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RISIKO MANAGER 06.2015

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8 Ausgabe 06/2015

8 Ausgabe 06/2015 tierende Portfolioverlustprozess extrahiert wird. Der große Vorteil der Top-down-Philosophie besteht darin, dass die Dynamik von {L t } t 0 sehr flexibel gestaltet und an beobachtete Phänomene angepasst werden kann, ohne die Handhabbarkeit und praktische Anwendbarkeit in der Kalibrierung an Marktdaten zu vernachlässigen. Die oben genannten Referenzen behandeln beispielsweise unter anderem den in der Finanzkrise offenkundigen Effekt, dass der Ausfall eines Kredits (das heißt ein Sprung von {L t } t 0 ) den Ausfall einer weiteren Position im Portfolio (das heißt einen weiteren Sprung des Prozesses) begünstigt. Nachteil des Top-down-Ansatzes im Sinn der im vorigen Abschnitt gelisteten grundlegenden Eigenschaften von Kreditrisiko (siehe Punkt 1) zu „Seltenheit“) ist, dass ein Rückschluss von der Modellierung von {L t } t 0 auf die Struktur der einzelnen Ausfallzeitpunkte k in den allermeisten Fällen nicht möglich ist. Das Verständnis um die Struktur des Modells und die Abhängigkeit der Ausfallzeiten geht nicht explizit hervor und erschwert eine über die Güte der Marktpreisreproduktion hinausgehende Beurteilung der gewählten Prozessspezifikation. Bei der Wahl eines Bottom-up-Ansatzes besteht umgekehrt die Herausforderung darin, die k so zu modellieren, dass eine realistische und handhabbare Dynamik für die aggregierte Summe {L t } t 0 der Indikatorvariablen 1 {k t} entsteht. Der einfachste und für ein Verständnis um die generelle Funktionsweise hilfreiche Fall tritt ein, wenn die k als unabhängig und identisch verteilt (abgekürzt i. i. d. für independent and identically distributed) mit (risikoneutraler) Verteilungfunktion F(t) ( 1 ≤ t) angenommen werden. In diesem Fall ist 1 {k t} eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable mit Trefferwahrscheinlichkeit F(t) (d. h. (1 = 1)=F(t)), sodass d L {k t} t einer Binomialverteilung folgt. Die Wahrscheinlichkeit von l Ausfällen, l = 0, …, d, bis zum Zeitpunkt t ≥ 0 kann somit geschlossen bestimmt werden, vgl. t Gleichung 03 . Eine analytische Formel für die Portfolioverlustverteilung ist somit gegeben, jedoch wird ein wesentliches, für die Bewertung von Kreditderivaten extrem bedeutendes Merkmal ignoriert: die Ausfallkorrelation. Die Annahme unabhängiger Ausfallzeiten erscheint nur in den seltensten Fällen angebracht. Im Allgemeinen führen systemische Faktoren (wiederum sei die Finanzkrise als jüngstes Beispiel erwähnt) zu einer Abhängigkeit zwischen den Portfoliopositionen, welche durch Ausfälle einzelner Posten womöglich sogar verstärkt wird. Um diesem unbestrittenen Zusammenhang Rechnung zu tragen, gibt es innerhalb der Bottom-up- Klasse verschiedene Ansätze, Wechselwirkungen zwischen den k zu berücksichtigen. Ein in der univariaten Kreditrisikomodellierung (das heißt der Modellierung einer einzelnen Vermögensposition) gebräuchliches Verfahren sind intensitätsbasierte Modelle. In dieser Klasse wird 1 {k t} als Sprungprozess betrachtet, dessen Übergang vom anfänglichen Status 1 {k 0} = 0 (das heißt die k-te Position im Portfolio ist zum Zeitpunkt t = 0 noch nicht ausgefallen) zum Ausfall 1 {k t} = 1 für ein t > 0 durch eine stochastische Ausfallintensität gesteuert wird. Je nach Spezifikation der Ausfallintensität können gewünschte Effekte abgebildet und Marktpreise für Kreditderivate nachgebildet werden. Die Herausforderung in der Anwendung dieses Rahmens im multivariaten Fall (das heißt für ein Portfolio von Objekten) besteht darin, Abhängigkeiten zwischen den Ausfallintensitäten der einzelnen Positionen herzustellen. Schönbucher [vgl. Schönbucher 2003, S. 316 ff.] illustriert die Schwierigkeiten und mögliche Lösungsansätze für die Aggregation der Ausfallintensitäten im Portfolioverlustprozess. Einen weiteren populären Ansatz zur Modellierung von Wechselwirkungen zwischen den Ausfallzeiten bieten homogene Ein-Faktor-Modelle. Die Kritik des simplen Binomialansatzes aufgreifend, werden die Ausfallzeiten nicht mehr als i. i. d. angenommen. Stattdessen wird ein systemischer Faktor eingeführt, der alle Kreditpositionen gleichermaßen beeinträchtigt (man stelle sich darunter beispielsweise die allgemeine Wirtschaftslage vor). Da gegeben dem stochastischen gemeinsamen Faktor alle Ausfallzeiten als i. i. d. angenommen werden, werden diese Modelle auch CIID-Modelle (für conditionally i. i. d.) genannt. Um einen genaueren Einblick in die Ausführung eines der genannten Ansätze zur Portfoliokreditrisikomodellierung zu geben, wird die CIID-Klasse im folgenden Abschnitt näher beleuchtet. Eine kurze Einführung zu CIID-Modellen Eine übersichtliche Einführung und ein Überblick über den CIID-Ansatz finden sich in Mai et al. [vgl. Mai et al. 2012]. Die kanonische Konstruktion der Ausfallzeiten in diesem Rahmenwerk ist durch t Gleichung 04 gegeben, wobei M = {M t } t 0 einen nicht-negativen, steigenden stochastischen t Gleichung 03 t Gleichung 04 t Gleichung 05 t Gleichung 06

9 Prozess mit M 0 = 0 und lim t M t = (fast sicher) und E 1 , …, E d eine Menge von i. i. d. exponentialverteilten Zufallsvariablen mit Parameter 1 beschreiben, welche unabhängig von M sind. Wie bereits erwähnt, richtet sich die Bezeichnung „CIID“ danach, dass gegeben dem Marktfaktor M alle Ausfallzeiten i. i. d. sind. Je nach Spezifikation von M können unterschiedliche Strukturen für die k und den Portfolioverlustprozess {L t } t 0 induziert werden. Die Ausfallzeit k ist in diesem Setup der erste Zeitpunkt, zu dem der gemeinsame Marktprozess M die individuelle stochastische Schranke E k überschreitet. Eine Visualisierung dieses Vorgangs ist in t Abb. 01 wiedergegeben. Ein großer Vorteil von CIID-Modellen, welcher eine maßgebliche Rolle für deren Verbreitung in der Praxis spielt, ist die Handhabbarkeit der Portfolioverlustverteilung ähnlich dem Binomialfall. Gegeben M sind die k i. i. d. mit Verteilungsfunktion gemäß t Gleichung 05 . F ür die Verteilung von L t ergibt sich damit t Gleichung 06 . Da die Indikatorfunktionen 1 {k t} bedingt an M i. i. d. Bernoulli-verteilt mit Trefferwahrscheinlichkeit 1 – e –M t sind, erhält man für den Portfolioverlustprozess eine zum Unabhängigkeitsfall analoge Formel, welche von M abhängt. Diese Formel zeigt auch auf, wie steigende Lévyprozesse (auch Lévysubordinatoren genannt) in natürlicher Art und Weise als Kandidaten für die Spezifikation von M ins Spiel kommen. Um die Formel explizit lösen zu können, genügt es, Ausdrücke der Form [exp(–M t )] zu kennen. Da, wie in den vorangegangenen Beiträgen erläutert, die benötigten Ausdrücke nichts anderes als die Laplace-Transformation des Lévy-Subordinators darstellen und für die meisten Prozessspezifikationen bekannt sind, bleibt die explizite Struktur der Verlustverteilung aus dem Binomialfall erhalten. Sind damit alle Barrieren hinsichtlich der Anwendbarkeit des Modells beseitigt? Leider nein. Eine analytisch nicht existente, jedoch bei numerischer Umsetzung des Ansatzes entstehende Schwierigkeit resultiert aus dem Binomialkoeffizienten „d über l“ in t Gleichung 06 . Während dieser für kleine Werte von d keine Probleme bereitet, wird er für größere Werte insofern problematisch, als die Multiplikation eines extrem großen Binomialkoeffizienten mit einem potenziell sehr kleinen Erwartungswert zu numerischen Instabilitäten führen kann. Gegeben der Tatsache, dass einige der Standardprodukte für Portfoliokreditderivate auf t Abb. 01 Realisierung eines Zufallsvektors ( 1 , 2 , 3 ) in einem CIID- Modell. Die blaue Linie visualisiert den Pfad von M. Man beachte, dass der Sprung von M zum Zeitpunkt t = 0.6 den gleichzeitigen Ausfall von (d. h. den gleichen Wert für) 2 und 3 bedingt. ein Portfolio von d = 125 Positionen referenzieren (und Kreditportfolios bei Banken im Allgemeinen eine hohe Dimension aufweisen), können bei „naiver“ Anwendung der Formel numerische Obskuritäten wie beispielsweise negative Wahrscheinlichkeiten oder Wahrscheinlichkeiten größer als eins auftreten. Ein Lösungsansatz für diese Problematik wird im nächsten Abschnitt erläutert. Wie kann die Portfolioverteilung im CIID-Rahmen effizient ausgewertet werden? Der letzte Abschnitt dieses Beitrags befasst sich mit der Fragestellung: Wie kann t Gleichung 06 für beliebige d effizient berechnet werden? Für kleine Werte (d < 30) ist die Lösung bereits durch die Gleichung selbst gegeben. Eine direkte Berechnung bereitet in diesem Fall keine Probleme. Für sehr große Werte von d (das heißt für den Grenzfall d ) stellt der CIID- Rahmen ebenfalls eine Lösung bereit. Wie in t Gleichung 01 definiert, stellt der Portfolioverlustprozess eine Summe von Zufallsvariablen 1 {k t} dar. Für den Fall, dass diese Zufallsvariablen i. i. d. sind, zeigt das bekannte starke Gesetz der großen Zahlen auf, dass die normierte Summe der Zufalls- t Gleichung 07 t Gleichung 08 t Gleichung 09 t Gleichung 10

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