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RISIKO MANAGER 06.2015

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10 Ausgabe 06/2015

10 Ausgabe 06/2015 variablen gegen ihren Erwartungswert (siehe t Gleichung 07) konvergiert. Für die CIID-Modelle kann ein ähnliches Resultat hergeleitet werden, da gegeben dem Marktfaktor M wiederum eine i. i. d.-Struktur besteht, welche die Anwendung von Grenzwertsätzen zulässt. Die daraus abgeleitete Approximationsformel wird in der Literatur als large homogeneous portfolio approximation (LHPA) bezeichnet und ergibt sich gemäß t Gleichung 08 . Sprachlich ausgedrückt bedeutet dies: Für ein unendlich großes Portfolio kann in einem CIID-Modell die Verteilung des Portfolioverlustprozesses L t zum Zeitpunkt t ≥ 0 durch die Verteilung des Prozesses F t = 1 – exp(–M t ) approximiert werden. Da F t für Lévyprozesse ein in der Regel gut handhabbares Objekt darstellt, kann die LHPA dazu genutzt werden, die ursprünglich hohe Komplexität (Bestimmung der Verteilung einer Summe von d abhängigen Zufallsvariablen) auf die Struktur eines eindimensionalen Prozesses M zurückzuführen. Eine „Lücke“, die noch zu schließen verbleibt, ist eine Auswertung/Approximation von t Gleichung 06 für „mittlere“ Dimension d. Ein Ansatz hierfür, der wie die LHPA aus der Beziehung zur i. i. d.-Struktur resultiert, ist die Sattelpunktapproximationsmethode. Diese ursprünglich von Daniels [vgl. Daniels 1954] entwickelte Methodik kombiniert zwei mathematische Techniken: Auf der einen Seite werden Esscher-Transformationen dazu verwendet, einen zusätzlichen Freiheitsgrad für das bei der Betrachtung der Summe von Zufallsvariablen verwendete Wahrscheinlichkeitsmaß zu gewinnen. Auf der anderen Seite führt die Nutzung von Edgeworth Expansions zu einer Reduktion des numerischen Aufwands. In der Kombination beider Methoden ergibt sich eine Approximationsformel für die Verteilung der Summe, welche relative Fehlerabschätzungen gegenüber einer exakten Verteilung erlaubt. Eine genaue Herleitung t Abb. 02 Verteilung des Portfolioverlusts L t für d = 60 und die Wahl eines Gamma Lévy-Subordinators für M (zur genauen Spezifikation von t und den Parametern von {L t } t 0 , siehe [Kant (2013), unterste Grafik in Figure 3.4]). Die Grafik zeigt die empirische Verteilungsfunktion von L t basierend auf einer Monte-Carlo-Simulation (schwarze Linie), die Sattelpunktapproximationswerte (blaue Linie) und die ste tige Verteilungsfunktion bei der LHPA (graue Linie). cumulative distribution function 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 portfolio loss t Gleichung 11 t Gleichung 12

11 und Übertragung der Sattelpunktapproximationsmethode auf das CIID-Setup findet sich in Kant [vgl. Kant 2013]. Basierend auf der Darstellung gemäß t Gleichung 09 der Verteilung von L t als bedingter Erwartungswert gegeben dem Marktfaktor M wird gezeigt, dass bei Definition der Esscher-Funktionen (vgl. t Gleichung 10) und von t Gleichung 11 der Ausdruck im Inneren von t Gleichung 09 berechnet werden kann mittels t Gleichung 12 für x = l/d, l = 0, …, d, wobei sgn die Signumsfunktion bezeichnet. Ein Beispiel für die Anwendung der Approximationsmethode und die daraus resultierende Näherung für die Verteilungsfunktion von L t ist in t Abb. 02 dargestellt. q Fazit Dieser Beitrag unserer Risikomanagement- Serie hat kritische Aspekte, die bei der Modellierung von Kreditrisiken auf Portfolioebene berücksichtigt werden sollten, aufgezeigt und einen Überblick über verschiedene gängige Ansätze in Literatur und Praxis gegeben. Exemplarisch wurde innerhalb des CIID-Rahmens aufgezeigt, wie die Verteilung der für viele Bewertungen zentralen Größe – dem Portfolioverlustprozess – abgeleitet werden kann und welche Herausforderungen numerischer Natur auftreten. Zur Bestimmung der Verlustverteilung für unterschiedlich große Portfolios wurden einige Ansätze, darunter die Sattelpunktapproximationsmethode, vorgestellt. Quellenverzeichnis sowie weiterführende Literaturhinweise: Bank for International Settlement (1999): Principles for the Management of Credit Risk - consultative document. URL: http://www.bis.org/publ/bcbs54.htm, Accessed on February 4, 2015. Daniels, H. E. (1954): Saddlepoint approximations in statistics. The Annals of Mathematical Statistics, 25(4), pp. 631–650. Giesecke, K./Goldberg, L./Errais, E. (2010): Affine point processes and portfolio credit risk. SIAM Journal on Financial Mathematics, 1, pp. 642-665. Giesecke, K./Spiliopoulos, K./Sowers, R. (2013): Default clustering in large portfolios: typical events. The Annals of Applied Probability 23(1), pp. 348-385. Kant, B. (2013): Saddlepoint approximation in portfolio default models with conditionally independent and identically distributed (CIID) default times. Master’s thesis, Technische Universität München. Mai, J.-F./Scherer, M./Zagst, R. (2012): CIID frailty models and implied copulas. In: Copulae in Mathematical and Quantitative Finance, Proceedings of the Workshop Held in Cracow, 10-11 July 2012. Springer Verlag, pp. 201-230. Schönbucher, P. J. (2003): Credit Derivatives Pricing Models – Models, Pricing and Implementation. Wiley Finance. Die Autoren: Benjamin Kant ist Financial Engineer bei dem im Bereich Financial Services spezialisierten Beratungsunternehmen Finbridge. Sein akademischer Themenschwerpunkt liegt im Bereich der Kreditrisikomodellierung. Steffen Schenk ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Finanzmathematik der Technischen Universität München. Im Rahmen des KPMG Center of Excellence in Risk Management widmet er sich aktuellen Fragestellungen des modernen Risikomanagements. Wir bedanken uns herzlich bei der KPMG AG für das Sponsoring des KPMG Center of Excellence in Risk Management an der Technischen Universität München, über welches die Stelle von Steffen Schenk finanziert wird. Anzeige Fachbücher für Risikomanagement-Profis: Brennpunkt Risikomanagement und Regulierung Wilhelm Niehoff | Stefan Hirschmann (Hrsg.) Niehoff | Hirschmann (Hrsg.) Brennpunkt Risikomanagement und Regulierung ISBN 978-3-86556-438-2 Art.-Nr. 22.515-1500 360 Seiten, gebunden 69,00 Euro Handbuch ICAAP Henning Heuter | Andreas Igl (Hrsg.) Weitere Fachbücher in unserem Shop: www.bank-verlag-shop.de Heuter | Igl (Hrsg.) Handbuch ICAAP ISBN 978-3-86556-428-3 Art.-Nr. 22.511-1500 256 Seiten, gebunden ca. 59,00 Euro Bank-Verlag GmbH I Wendelinstraße 1 I 50933 Köln I Telefon: +49-221-5490-500 I E-Mail: medien@bank-verlag.de

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