objektiven Wahrscheinlichkeitsmaß zum risiko-neutralen Maß vollzogen. Der heutige Marktpreis lässt sich dann einfach als Erwartungswert bestimmen. Aus diesem Zusammenhang ergibt sich auch die Bezeichnung als Markt-Diskontierungs-Prozess: ist der heutige Wert einer (sicheren) Geldeinheit zum Zeitpunkt . Das Portfoliooptimierungsproblem Für den Investor ergibt sich zusammenfassend das Optimierungsproblem in Gleichung 02. Die Investmentstrategie , die die zentrale Steuerungsgröße des Investors darstellt, ist dabei ein progressiv messbarer stochastischer Prozess: Der Investor kann seine Assetallokation zu jedem Zeitpunkt überdenken, darf sich dabei aber selbstverständlich nur auf bereits bekannte Informationen (also die bis dato beobachteten Renditen) stützen. Dies wird durch die technische Bedingung in Definition 05 ebenso sichergestellt, wie z. B. die Vermeidung von „Doppelungsstrategien“. Bei diesen Strategien wird im Fall des Misserfolgs bei der Anlage das Investment verdoppelt. Unter der unrealistischen Annahme, dass für diese Strategie ein unendlich großes Kreditvolumen zur Verfügung steht, lässt sich ein Arbitragegewinn erzielen. Das Problem in Gleichung 02 besteht nun im Wesentlichen in der Konstruktion einer optimalen Anlagestrategie , die zum einen die oben gennanten Eigenschaften erfüllt und andererseits den erwarteten Nutzen maximiert. Der Investor steht damit vor einem komplexen stochastischen Steuerungsproblem, welches erstmals von R. Merton [vgl. Merton 1969 und Merton 1971] gelöst wurde. Merton nutzte dazu Prinzipien der dynamischen Programmierung und führte das Problem auf die Lösung einer nicht-linearen partiellen Differentialgleichung, der sogenannten Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung, zurück. Als alternativer Lösungsweg hat sich die sogenannte Martingal-Methode [vgl. Pliska 1986, Karatzas/Lehoczky/Shreve 1987 und Cox/Huang 1989] etabliert, die das Optimierungsproblem in Gleichung 02 in zwei separat lösbare Subprobleme un-
Regulierung 35 terteilt. Aus Gründen der Anschaulichkeit wird im Folgenden dieser Ansatz vorgestellt. Das statische Optimierungsproblem In einem ersten Schritt, wird mittels des sogenannten statischen Optimierungsproblems (siehe Gleichung 03) ein optimales Auszahlungsprofil bestimmt. Die positive Zufallsvariable entspricht dabei dem (stochastischen) Endvermögen des Investors in Abhängigkeit des gegebenen Anfangsvermögens , das den erwarteten Nutzen aus heutiger Sicht maximiert. Mit Argumenten aus der Dualitätstheorie lässt sich zeigen, dass das optimale Vermögen zum Zeitpunkt eine Struktur der Form mit hat [vgl. Cvitanic/Karatzas 1992]. ist dabei die Inverse des Grenznutzens, also die Inverse der ersten Ableitung der Nutzenfunktion nach dem Vermögen. Um den fehlenden Parameter zu bestimmen, wird zunächst die Budget-Funktion aufgestellt, mit deren Hilfe das heute benötigte Kapital berechnet werden kann, um ein zukünftiges Vermögen der Struktur zu finanzieren. Dies entspricht im Wesentlichen der oben beschriebenen Marktwertbestimmung mittels des Markt-Diskontierungs-Prozesses. Durch einfaches Invertieren der Budget-Funktion kann dann das (optimale) Vermögen aus dem heute verfügbaren Kapital bestimmt werden (siehe Gleichung 04). Das Repräsentationsproblem Die Lösung des statischen Optimierungsproblems gibt lediglich das Zielvermögen des Investors zum Zeitpunkt an. Durch die Lösung des Repräsentationsproblems wird ermittelt, mit welcher Investmentstrategie dieses optimale Vermögen erreicht werden kann. In Anlehnung an die Theorie der Optionsbewertung, handelt es sich somit prinzipiell um die Konstruktion einer geeigneten Hedgingstrategie des Zahlungsstroms . An dieser Stelle kommt eine zwingende Voraussetzung an das zugrunde liegende Marktmodell (vgl. Definition 04) zum Tragen: Der Investor muss in der Lage sein, jeden beliebigen Zahlungsstrom durch eine geeignete Portfoliostrategie replizieren zu können – oder in Worten der Finanzmathematik: Der Markt muss vollständig sein. Wie auch bei der klassischen Optionsbewertung [vgl. Harrison/Pliska1981] kommt bei der Lösung des Repräsentationsproblems das sogenannte Martingal-Repräsentations-Theorem (daher wird dieser Ansatz als „Martingal-Methode“ bezeichnet) zum Einsatz: Jeder Prozess, der ein Martingal bezüglich der Brownschen Filtration ist, kann als stochastisches Integral bezüglich der Brownschen Bewegung dargestellt werden. Für das vorliegende Portfoliooptimierungsproblem bedeutet dies konkret die Existenz eines progressiv messbaren, qua- Gleichung 04 dratisch integrierbaren und -wertigen Prozesses , aus dem sich die optimale Investmentstrategie ergibt [vgl. Cvitanic/ Karatzas 1992]. Das Martingal-Repräsentations-Theorem liefert bedauerlicherweise keine allgemeine Konstruktionsvorschrift für den Prozess , sondern sichert lediglich dessen Existenz. Welche Gestalt das resultierende Portfolio letztendlich annimmt, muss daher individuell für jeden Anwendungsfall untersucht werden. In diesem Beispiel wird der Fall der Power-Nutzenfunktion betrachtet. Optimale Portfolios unter der Power-Nutzenfunktion Die Budget-Funktion und das optimale Vermögen Für einen Investor mit Power-Nutzenfunktion (siehe Definition 02) ergibt sich der Die Budget-Funktion für ist definiert als . Sie gibt das benötigte Anfangskapital an, um ein Endvermögen der Struktur zu finanzieren. Ihre Inverse wird mit bezeichnet. Das optimale Endvermögen ergibt sich dann insgesamt als , also als ein Vermögen mit obiger Struktur, welches das gesamte anfängliche Budget verwendet. Gleichung 05 Gleichung 06 Gleichung 07 Wert des replizierenden Portfolios Der Wert des replizierenden Portfolios beträgt zum Zeitpunkt t und kann damit als Funktion dargestellt werden. Replikation Das optimale Portfolio von t und der d-dimensionalen Brownschen Bewegung Ein Portfolio mit dem Wert kann repliziert werden durch eine Investmentstrategie mit Portfoliogewichten , wobei der Gradient von bezüglich der Variablen darstellt. Das optimale Portfolio ist für die Power-Nutzenfunktion gegeben durch für alle .
