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RISIKO MANAGER 05.2017

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20 RISIKO MANAGER 05|2017 nische Put-Optionen im Black-Scholes-Modell gemäß der Methode von Cox et al. (1979) bewerten. Mathematisch basiert dieses Verfahren auf Donskers Theorem, welches besagt, dass die (im Black-Scholes-Modell auftretende) Brownsche-Bewegung als Grenzprozess von deutlich einfacheren stochastischen Prozessen gesehen werden kann, welche zum Beispiel durch iterierte Münzwürfe motiviert sind. Mathematikbegeisterte Leser finden eine sehr schöne Quelle hierfür in Müller (2009). (b) In manchen Credit-Equity-Modellen ist es noch möglich, geschlossene Formeln für Ausfallwahrscheinlichkeiten und/ oder europäische Aktienoptionen zu berechnen. Dies ist aus mehreren Gründen sehr nützlich, auch wenn man bereits effiziente Algorithmen für die numerische Approximation der benötigten Preise zur Verfügung hat. Erstens ermöglicht es eine in der Regel deutlich schnellere Berechnungsmöglichkeit für Ausfallwahrscheinlichkeiten, welche es erlaubt, einfache Unternehmensanleihen (wir meinen damit solche ohne amerikanische Optionen) oder auch Credit Default Swaps in Bruchteilen von Sekunden zu bewerten. Insbesondere für die Kalibrierung eines Modells an Marktdaten ist diese Rechengeschwindigkeit enorm wichtig. Zweitens können die geschlossenen Formeln verwendet werden, um die numerischen Approximationstechniken für amerikanische Instrumente zu überprüfen. Dies ist als extrem vorteilig einzuschätzen, da die Implementierung der approximativen Methoden ungemein erleichtert wird, weil man sofort testen kann, ob man einen Fehler gemacht hat oder nicht. Mit anderen Worten, man erhält einfach deutlich schneller ein gutes Gefühl für die Mechanik des Modells. Drittens sind geschlossene Formeln sehr oft die Grundvoraussetzung, um theoretische Modelleigenschaften zu erforschen. Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unternehmen niemals zahlungsunfähig wird, welche manchmal geschlossen ausgerechnet werden kann. Interessant erscheint etwa die Frage, ob diese Wahrscheinlichkeit überhaupt von null verschieden sein kann. Auch statistische Eigenschaften der Aktienreturns lassen sich mitunter einfacher untersuchen, wenn man deren Wahrscheinlichkeitsverteilung genau kennt, was manchmal der Fall ist. 3 Das einfachste Jump-to-Default- Modell Das Modell, welches zum Beispiel in Tsiveriotis, Fernandes (1998) vorgeschlagen und in Kwok, Lau (2004) verwendet wird, ist das einfachste Credit-Equity-Modell und vielleicht auch deswegen so etwas wie „Marktstandard“, vornehmlich für die Bewertung von Wandelanleihen. Leider werden in diesem Modell die Aktien- und Credit-Komponenten vollständig entkoppelt, sodass viele der wünschenswerten Eigenschaften aus dem vorherigen Abschnitt verlorengehen. Daher betrachten wir eine leichte Erweiterung dieses Modells, welche einen Kurssprung der Aktie auf Null nach Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens nach sich zieht. Dieser Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit proximationstechniken für amerikanische Instrumente zu überprüfen. Dies ist als extrem vorteilig einzuschätzen, da die Implementierung der approximativen Methoden ungemein erleichtert wird, weil man sofort testen kann, ob man einen Fehler gemacht hat oder nicht. Mit anderen Worten, man erhält einfach deutlich schneller ein gutes Gefühl für die Mechanik des Modells. Drittens sind geschlossene Formeln sehr oft die Grundvoraussetzung, um theoretische Modelleigenschaften zu erforschen. Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unternehmen niemals zahlungsunfähig wird, welche manchmal geschlossen ausgerechnet werden kann. Interessant erscheint etwa die Frage, ob diese Wahrscheinlichkeit überhaupt von null verschieden sein kann. Auch statistische Eigenschaften der Aktienreturns lassen sich mitunter einfacher untersuchen, wenn man deren Wahrscheinlichkeitsverteilung genau kennt, was manchmal der Fall ist. to-default Modell Das Modell, welches zum Beispiel in Tsiveriotis, Fernandes (1998) vorgeschlagen und in Kwok, Lau (2004) verwendet wird, ist das einfachste Credit-Equity-Modell und vielleicht auch deswegen so etwas wie „Marktstandard“, vornehmlich für die Bewertung von Wandelanleihen. Leider werden in diesem Modell die Aktien- und Credit-Komponenten vollständig entkoppelt, so dass viele der wünschenswerten Eigenschaften aus dem vorherigen Abschnitt verlorengehen. Daher betrachten wir eine leichte Erweiterung dieses Modells, welche einen Kurssprung der Aktie auf Null nach Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens nach sich zieht. Dieser Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit τ des Unternehmens wird als Exponentialverteilung definiert. Das bedeutet, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zum (zukünftigen) Zeitpunkt t > 0 durch P(τ >t)=e −λt gegeben ist, für einen Modellparameter λ > 0, welcher als Ausfallintensität bezeichnet wird 1 . Die Exponentialverteilung ist in mehrerer Hinsicht eine angenehme Wahl. Unterstellt man zum Beispiel zusätzlich eine kontinuierliche Verzinsung und bezeichnet die Zero Rate für den Zeitraum 1 Diese Nomenklatur wird gerechtfertigt durch Formel (4), siehe unten. 4 des Unternehmens wird als Exponentialverteilung definiert. Das bedeutet, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zum (zukünftigen) Zeitpunkt proximationstechniken für amerikanische Instrumente zu überprüfen. Dies ist als extrem vorteilig einzuschätzen, da die Implementierung der approximativen Methoden ungemein erleichtert wird, weil man sofort testen kann, ob man einen Fehler gemacht hat oder nicht. Mit anderen Worten, man erhält einfach deutlich schneller ein gutes Gefühl für die Mechanik des Modells. Drittens sind geschlossene Formeln sehr oft die Grundvoraussetzung, um theoretische Modelleigenschaften zu erforschen. Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unternehmen niemals zahlungsunfähig wird, welche manchmal geschlossen ausgerechnet werden kann. Interessant erscheint etwa die Frage, ob diese Wahrscheinlichkeit überhaupt von null verschieden sein kann. Auch statistische Eigenschaften der Aktienreturns lassen sich mitunter einfacher untersuchen, wenn man deren Wahrscheinlichkeitsverteilung genau kennt, was manchmal der Fall ist. -default Modell Das Modell, welches zum Beispiel in Tsiveriotis, Fernandes (1998) vorgeschlagen und in Kwok, Lau (2004) verwendet wird, ist das einfachste Credit-Equity-Modell und vielleicht auch deswegen so etwas wie „Marktstandard“, vornehmlich für die Bewertung von Wandelanleihen. Leider werden in diesem Modell die Aktien- und Credit-Komponenten vollständig entkoppelt, so dass viele der wünschenswerten Eigenschaften aus dem vorherigen Abschnitt verlorengehen. Daher betrachten wir eine leichte Erweiterung dieses Modells, welche einen Kurssprung der Aktie auf Null nach Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens nach sich zieht. Dieser Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit τ des Unternehmens wird als Exponentialverteilung definiert. Das bedeutet, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zum (zukünftigen) Zeitpunkt t > 0 durch P(τ >t)=e −λt gegeben ist, für einen Modellparameter λ > 0, welcher als Ausfallintensität bezeichnet wird 1 . Die Exponentialverteilung ist in mehrerer Hinsicht eine angenehme Wahl. Unterstellt man zum Beispiel zusätzlich eine kontinuierliche Verzinsung und bezeichnet die Zero Rate für den Zeitraum 1 Diese Nomenklatur wird gerechtfertigt durch Formel (4), siehe unten. 4 durch proximationstechniken für amerikanische Instrumente zu überprüfen. Dies ist als extrem vorteilig einzuschätzen, da die Implementierung der approximativen Methoden ungemein erleichtert wird, weil man sofort testen kann, ob man einen Fehler gemacht hat oder nicht. Mit anderen Worten, man erhält einfach deutlich schneller ein gutes Gefühl für die Mechanik des Modells. Drittens sind geschlossene Formeln sehr oft die Grundvoraussetzung, um theoretische Modelleigenschaften zu erforschen. Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unternehmen niemals zahlungsunfähig wird, welche manchmal geschlossen ausgerechnet werden kann. Interessant erscheint etwa die Frage, ob diese Wahrscheinlichkeit überhaupt von null verschieden sein kann. Auch statistische Eigenschaften der Aktienreturns lassen sich mitunter einfacher untersuchen, wenn man deren Wahrscheinlichkeitsverteilung genau kennt, was manchmal der Fall ist. 3 Das einfachste jump-to-default Modell Das Modell, welches zum Beispiel in Tsiveriotis, Fernandes (1998) vorgeschlagen und in Kwok, Lau (2004) verwendet wird, ist das einfachste Credit-Equity-Modell und vielleicht auch deswegen so etwas wie „Marktstandard“, vornehmlich für die Bewertung von Wandelanleihen. Leider werden in diesem Modell die Aktien- und Credit-Komponenten vollständig entkoppelt, so dass viele der wünschenswerten Eigenschaften aus dem vorherigen Abschnitt verlorengehen. Daher betrachten wir eine leichte Erweiterung dieses Modells, welche einen Kurssprung der Aktie auf Null nach Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens nach sich zieht. Dieser Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit τ des Unternehmens wird als Exponentialverteilung definiert. Das bedeutet, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zum (zukünftigen) Zeitpunkt t > 0 durch P(τ >t)=e −λt gegeben ist, für einen Modellparameter λ > 0, welcher als Ausfallintensität bezeichnet wird 1 . Die Exponentialverteilung ist in mehrerer Hinsicht eine angenehme Wahl. Unterstellt man zum Beispiel zusätzlich eine kontinuierliche Verzinsung und bezeichnet die Zero Rate für den Zeitraum 1 Diese Nomenklatur wird gerechtfertigt durch Formel (4), siehe unten. 4 gegeben ist, für einen Modellparameter proximationstechniken für amerikanische Instrumente zu überprüfen. Dies ist als extrem vorteilig einzuschätzen, da die Implementierung der approximativen Methoden ungemein erleichtert wird, weil man sofort testen kann, ob man einen Fehler gemacht hat oder nicht. Mit anderen Worten, man erhält einfach deutlich schneller ein gutes Gefühl für die Mechanik des Modells. Drittens sind geschlossene Formeln sehr oft die Grundvoraussetzung, um theoretische Modelleigenschaften zu erforschen. Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unternehmen niemals zahlungsunfähig wird, welche manchmal geschlossen ausgerechnet werden kann. Interessant erscheint etwa die Frage, ob diese Wahrscheinlichkeit überhaupt von null verschieden sein kann. Auch statistische Eigenschaften der Aktienreturns lassen sich mitunter einfacher untersuchen, wenn man deren Wahrscheinlichkeitsverteilung genau kennt, was manchmal der Fall ist. 3 Das einfachste jump-to-default Modell Das Modell, welches zum Beispiel in Tsiveriotis, Fernandes (1998) vorgeschlagen und in Kwok, Lau (2004) verwendet wird, ist das einfachste Credit-Equity-Modell und vielleicht auch deswegen so etwas wie „Marktstandard“, vornehmlich für die Bewertung von Wandelanleihen. Leider werden in diesem Modell die Aktien- und Credit-Komponenten vollständig entkoppelt, so dass viele der wünschenswerten Eigenschaften aus dem vorherigen Abschnitt verlorengehen. Daher betrachten wir eine leichte Erweiterung dieses Modells, welche einen Kurssprung der Aktie auf Null nach Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens nach sich zieht. Dieser Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit τ des Unternehmens wird als Exponentialverteilung definiert. Das bedeutet, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zum (zukünftigen) Zeitpunkt t > 0 durch P(τ >t)=e −λt gegeben ist, für einen Modellparameter λ > 0, welcher als Ausfallintensität bezeichnet wird 1 . Die Exponentialverteilung ist in mehrerer Hinsicht eine angenehme Wahl. Unterstellt man zum Beispiel zusätzlich eine kontinuierliche Verzinsung und bezeichnet die Zero Rate für den Zeitraum 1 Diese Nomenklatur wird gerechtfertigt durch Formel (4), siehe unten. 4 , welcher als Ausfallintensität bezeichnet wird. 1 Die Exponentialverteilung ist in mehrerer Hinsicht eine angenehme Wahl. Unterstellt man zum Beispiel zusätzlich eine kontinuierliche Verzinsung und bezeichnet die Zero Rate für den Zeitraum von heute bis zum zukünftigen Zeitpunkt t mit R(t), so ist der Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e –R(t)t , sodass insgesamt (das heißt mit Zins und Überlebenswahrscheinlichkeit) ein Cashflow des Unternehmens am Zeitpunkt schlossene Formeln für Ausfallwahrscheinlichkeiten und/ oder europäische Aktienoptionen zu berechnen. Dies ist aus mehreren Gründen sehr nützlich, auch wenn man bereits effiziente Algorithmen für die numerische Approximation der benötigten Preise zur Verfügung hat. Erstens ermöglicht es eine in der Regel deutlich schnellere Berechnungsmöglichkeit für Ausfallwahrscheinlichkeiten, welche es erlaubt, einfache Unternehmensanleihen (wir meinen damit solche ohne amerikanische Optionen) oder auch Credit Default Swaps in Bruchteilen von Sekunden zu bewerten. Insbesondere für die Kalibrierung eines Modells an Marktdaten ist diese Rechengeschwindigkeit enorm wichtig. Zweitens können die geschlossenen Formeln verwendet werden, um die numerischen Approximationstechniken für amerikanische Instrumente zu überprüfen. Dies ist als extrem vorteilig einzuschätzen, da die Implementierung der approximativen Methoden ungemein erleichtert wird, weil man sofort testen kann, ob man einen Fehler gemacht hat oder nicht. Mit anderen Worten, man erhält einfach deutlich schneller ein gutes Gefühl für die Mechanik des Modells. Drittens sind geschlossene Formeln sehr oft die Grundvoraussetzung, um theoretische Modelleigenschaften zu erforschen. Ein Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unternehmen niemals zahlungsunfähig wird, welche manchmal geschlossen ausgerechnet werden kann. Interessant erscheint etwa die Frage, ob diese Wahrscheinlichkeit überhaupt von null verschieden sein kann. Auch statistische Eigenschaften der Aktienreturns lassen sich mitunter einfacher untersuchen, wenn man deren Wahrscheinlichkeitsverteilung genau kennt, was manchmal der Fall ist. ault dell Das Modell, welches zum Beispiel in Tsiveriotis, Fernandes (1998) vorgeschlagen und in Kwok, Lau (2004) verwendet wird, ist das einfachste Credit-Equity-Modell und vielleicht auch deswegen so etwas wie „Marktstandard“, vornehmlich für die Bewertung von Wandelanleihen. Leider werden in diesem Modell die Aktien- und Credit-Komponenten vollständig entkoppelt, so dass viele der wünschenswerten Eigenschaften aus dem vorherigen Abschnitt verlorengehen. Daher betrachten wir eine leichte Erweiterung dieses Modells, welche einen Kurssprung der Aktie auf Null nach Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens nach sich zieht. Dieser Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit τ des Unternehmens wird als Exponentialverteilung definiert. Das bedeutet, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit bis zum (zukünftigen) Zeitpunkt t > 0 durch P(τ >t)=e −λt gegeben ist, für einen Modellparameter λ > 0, welcher als Ausfallintensität bezeichnet wird 1 . Die Exponentialverteilung ist in mehrerer Hinsicht eine angenehme Wahl. Unterstellt man zum Beispiel zusätzlich eine kontinuierliche Verzinsung und bezeichnet die Zero Rate für den Zeitraum 1 Diese Nomenklatur wird gerechtfertigt durch Formel (4), siehe unten. 4 mit dem Faktor von heute bis zum zukünftigen Zeitpunkt t mit R(t), so ist der Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e −R(t) t , so dass insgesamt (das heißt mit Zins und Überlebenswahrscheinlichkeit) ein Cashflow des Unternehmens am Zeitpunkt t > 0 mit dem Faktor e −(λ+R(t)) t diskontiert werden muss. Das bedeutet, dass die sogenannte Ausfallintensität λ als Zinsaufschlag auf die risikofreie Zinskurve t ↦→R(t) erachtet werden kann. Außerdem hat die Exponentialverteilung die schöne Eigenschaft, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit für zwei Jahre dem Quadrat der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeit entspricht. Folglich kommt das Unternehmen nicht mehr oder weniger wahrscheinlich in Zahlungsnöte, wenn es das erste Jahr überlebt. Dies erlaubt es, die Exponentialverteilung „stückweise“ aufzufassen. Allerdings gibt es auch viele Kritikpunkte an der Verwendung der Exponentialverteilung. Erstens kann es unter Umstän- Exponentialverteilung hat sehr schöne, athematische Eigenschaften, allerdings einfacht sie die Realität häufig zu stark. den sinnvoll sein, anzunehmen, dass ein Unternehmen auf kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich die Überlebenswahrscheinlichkeit deutlich erhöht, wenn es das nächste Jahr überleben sollte. Solche Effekte weichen von der Exponentialverteilungsannahme ab, sie können allerdings durch diskontiert werden muss. Das bedeutet, dass die sogenannte Ausfallintensität von heute bis zum zukünftigen Zeitpunkt t mit R(t), so ist der Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e −R(t) t , so dass insgesamt (das heißt mit Zins und Überlebenswahrscheinlichkeit) ein Cashflow des Unternehmens am Zeitpunkt t > 0 mit dem Faktor e −(λ+R(t)) t diskontiert werden muss. Das bedeutet, dass die sogenannte Ausfallintensität λ als Zinsaufschlag auf die risikofreie Zinskurve t ↦→R(t) erachtet werden kann. Außerdem hat die Exponentialverteilung die schöne Eigenschaft, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit für zwei Jahre dem Quadrat der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeit entspricht. Folglich kommt das Unternehmen nicht mehr oder weniger wahrscheinlich in Zahlungsnöte, wenn es das erste Jahr überlebt. Dies erlaubt es, die Exponentialverteilung „stückweise“ aufzufassen. Allerdings gibt es auch viele Kritikpunkte an der Verwendung der Exponentialverteilung. Erstens kann es unter Umstänng hat sehr schöne, nschaften, allerdings alität häufig zu stark. den sinnvoll sein, anzunehmen, dass ein Unternehmen auf kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich die Überlebenswahrscheinlichkeit deutlich erhöht, wenn es das nächste Jahr überleben sollte. Solche Effekte weichen von der als Zinsaufschlag auf die risikofreie Zinskurve von heute bis zum zukünftigen Zeitpunkt t mit R(t), so ist der Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e −R(t) t , so dass insgesamt (das heißt mit Zins und Überlebenswahrscheinlichkeit) ein Cashflow des Unternehmens am Zeitpunkt t > 0 mit dem Faktor e −(λ+R(t)) t diskontiert werden muss. Das bedeutet, dass die sogenannte Ausfallintensität λ als Zinsaufschlag auf die risikofreie Zinskurve t ↦→R(t) erachtet werden kann. Außerdem hat die Exponentialverteilung die schöne Eigenschaft, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit für zwei Jahre dem Quadrat der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeit entspricht. Folglich kommt das Unternehmen nicht mehr oder weniger wahrscheinlich in Zahlungsnöte, wenn es das erste Jahr überlebt. Dies erlaubt es, die Exponentialverteilung „stückweise“ aufzufassen. Allerdings gibt es auch viele Kritikpunkte an der Verwendung der Exponentialverteilung. Erstens kann es unter Umstän- Die Exponentialverteilung hat sehr schöne, mathematische Eigenschaften, allerdings vereinfacht sie die Realität häufig zu stark. den sinnvoll sein, anzunehmen, dass ein Unternehmen auf kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich die Überlebenswahrscheinlichkeit deutlich erhöht, wenn es das nächste Jahr überleben sollte. Solche Effekte weichen von der erachtet werden kann. Außerdem hat die Exponentialverteilung die schöne Eigenschaft, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit für zwei Jahre dem Quadrat der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeit entspricht. Folglich kommt das Unternehmen nicht mehr oder weniger wahrscheinlich in Zahlungsnöte, wenn es das erste Jahr überlebt. Dies erlaubt es, die Exponentialverteilung „stückweise“ aufzufassen. Allerdings gibt es auch viele Kritikpunkte an der Verwen- dung der Exponentialverteilung. Erstens kann es unter Umständen sinnvoll sein, anzunehmen, dass ein Unternehmen auf kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich die Überlebenswahrscheinlichkeit deutlich erhöht, wenn es das nächste Jahr überleben sollte. Solche Effekte weichen von der Exponentialverteilungsannahme ab, sie können allerdings durch eine einfache Modellerweiterung ausgemerzt werden, indem die konstante Ausfallintensität von heute bis zum zukünftigen Zeitpunkt t mit R(t), so ist der Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e −R(t) t , so dass insgesamt (das heißt mit Zins und Überlebenswahrscheinlichkeit) ein Cashflow des Unternehmens am Zeitpunkt t > 0 mit dem Faktor e −(λ+R(t)) t diskontiert werden muss. Das bedeutet, dass die sogenannte Ausfallintensität λ als Zinsaufschlag auf die risikofreie Zinskurve t ↦→R(t) erachtet werden kann. Außerdem hat die Exponentialverteilung die schöne Eigenschaft, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit für zwei Jahre dem Quadrat der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeit entspricht. Folglich kommt das Unternehmen nicht mehr oder weniger wahrscheinlich in Zahlungsnöte, wenn es das erste Jahr überlebt. Dies erlaubt es, die Exponentialverteilung „stückweise“ aufzufassen. Allerdings gibt es auch viele Kritikpunkte an der Verwendung der Exponentialverteilung. Erstens kann es unter Umstän- Die Exponentialverteilung hat sehr schöne, mathematische Eigenschaften, allerdings vereinfacht sie die Realität häufig zu stark. den sinnvoll sein, anzunehmen, dass ein Unternehmen auf kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich die Überlebenswahrscheinlichkeit deutlich erhöht, wenn es das nächste Jahr überleben sollte. Solche Effekte weichen von der Exponentialverteilungsannahme ab, sie können allerdings durch eine einfache Modellerweiterung ausgemerzt werden, indem die konstante Ausfallintensität λ durch eine (deterministische) Funktion in der Zeit λ(t) ersetzt wird. Zweitens impliziert die Annahme einer konstanten (oder allgemeiner deterministischen) Ausfallintensität, dass der Modellpreis einer gewöhnlichen Anleihe über die Zeit eine glatte Funktion darstellt, welche vom aktuellen Kurswert bis zum Wert am Laufzeitende monoton verläuft 2 . Im Gegensatz dazu beobachten wir aber an den Finanzmärkten Kursentwicklungen, welche täglichen Schwankungen unterworfen sind und eher „Zitterkurven“ gleichen. Drittens schlägt sich ein negativer Verlauf des Aktienkurses nicht in einer Erhöhung der Ausfallintensität nieder, welche ja stets konstant (bzw. deterministisch) bleibt. Dies führt uns unmittelbar zu der Modellierung des Aktienkurses. Die Idee des einfachen jump-to-default Modells ist es, dass die Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt τ der Zahlungsunfähigkeit auf null springt, einem Black-Scholes-Modell gleicht. Allerdings ist dies so nicht direkt zulässig, da der Kursprung auf null bei Ausfall die notwendige Martingaleigenschaft des Aktienkurses im Black- Scholes-Modell zerstört. Um dies zu erläutern sei aus der klassischen Finanzmarkttheorie in Erinnerung gerufen, dass der zinsdiskontierte Aktienkurs unter dem für die Bewertung relevanten risikofreien Wahrscheinlichkeitsmaß ein sogenanntes Martingal sein muss. Mit einfachen Worten, der zufällige Aktienkurs muss in dem Sinne risikobereinigt modelliert sein, dass er erwartungsdurch eine (deterministische) Funktion in der Zeit lichkeit) ein Cashflow des Unterne mit dem Faktor e −(λ+R(t)) t diskonti tet, dass die sogenannte Ausfallinte die risikofreie Zinskurve t ↦→R(t) e dem hat die Exponentialverteilung die Überlebenswahrscheinlichkeit der einjährigen Überlebenswahrsc lich kommt das Unternehmen nic scheinlich in Zahlungsnöte, wenn Dies erlaubt es, die Exponentialve fassen. Allerdings gibt es auch viele dung der Exponentialverteilung. Er Die Exponentialverteilung hat sehr schöne, mathematische Eigenschaften, allerdings vereinfacht sie die Realität häufig zu stark. den sinnvoll sein, anzunehmen, da ze Sicht mit hoher Wahrscheinlich die Überlebenswahrscheinlichkeit d nächste Jahr überleben sollte. Sol Exponentialverteilungsannahme ab eine einfache Modellerweiterung au konstante Ausfallintensität λ durch tion in der Zeit λ(t) ersetzt wird. Z me einer konstanten (oder allgeme fallintensität, dass der Modellpreis über die Zeit eine glatte Funktion len Kurswert bis zum Wert am Lau Im Gegensatz dazu beobachten wi Kursentwicklungen, welche täglich fen sind und eher „Zitterkurven“ gl ein negativer Verlauf des Aktienku der Ausfallintensität nieder, welche ministisch) bleibt. Dies führt uns unmittelbar zu der M Die Idee des einfachen jump-to-de Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt τ de springt, einem Black-Scholes-Mod so nicht direkt zulässig, da der K die notwendige Martingaleigenscha Scholes-Modell zerstört. Um dies z schen Finanzmarkttheorie in Erinne diskontierte Aktienkurs unter dem risikofreien Wahrscheinlichkeitsma sein muss. Mit einfachen Worten, d in dem Sinne risikobereinigt modell gemäß denselben Return liefert wi Marktzins. Im Black-Scholes-Mode tienkursprozess durch S t = S 0 e − {W t } eine Brownsche Bewegung b tilitätsparameter ist. Dieser zinsdis enkursprozess {S t } ist ein Martinga 2 Dies gilt für „clean“ Preise, „dirty“ Preis punkten Sprünge auf, welche insgesam verlauf führen. ersetzt wird. Zweitens impliziert die Annahme einer konstanten (oder allgemeiner deterministischen) Ausfallintensität, dass der Modellpreis einer gewöhnlichen Anleihe über die Zeit eine glatte Funktion darstellt, welche vom aktuellen Kurswert bis zum Nominalwert am Laufzeitende verläuft. 2 Im Gegensatz dazu beobachten wir aber an den Finanzmärkten Kursentwicklungen, welche täglichen Schwankungen unterworfen sind und eher „Zitterkurven“ gleichen. Drittens schlägt sich ein negativer Verlauf des Aktienkurses nicht in einer Erhöhung der Ausfallintensität nieder, welche ja stets konstant (bzw. deterministisch) bleibt. Dies führt uns unmittelbar zu der Modellierung des Aktienkurses. Die Idee des einfachen Jump-to-Default-Modells ist es, dass die Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt tigten Preise zur Verfügung hat. Erstens e in der Regel deutlich schnellere Berechnu Ausfallwahrscheinlichkeiten, welche es erl ternehmensanleihen (wir meinen damit sol nische Optionen) oder auch Credit Defaul teilen von Sekunden zu bewerten. Insbes librierung eines Modells an Marktdaten ist schwindigkeit enorm wichtig. Zweitens kön senen Formeln verwendet werden, um die proximationstechniken für amerikanische In prüfen. Dies ist als extrem vorteilig einzusc plementierung der approximativen Metho leichtert wird, weil man sofort testen kann, ler gemacht hat oder nicht. Mit anderen W einfach deutlich schneller ein gutes Gefüh des Modells. Drittens sind geschlossene F Grundvoraussetzung, um theoretische Mo zu erforschen. Ein Beispiel ist die Wahrsc dass das Unternehmen niemals zahlungs che manchmal geschlossen ausgerechne teressant erscheint etwa die Frage, ob d lichkeit überhaupt von null verschieden se tistische Eigenschaften der Aktienreturns ter einfacher untersuchen, wenn man dere keitsverteilung genau kennt, was manchm 3 Das einfachste jump-to-default Modell Das Modell, welches zum Beispiel in Tsiveriotis vorgeschlagen und in Kwok, Lau (2004) verw einfachste Credit-Equity-Modell und vielleicht etwas wie „Marktstandard“, vornehmlich für d Wandelanleihen. Leider werden in diesem Mod Credit-Komponenten vollständig entkoppelt, wünschenswerten Eigenschaften aus dem vo verlorengehen. Daher betrachten wir eine le dieses Modells, welche einen Kurssprung der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens nach Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit τ des Unte Exponentialverteilung definiert. Das bedeutet benswahrscheinlichkeit bis zum (zukünftigen durch P(τ >t)=e −λt gegeben ist, für ein ter λ > 0, welcher als Ausfallintensität bez Exponentialverteilung ist in mehrerer Hinsich Wahl. Unterstellt man zum Beispiel zusätzlich che Verzinsung und bezeichnet die Zero Rate 1 Diese Nomenklatur wird gerechtfertigt durch Formel ( der Zahlungsunfähigkeit auf null springt, einem Black-Scholes-Modell gleicht. Allerdings ist dies so nicht direkt zulässig, da der Kursprung auf null bei Ausfall die notwendige Martingaleigenschaft des Aktienkurses im Black-Scholes-Modell zerstört. Um dies zu erläutern sei aus der klassischen Finanzmarkttheorie in Erinnerung gerufen, dass der zinsdiskontierte Aktienkurs unter dem für die Bewertung relevanten risikofreien Wahrscheinlichkeitsmaß ein sogenanntes Martingal sein muss. Mit einfachen Worten, der zufällige Aktienkurs muss in dem Sinn risikobereinigt modelliert sein, dass er erwartungsgemäß denselben Return liefert wie eine risikofreie Anlage zum Marktzins. Im Black-Scholes-Modell ist der zinsdiskontierte Aktienkursprozess durch von heute bis zum zukünftigen Zeitpunkt t mit R(t), so ist d Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e −R(t) t , dass insgesamt (das heißt mit Zins und Überlebenswahrsche lichkeit) ein Cashflow des Unternehmens am Zeitpunkt t > mit dem Faktor e −(λ+R(t)) t diskontiert werden muss. Das bede tet, dass die sogenannte Ausfallintensität λ als Zinsaufschlag a die risikofreie Zinskurve t ↦→R(t) erachtet werden kann. Auße dem hat die Exponentialverteilung die schöne Eigenschaft, da die Überlebenswahrscheinlichkeit für zwei Jahre dem Quad der einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeit entspricht. 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Zweitens impliziert die Anna me einer konstanten (oder allgemeiner deterministischen) Au fallintensität, dass der Modellpreis einer gewöhnlichen Anlei über die Zeit eine glatte Funktion darstellt, welche vom aktu len Kurswert bis zum Wert am Laufzeitende monoton verläuf Im Gegensatz dazu beobachten wir aber an den Finanzmärkt Kursentwicklungen, welche täglichen Schwankungen unterwo fen sind und eher „Zitterkurven“ gleichen. Drittens schlägt si ein negativer Verlauf des Aktienkurses nicht in einer Erhöhu der Ausfallintensität nieder, welche ja stets konstant (bzw. dete ministisch) bleibt. Dies führt uns unmittelbar zu der Modellierung des Aktienkurse Die Idee des einfachen jump-to-default Modells ist es, dass d Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt τ der Zahlungsunfähigkeit auf n springt, einem Black-Scholes-Modell gleicht. Allerdings ist di so nicht direkt zulässig, da der Kursprung auf null bei Ausf die notwendige Martingaleigenschaft des Aktienkurses im Blac Scholes-Modell zerstört. Um dies zu erläutern sei aus der klas schen Finanzmarkttheorie in Erinnerung gerufen, dass der zin diskontierte Aktienkurs unter dem für die Bewertung relevant risikofreien Wahrscheinlichkeitsmaß ein sogenanntes Marting sein muss. Mit einfachen Worten, der zufällige Aktienkurs mu in dem Sinne risikobereinigt modelliert sein, dass er erwartung gemäß denselben Return liefert wie eine risikofreie Anlage zu Marktzins. Im Black-Scholes-Modell ist der zinsdiskontierte A tienkursprozess durch S t = S 0 e −0.5 σ2 t+σW t gegeben, wob {W t } eine Brownsche Bewegung bezeichnet und σ>0 ein Vo tilitätsparameter ist. 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Dies erlaubt es, die Exponentialverteilung „stückweise“ aufzufassen. Allerdings gibt es auch viele Kritikpunkte an der Verwendung der Exponentialverteilung. Erstens kann es unter Umstän- Die Exponentialverteilung hat sehr schöne, mathematische Eigenschaften, allerdings vereinfacht sie die Realität häufig zu stark. den sinnvoll sein, anzunehmen, dass ein Unternehmen auf kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich die Überlebenswahrscheinlichkeit deutlich erhöht, wenn es das nächste Jahr überleben sollte. Solche Effekte weichen von der Exponentialverteilungsannahme ab, sie können allerdings durch eine einfache Modellerweiterung ausgemerzt werden, indem die konstante Ausfallintensität λ durch eine (deterministische) Funktion in der Zeit λ(t) ersetzt wird. Zweitens impliziert die Annahme einer konstanten (oder allgemeiner deterministischen) Ausfallintensität, dass der Modellpreis einer gewöhnlichen Anleihe über die Zeit eine glatte Funktion darstellt, welche vom aktuellen Kurswert bis zum Wert am Laufzeitende monoton verläuft 2 . Im Gegensatz dazu beobachten wir aber an den Finanzmärkten Kursentwicklungen, welche täglichen Schwankungen unterworfen sind und eher „Zitterkurven“ gleichen. Drittens schlägt sich ein negativer Verlauf des Aktienkurses nicht in einer Erhöhung der Ausfallintensität nieder, welche ja stets konstant (bzw. deterministisch) bleibt. Dies führt uns unmittelbar zu der Modellierung des Aktienkurses. Die Idee des einfachen jump-to-default Modells ist es, dass die Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt τ der Zahlungsunfähigkeit auf null springt, einem Black-Scholes-Modell gleicht. Allerdings ist dies so nicht direkt zulässig, da der Kursprung auf null bei Ausfall die notwendige Martingaleigenschaft des Aktienkurses im Black- Scholes-Modell zerstört. Um dies zu erläutern sei aus der klassischen Finanzmarkttheorie in Erinnerung gerufen, dass der zinsdiskontierte Aktienkurs unter dem für die Bewertung relevanten risikofreien Wahrscheinlichkeitsmaß ein sogenanntes Martingal sein muss. Mit einfachen Worten, der zufällige Aktienkurs muss in dem Sinne risikobereinigt modelliert sein, dass er erwartungsgemäß denselben Return liefert wie eine risikofreie Anlage zum Marktzins. Im Black-Scholes-Modell ist der zinsdiskontierte Aktienkursprozess durch S t = S 0 e −0.5 σ2 t+σW t gegeben, wobei {W t } eine Brownsche Bewegung bezeichnet und σ>0 ein Volatilitätsparameter ist. Dieser zinsdiskontierte, stochastische Aktienkursprozess {S t } ist ein Martingal, zum Beispiel gilt für dessen ein Volatili-

erwendet springt, proximationstechniken wird, einem ist das Black-Scholes-Modell Aktie, bevor für amerikanische sie zumgleicht. Zeitpunkt Instrumente Allerdings τ der Zahlungsunfähigkeit ist zudies überprüfen. auf null chen, wenn man deren risikofreien Wahrscheinlichkennt, was manchmal Wahrscheinlichkeitsmaß ein sogenanntes Martingal ht auch so nicht deswegen direkt Dies so zulässig, ist Exponentialverteilungsannahme springt, als extrem daeinem der vorteilig Kursprung Black-Scholes-Modell einzuschätzen, auf null ab, sie bei dakönnen gleicht. Ausfall die Im-allerdingplementierung Allerdings durch ist dies Marktrisiko sein dermuss. Fall ist. Mit einfachen Worten, der zufällige Aktienkurs muss ür die die Bewertung notwendige von Martingaleigenschaft eine der so einfache nicht approximativen direkt Modellerweiterung zulässig, desMethoden Aktienkurses da der ausgemerzt ungemein Kursprung im Black- erleichtert werden, auf null indem bei Ausfall die in dem Sinne risikobereinigt modelliert sein, dass er erwartungsgemäß denselben Return liefert wie eine risikofreie Anlage zum 21 Modell Scholes-Modell die Aktienwird, und zerstört. konstante weil dieman notwendige Umsofort Ausfallintensität diestesten zuMartingaleigenschaft erläutern kann, λ durch ob seiman aus eine der einen (deterministische) des klassischen FehlerinFinanzmarkttheorie gemacht Tsiveriotis, Aktienkurses im Funktion Black- Beispiel lt, so dass viele der hat Scholes-Modell Fernandes oder der nicht. inZeit Erinnerung (1998) Mit λ(t) zerstört. anderen ersetzt gerufen, Um wird. Worten, dies dass Zweitens zu man der erläutern erhält zinsdiskontierte Lau einfach (2004) impliziert sei aus die der Annahme klassischen schneller einer unter wird, Finanzmarkttheorie ok, Marktzins. Im Black-Scholes-Modell ist der zinsdiskontierte Aktienkursprozess durch S t = S 0 e −0.5 relevanten Mechanik deterministischen) vorherigen Abschnitt deutlich Aktienkurs verwendet konstanten ist dem eindas gutes für die (oder Gefühl Bewertung allgemeiner infür Erinnerung die gerufen, dass der Ausfallintensität, Drittens auch diskontierte deswegen sind dass geschlossene Aktienkurs soder einModellpreis sogenanntes unter Formeln dem zins- σ2 t+σW Modell t gegeben, wobei e leichte risikofreien und des vielleicht Erweiterung Modells. Wahrscheinlichkeitsmaß einer sehr für Martingal die oft gewöhnlichen Bewertung die relevanten Anleihe rd“, {W t } eine Brownsche Bewegung bezeichnet und σ>0 ein Volatilitätsparameter Dieser zinsdiskontierte, ist. Dieser zinsdiskontierte, stochastische Akti- er Aktie sein vornehmlich Grundvoraussetzung, muss. auf Null Mit für nach einfachen über dierisikofreien Bewertung Worten, Zeit um theoretische eine Wahrscheinlichkeitsmaß von der glatte zufällige Funktion Modelleigenschaften Aktienkurs darstellt, einmuss sogenanntes welche vom aktuellenEin sein von heute bis zumMartingal zukünftigen werden tätsparameter ist. ach in sich dem in zudiesem stochastische zieht. erforschen. Sinne Dieser risikobereinigt Modell Kurswert dieBeispiel muss. Aktien- modelliert bis Mit und ist zum einfachen die sein, Wert Wahrscheinlichkeit dass am Worten, Laufzeitende er erwartungsgemäß dass entkoppelt, denselben das der zufällige dafür, monoton Aktienkurs verläuft muss 2 Zeitpunkt t mit R(t), so ist der (c) Für die Bewertung von Optionen mit . zierte Preisentwicklung der Anleihe über Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben durch e Aktienkursprozess {S t } −R(t) t , so llständig ist ein Martingal, zum Beispiel gilt für dessen nternehmens ein Martingal, wird Unternehmen Imso als Return in Gegensatz dass dem liefert Sinne viele niemals dazu wie der risikobereinigt eine beobachten zahlungsunfähig risikofreie amerikanischer modelliert wirAnlage aber wird, Ausübung sein, anzum welche aus denmuss dass Finanzmärkten man letzt- Return der zinsdiskontierte täglichen genauso wie die Zeit eine glatte Funktion ergibt, er erwartungsgemäß geschlossen Abschnitt denselben ausgerechnet ist welchelich 3 was schaften zum Beispiel gilt für dessen utet, Marktzins. dass Erwartungswert die manchmal dem Überleen) Im Black-Scholes-Modell vorherigen Kursentwicklungen, Ausfallintensität dass insgesamt liefert werden wie Schwankungen im Black-Scholes-Modell zu unterstellen. (das heißt mit Zins und Überlebenswahrscheinlichkeit) manein nun kann. eine Aktienkursprozess risikofreie Interessant wir eine unterworfen durch nicht im Einklang mit den am Markt beobachteten Unternehmens Wie Anlage zum etrachten 2 Dies E[S t gilt ]=S für 0 „clean“ , unabhängig unabhängig dass von t die > Preise, „dirty“ von Preise t>0. weisen Man fordert Couponzahlungszeitpunkten fordert Zeitpunkt nun, erscheint leichte Ausfallzeit 0. Man Marktzins. sind SErweiterung etwa und t = Sprünge unabhängig nun, Seher die Im 0 e dass Black-Scholes-Modell −0.5 Frage, „Zitterkurven“ auf, die σ2 t+σW eine Brownsche-Bewegung ob diese t gegeben, gleichen. Wahrscheinlichkeit } eine Brownsche von überhaupt der t>0. ein Aktie negativer Man Bewegung von auf Null null fordert Verlauf verschieden nach bezeichnet des Aktienkurses sein undkann. σ>0sches Auch ein nicht Modell Vola- sta- inbenötigt, einer istwobei der Drittens mit Cashflow die Bewertung von zinsdiskontierte schlägt determinis-desAnleihen der insgesamt Brownschen Drift zu einemBewe- sägezahnartigen Kurs- sich und Aktienoptionen desselben Unternehmens „zittrigen“ am Kursverläufen Zeitpunkt steht. t > 0 Aktienkursprozess welche vontischem einen Modellparamebezeichnegung Ausfallzeit {W t } ist. unabhängig Angenommen verlauf von führen. der Brownschen-Bewegung von durch S Prozess t = {S S t } 0 e am −0.5 diskretisieren. mit dem Faktor Dies ekann −(λ+R(t)) einem exakt auf dieselbe tet, Weise dass vollzogen die τ sogenannte werden wie Ausfallintensität λ als konstant Zinsaufschlag (beziehungs- auf t gemeinsamen Modell konsistent unter einen Hut bringen? DafürDies diskontiert wird ein liegt mathemati- schlichtweg werden muss. daran, Das dass bedeu- die inen , unabhängig {WKurssprung Zeitpunkt σ2 t+σW t t gegeben, welches Erhöhung sowohl wobei den Aktienkurs als auch abhängig Unternehmens tilitätsparameter tistische springt wird der auf 1 nach Eigenschaften . Brownschen der null Die ist. sich {WDieser Ausfallintensität zieht. und bleibt t } ist. eine Beween der Prozess Angenommen zinsdiskontierte, der Dieser Brownsche Aktienreturns nieder, Bewegung welche stochastische lassenja bezeichnet sich stets die Ausfallzeit mitunter Prozess τ Aktienkursprozess konstant des Unternehmens und σ>0 (bzw. ein deterministisch) untersuchen, t am } ist am Zeitpunkt ein Martingal, bleibt. wird wenn τals springt man zum Beispiel deren getan und Wahrscheinlich- gilt zum für manchmal Beispiel dessen einem Cox mathematisch et al. (1979); sehr aufwendigen erklärt, ein sogenanntes Credites im klassischen Volatilitätsparameter ist. Dieser zinsdiskontierte, stochastische Akti- danach dort, dann wird fürEquity-Modell. die einen risikofreie Black-Scholes-Modell beliebigen angenehme Es ist wenig Zinskurve überraschend, t5 ↦→R(t) weise dass dieserachtet Modelle deterministisch) werden ist. kann. Außerdem inshat Modell die Exponentialverteilung (c) Der Punkt Gewand nfähigkeit icht der eine einfacher des Unternehmens {S {S Zeitpunkt t } t>0 eine positive Wahrscheinlichkeit die (a) schöne ist nicht Eigenschaft, nur aus theoretischer Sicht dass zlich anach finiert. eine dort, keitsverteilung Das auf eingebaut, kontinuierliate 2 Dies gilt für „clean“ Preise, „dirty“ Preise weisen an Couponzahlungszeit- dann null bedeutet, und wird bleibt Dies für genau dass enkursprozess danach führt einen die kennt, uns dort, beliepositive Überlebis zum (zukünftigen) beliebigen t ]=S 0 , von die unmittelbar dann was dass S {Swird t =0gilt. Diese t manchmal } ist ein zu der Martingal, der Modellierung daherkommen, Fall ist. zum Beispiel des insbesondere, Aktienkurses. wenn zusätzlich noch unterstellt Müller (2009) gilt für dessen rwartungswert muss wiederum ausgeglichen für Wahrscheinlichkeit für einen E[S beschrieben Überlebenswahrscheinlichkeit wird, nur eben für streitbar, zwei Jahre auch für dem praktische wird, dass der Kursverlauf der Aktie einen Einfluss auf die Ausfallwahrscheinlichkeiten Modells Driftanpassung. ist es, desdass Unternehmens die Zwecke, haben soll wie undzum um- Beispiel das Hedgen ei- Quadrat E[S t ]=S 0 , Die unabhängig Zeitpunkt Idee werden, Zeitraum insdes Modell von t einfachen > t>0. 0 eine Man jump-to-default mit fordert entsprechender ass un, dass keinen über die Zeit fallenden Erwartungswert zu . Diese gegeben diepunkten Ausfallzeit die Ausfallzeit unabhängig von der ung {W t } ist. Angenommen an Couponzahlungszeit- positive muss ist, wiederum Sprünge für Wahrscheinlichkeit unabhängig einen auf, ausgeglichen generieren. Dies 2 Modellparame- Dies welche von giltinsgesamt der Brownschen eingebaut, dass welches für „clean“ zuPreise, einemBewe- gekehrt. der einjährigen Es ist allerdings Überlebenswahrscheinlichkeit unter allen Umständen entspricht. Folglich diese kommt Effektedas komplett Unternehmen zu ignorieren und mit nicht zwei völlig mehr oder weniger wahr- Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt „dirty“ sägezahnartigen τ der Preise Zahlungsunfähigkeit weisen Kursverlauf führen. wird auf null ner Unternehmensanleihe davon abzuraten, mittels Aktien(optionen), bzw. für Anleihenkann zu er verheerende Auswir- lt Das Modell, der Prozess erreicht, indem der Drift Aktienkursreturns und rum bleibt ausgeglichen künstlich danach und werden, nach in Kwok, ie Ausfallintensität el (4), Zeit siehe fallenden unten. bezeichnet S Erwartungswert t = 0 gilt. zum punkten Diese Beispiel wirdSprünge muss 1 {Sin t } am Zeitpunkt . zuDie wiede- Tsiveriotis, Fernandes {W t } ist. Angenommen (1998) pringt auf null und bleibtspringt, der Prozess danach dort, einem{S dannBlack-Scholes-Modell t } am Zeitpunkt auf, für einen welche Negative τ belieigen in mehrerer Zeitpunkt indem der t>0 Hinsicht Drift eineso 5 insgesamt Modelleigenschaften: gleicht. unabhängigen zu einemAllerdings Modellen sägezahnartigen für Aktienoptionen ist dies Kursverlauf oben um Lau tll t aufvorgeschlagen null führen. keinen adjustiert (2004) über verwendet wird. Der zinsdiskontierte wird, ist das icht, Aktienkurs wird 4 des positive eine nicht dort, Aktienkursnm adjustiert Beispiel dass angenehme Wahrscheinlichkeit direkt dann wird zulässig, für einen ins da(a) belie- Modell der Wir haben arbeiten. Kursprung oben scheinlich schon Denn auf erwähnt, esinist Zahlungsnöte, zum Beispiel null bei dass Ausfall es davonkungen auszugehen, wennhaben. es dassdas inZum erste Beispiel Jahr hängt überlebt. der der Zeitpunkt einfachste die t>0 Zeit fallenden folglich Erwartungswert modelliert zu generieren. Dies wird erreicht, indem Drift ingebaut, als wird. zusätzlich S eine Credit-Equity-Modell positive Wahrscheinlichkeit und vielleicht inskeine Modell auch Rückkopplung deswegen Dies Regelerlaubt mit dem Zahlungsausfall vom so Verlauf es, des dieAk- tienkurses diezuBewertung auf fällt. fassen. Ignoriert Ausfallintensität von Allerdings man solche Effekte, gibt. so esignoriert auch Konversionsrecht man viele fundamen- Kritikpunkte in Aktien an der überhaupt Verwen- Exponentialverteilung eines Unternehmens der Aktienkurs Aktienkurses massiv einbricht, imwenn Black- nicht sogar 5 praktisch auf null Preis einer Unternehmensanleihe „stückweise“ ohne aufzu- t =0gilt. Derdie zinsdiskontierte eine Diese notwendige kontinuierlieichnet erden, etwas dass um S muss wiederum Martingaleigenschaft ausgeglichen des baut, delliert als diekeinen wie t =0gilt. „Marktstandard“, des Zero überDiese Aktienkursreturns Ratedie fürZeit muss den S t = S künstlich 0 e (λ− fallenden wiederum vornehmlich Zeitraum Erwartungswert ausgeglichen für Scholes-Modell 1 zerstört. 2 σ2 nach ) t+σW enerieren. Dies wird erreicht, indem der Driftoben des t Um dies zu erläutern sei aus der klassischen Der zinsdiskontierte Finanzmarkttheorie Aktien- in Erinnerung Unternehmens, gerufen, welche dass dieder Grundlage zins- für jegliche Form von Ka- n, umWandelanleihen. keinen über dieLeider Zeit fallenden werden Erwartungswert in diesem 1 Aktienkurseturns {τ>t} Modell Ganz , zu konkret tale tdie ≥ 0. Aktien- bedeutet Zusammenhänge und dies, dass zwischen zum Beispiel soein dass stark den viele sinkender sinnvoll derVerlauf sein, des anzunehmen, Aktimit ein dass sogenanntes ein Unternehmen Aktien-Delta von auf null! Eigen- und Die Exponentialverteilung hat sehr schöne, dung der Exponentialverteilung. nicht Fremdkapital vom Erstens Aktienkurswert eineskann es ab unter und Umstän- hat da- adjustiert wird. ieren. rechtfertigt σ 2 Credit-Komponenten künstlich Dies wird ) t+σW t durch nach erreicht, Formel oben mathematische (4), adjustiert indem siehe vollständig der unten. wird. Eigenschaften, Drift Der entkoppelt, des zinsdiskontierte Aktienkurssktienkurs künstlich Das allerdings pitalstrukturarbitrage bilden. kurze Sicht mit hoher Wahrscheinlichkeit ausfällt, aber dass sich kurs wird 1 {τ>t} bedeutet, wird folglich , folglich tmodelliert ≥dass 0. modelliert der alszinsdiskontierte wünschenswerten nach obenvereinfacht diskontierte adjustiertsie Eigenschaften wird. die Aktienkurs Der Realität aus zinsdiskontierte häufig unter 4 demAktienkurs enkurses zudem stark. keine für Der die vorherigenvor erhöhte vorliegende Bewertung Abschnitt dem Ausfallzeitpunkt folglich modelliert risikofreien Ausfallwahrschein- Artikel relevanten gibt eine Übersicht Der über Preis Credit-Equity- einer Wandelanleihe hängt zwar kurs verlorengehen. wird τ die stochastische Differentialgleichung sdiskontierte S t = Aktienkurs S 0 e (λ− Daher als Wahrscheinlichkeitsmaß mit sich ein Modelle bringt. sogenanntes (ohne Anspruch auf Martingal Vollständigkeit), vom undAktienkurswert diskutiert deren dieEigenschaften. Überlebenswahrscheinlichkeit Wie immer der angewandten Mathema- deutlich erhöht, wenn es das ab, jedoch nur über 1 2 σ2 ) t+σWbetrachten vor dem t wir eine leichte Erweiterung sein muss. 1 {τ>t} Mit Ausische Differentialgleichung S t = S 0 e (λ− 1 2 σ2 ) t+σW , einfachen t ≥ 0. Worten, (b) Ebenfalls der tik oben zufällige kannerwähnt im Allgemeinen Aktienkurs wurde auch bereits hier muss festgestellt die werden, implizite dass die Aktien-Call-Option, nicht dieses Modells, welche einen Kurssprung der Aktie auf Null nach in t as bedeutet, Zahlungsunfähigkeit dass der zinsdiskontierte dS dem t = Sinne 1 S {τ>t} t (λ, risikobereinigt Aktienkurs dt + t ≥σ 0. die dWvor t ), modelliert Tatsache, dass nächste dem t Ausallzeitpunkt τ die stochastische gemäßDifferentialgleichung denselben Return liefert wie müssen. risikofreie Bevor wir einzelne Anlage zum vorstellen, werden zunächst < τ, sein, die dass vom Jahr (1) Modell überleben erwartungs- impli- sollte. Solche Effekte weichen von der Modelle einen schwierigen Spagat zwischen über Realismus die Anleihekomponente. auf der Um dies zu Das bedeutet, dass der des zinsdiskontierte Unternehmens Aktienkurs t ), der der nach sich zieht. einen Exponentialverteilungsannahme Dieser und Anwendbarkeit auf der anderen Seite bewerkstelligen ab, sie können allerdings durch edeutet, dt + Zeitpunkt σerfüllt. dW dass Man t vor zinsdiskontierte < Zahlungsunfähigkeit dem kann τ, Ausfallzeitpunkt Aktienkurs zeigen, dass (1) τ des die vor dem Unternehmens Austpunkt Exponentialverteilung τ die stochastische definitionem dS t = S t mit (λ dt Differentialgleichung ineine Abschnitt wirdeinfache als 2 einige Modellerweiterung grundsätzliche Anforderungenausgemerzt diskutiert, werden, indem die Marktzins. Im Black-Scholes-Modell {S t } ein Martingal ist ist der und zinsdiskontierte per Aktienkursprozess durch S t = S 0 e −0.5 welche konstante wir für Credit-Equity-Modelle σ2 t+σW dem + definiert. σ dW Zeitpunkt t ), t Das < der τ, bedeutet, Zahlungsunfähigkeit (1) dass die Überlebenswahrscheinlichkeit {S auf t Ausfallintensität als sinnvoll λ durch erachten. eine Wir Abb. 02 Sensitivität einer beispielhaften Wandelanleihe (deterministische) Funktiont fürin> dieder Ausfallzeit 0 Zeitdes λ(t) Unternehmens ersetzt eine wird. Exponentialver- Zweitens impliziert die Annah- diskutieren innull Abschnitt gegeben, 3 das wobei denkbar einfachste Modell, welches dass springt. t } ein Martingal istbis undzum per(zukünftigen) Zeitpunkt Vor der Zahlungsunfähigkeit hat der zinsdiskontierte Aktienkurs mit dem unter Zeitpunkt tilitätsparameter dem risikoneutralen der Zahlungsunfähigkeit ist. Dieser Maß den auf zinsdiskontierte, null positiven Die Sensitivität lungsunfähigkeit Drift einer λ. unkt rfüllt. durch der MandS Zahlungsunfähigkeit kann P(τ t = Szeigen, >t)=e t (λ dt {W dass + t σ} −λt dW eine {S t auf gegeben }), Brownsche eint null Martingal < τ, ist, (1) Bewegung für ist und einen per (1) bezeichnet und σ>0 ein Volateilung Modellparame- einer unterstellt konstanten und annimmt, dass (oder allgemeiner Aktienkurs bei Zah- deterministischen) Ausfallintensität, mit . dem Die1 pringt. Man Vor kann erfüllt. derzeigen, Zahlungsunfähigkeit Man kann dass enkursprozess zeigen, {S t } ein hat dass der Martingal {Szinsdiskontierte t } ist ein ist einund Martingal, Ak- per zum Beispiel 1 dass der Modellpreis einer gewöhnlichen Anleihe efinitionem nfähigkeit . ter λ hat > der 0, welcher zinsdiskontierte als Ausfallintensität Akutralen bezeichnet wird 1 beispielhaften stochastische auf null Wandelanleihe, springt. Akti- Abschnitt berechnet 4 widmet sowohl sich mit den dem einfachen Jump-to-Default- Modell als sogenannten auch 2-Faktor Modellen, von Carr, welche Linetsky die Exponentialverteilungsannahme (2006). Die Parameter sind in beiden Modellen so gewählt, gilt für dessen tionem ienkurs ünftigen Exponentialverteilung mit unter Maß Zeitpunkt Martingal dem den Zeitpunkt risikoneutralen positiven t mit R(t), ist und der per ist Drift Zahlungsunfähigkeit Maß definitionem inso λ. mehrerer ist der den positiven mit Hinsicht Drift auf λ. null eine angenehme über dass die der aktuelle aufheben, Zeit Marktwert indem eine glatte der Wandelanleihe sie die Ausfallintensität Funktion erklärt darstellt, wird. stochastisch die Sensitivität als Funktion des sogenannten des Aktienkurses Bond Floors, definieren. also derselben Schließlich Anleihe ohne Konversionsrecht. Die gestrichelten welche Linien vom visualisieren jeweils aktuellendass Kurswert wirdieser Abschnitt im einfachenJump-to-Default-Modell bis 5 noch zum einenWert Überblick amüber Laufzeitende nicht weitere vom Mo- Aktienkurs monoton abhängt. verläuft 2 . n Zeitpunkt t. Vor Wahl. derdem Zahlungsunfähigkeit Unterstellt t gegeben Zeitpunkt man durch zume −R(t) hat der Beispiel t , so zinsdiskontierte zusätzlichAk- rs unter eine kontinuierliche ften: (a) Verzinsung Es gibt geschlossene 2 Dies der Zahlungsunfähigkeit Man sieht bieten gut, eißt gilt für „clean“ und bezeichnet Formeln Preise, die Zero für europäische „dirty“ Preise weisen Rate für den Aktienoptionen, welche im Wesentlichen aus einer leichten Erweiterung an Couponzahlungszeitpunkten der Maß Zahlungsunfähig- Sprünge den positiven auf, welche Driftinsgesamt λ. Im mit dem Zins auf null risikoneutralen und Überlebenswahrscheindes a) dellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. springt. Vor zuZeitraum Gegensatz dazu beobachten wir aber an den Finanzmärkten einem sägezahnartigen Kursverlauf ormeln EsUnternehmens gibtfür keit geschlossene europäische hat der zinsdiskontierte amFormeln Zeitpunkt Aktienoptiolichen t 180 Kursentwicklungen, welche täglichen Schwankungen unterwor- führen. für europäische Aktienkurs t > 0 Aktienoptionen, 1 Diese welche der Nomenklatur imBlack-Scholes-Formel Wesentlichen wird gerechtfertigt aus einer leichten entstehen. durch Formel Erweiterung Interessanterweise (4), siehe unten. er- (t)) diskontiert aus unter einer dem werden leichten risikoneutralen muss. Das Erweiterung Maß bedeu- eines Kurssprun- 4 den positiven Drift λ fen sind und eher „Zitterkurven“ 5 gleichen. Drittens schlägt sich 2 Anforderungen an Ein Credit-Equity-Modell muss auf der einen Seite einfach genug sein, um effiziente Bewertungsroutinen möglich zu machen, der Black-Scholes-Formel hält man nur durch entstehen. denInteressanterweise einfachen Zusatz erhält entstehen. geschlossene se el gibt Ausfallintensität man Interessanterweise Formeln . als Zinsaufschlag für europäische auf ereinfachen welche ↦→R(t) imerachtet ges auf nullZusatz Wesentlichen werden Credit-Equity Aktienoption, t Volatilitäten, welche ein negativer Verlauf des Aktienkurses nicht in einer Erhöhung 160 Modell e ges nur durch auf null bei einfachen Ausfall Zusatz bereits eines implizite Kurssprun- eines auskann. Kurssprunbereits einen starken implizite Skew Volatilitäten, bezüglich deswelche Ausübungspreises aufweiministisch) bleibt. 1 einerAußer- Black-Scholes-Formel Positive die schöne Modelleigenschaften: Bond Floor (1 d.h. um überhaupt Wandelanleihe von praktischem (1 leichten Erweiterung der Ausfallintensität 1 2 -Faktor) Interesse zu sein. Auf der einen bei starken Ausfall bereits Skew implizite bezüglich Volatilitäten, des Ausübungspreises welche anderen Seite sollte man nieder, welche ja stets konstant (bzw. deter- rlverteilung entstehen. Eigenschaft, Interessanterweise dass erlt man sen und deutlich besser zu am Markt beobachteten Options- aufwei- 2 -Faktor) aber auch so viele theoretisch wünschenswerte Eigenschaften einbauen wie eben möglich. Dieser heinlichkeit üglich sen und nur (a) desdeutlich durch Es für gibt zwei den geschlossene Ausübungspreises besser einfachen Jahre zu amdem Formeln Markt Zusatz Quadrat für aufweir zu am Markt sentlichen beobachteten aus einer leichten Options- Erweiterung Die Idee SichtParity wünschenswerte des einfachen Modelleigenschaften jump-to-default sammeln. Modells ist es, dass die beobachteten eines europäische Aktienoptionen, welche im We- Kurssprunsbenswahrscheinlichkeit auf daten null passen bei daten Ausfall alspassen dasbereits klassische als entspricht. implizite das Black-Scholes-Modell, klassische Volatilitäten, Folg- Black-Scholes-Modell, welche siehe unserer siehe 140 ganz natürliche Wandelanleihe Zielkonflikt (1-Faktor) zwischen Praktikabilität und Realismus Dies sollführt in der Bond Folge uns Floor näher unmittelbar (1-Faktor) beleuchtet werden, zu derindem Modellierung wir aus des Aktienkurses. Optionsnehmen enAbbildung starken nicht Abbildung Skew 1. mehr bezüglich 1. oderdes weniger Ausübungspreises wahrnöte, wenn es das erste Jahr überlebt. beobachteten Options- aufwein und deutlich Black-Scholes-Modell, Black-Scholes-Formel entstehen. assische der besser zu am Marktsiehe Interessanterweise 120 At-The-Money Aktie, bevor sie zum Zeitpunkt τ der Zahlungsunfähigkeit auf null b) ten Das passen Modell (b) Das als ist das sehr Modell klassische einfach erhält ist sehr zuman Black-Scholes-Modell, verstehen. nur durch einfachInsbesondere den zu verstehen. siehe kann Insbesondere springt, kann einem Black-Scholes-Modell gleicht. Allerdings ist dies xponentialverteilung die Ausfallintensität einfachen Zusatz λ „stückweise“ direkt eines alsKurssprungs Credit aufzues ach werden, auch zu verstehen. viele null welchen bei Kritikpunkte Ausfall eine Insbesondere Unternehmensanleihe bereits implizite kann Verwen- Volatilitä- zusätzlich zum Spread auf interpretiert bildung 1. die Ausfallintensität λ direkt als Credit Spread so interpretiert nicht direkt zulässig, da der Kursprung auf null bei Ausfall 100 2 werden, welchen eine Unternehmensanleihe zusätzlich die notwendige zum Martingaleigenschaft des Aktienkurses im Blackerteilung. direkt as von risikofreien Modell heute alsten, ist Erstens Credit bis sehr Zins welche zum einfach als Spread kann einen Kompensation zukünftigen es starken interpretiert verstehen. unter Skew Umstännehmen, nternehmensanleihe Ausfallintensität für Zeitpunkt bezüglich das Insbesondere Ausfallrisiko t mit R(t), kann abwirft. risikofreien Zins als Kompensation für das Ausfallrisiko so ist der Scholes-Modell abwirft. −R(t) schen t , so Finanzmarkttheorie in Erinnerung gerufen, dass der zins- zerstört. Um dies zu erläutern sei aus der klassi- des dass Ausübungspreises einλ Unternehmen direkt zusätzlich als Credit aufweisen zum Spread kurhrscheinlichkeit Für welchen und 80 Zinsdiskontfaktor für den Zeitpunkt t gegeben interpretiert durch e c) mpensation rden, deutlich die Bewertung für eine besser ausfällt, Unternehmensanleihe zu am Markt beobachteten dass insgesamt (das von Ausfallrisiko heißt Optionen aber mit dass Zins mitab- amerikanischer und sichzusätzlich Überlebenswahrscheinlichkeitbung(c) muss Zins Ausü- zum diskontierte Aktienkurs unter dem für die Bewertung relevanten Optionsdaten passen als das klassische heinlichkeit ikofreien Für deutlich man als dieletztlich Kompensation Bewertung erhöht, genauso wenn von für wiees das Optionen im das Black-Scholes-Modell eineSolche Brownsche Bewegung mit deterministischem Drift Ausfallrisiko mit amerikanischer abrft. n sollte. Black-Scholes-Modell, ein Cashflow des siehe Unternehmens Abb. 01. am Zeitpunkt 60 t risikofreien > 0 Ausü-Wahrscheinlichkeitsmabung Das Modell muss eEffekte −(λ+R(t)) ist man sehr weichen t einfach letztlich diskontiert zu von genauso verstehen. der werden wie muss. im Black-Scholes-Mo- Das bedeu- sein muss. Mit einfachen Worten, der zufällige Aktienkurs muss ein sogenanntes Martingal mit dem (b) Faktor Optionen diskretisieren. mit Dies amerikanischer kann exakt aufAusü- h genauso werden Bewertung Insbesondere die ab, sogenannte sie dieselbe Weise vollzogen annahme tet, r diedass dell eine Brownsche Bewegung mit deterministischem Drift wie wie esimimvon können kann Black-Scholes-Moewegung ität mit deterministischem Drift klassischen Optionen die allerdings Ausfallintensität Black-Scholes-Modell mit amerikanischer durch λ als Zinsaufschlag Ausü- auf getan dem Sinne risikobereinigt modelliert sein, dass er erwartungsgemäß vollzogen denselben Return liefert wie eine risikofreie Anlage zum 40 weiterung die und muss risikofreie zumman direkt Beispiel diskretisieren. ausgemerzt letztlich als Zinskurve Credit Cox genauso Spread werden, etDies al. t ↦→R(t) interpretiert (1979); wie kann indem imMüller erachtet exakt Black-Scholes-Moldem eine ben λ hat durch wird, Brownsche welchen die werden nur eine Exponentialverteilung eben eine (deterministische) Bewegung wie mit Unternehmensanleihe entsprechender es immit klassischen deterministischem die Funk- Driftanpassung. zusätz- schöne Black-Scholes-Modell Eigenschaft, Drift0 Marktzins. dass10getanIm Black-Scholes-Modell 20 30 40 ist der zinsdiskontierte 50 60 Ak- werden, die (2009) auf werden dieselbe beschrie- kann. Weise Außer- Aktie n kretisieren. etzt exakt wird. auf dieselbe Weise vollzogen die Überlebenswahrscheinlichkeit lich und Zweitens Dies zum risikofreien zum kann Beispiel impliziert exakt Zins aufals Cox dieselbe Kompensation Annah- et für al. Weise zwei (1979); Jahre vollzogen Müller dem(2009) Quadrat tienkursprozess beschriebenimAusfallrisiko wird, klassischen Überlebenswahrscheinlichkeit deterministischen) abwirft. durch S t = S 0 e −0.5 σ2 t+σW t gegeben, wobei sischen rden allgemeiner wieBlack-Scholes-Modell für das getan der einjährigen nur eben Black-Scholes-Modell mit entsprechender Aus- entspricht. getan Driftanpassung. {W Folglich zum Beispiel einer Coxgewöhnlichen et al. (1979); Müller Anleihe (2009) beschrie- a) etWir al. haben (1979); oben Müller schon(2009) erwähnt, beschrie- wird, nur eben mit Driftanpassung. dass keine Rückkopplung t } eine Brownsche Bewegung bezeichnet und σ>0 ein Volatilitätsparameter wahr- ist. Dieser zinsdiskontierte, stochastische Akti- dModellpreis vomkommt Verlaufdas des Aktienkurses Unternehmen auf nicht die Ausfallintensität mehr oder gibt. weniger te nntsprechender scheinlich entsprechender Driftanpassung. Ganz Funktion konkret in darstellt, bedeutet Zahlungsnöte, welche dies, dass vom wenn zumaktuel- ert kender amerlaubt (a) Laufzeitende Verlauf Wires, haben desdie Aktienkurses oben Exponentialverteilung monoton schon keine verläuft erwähnt, erhöhte 2 . dass Ausfallwahr- „stückweise“ es keine Rückkopplung Beispiel es daseinerste stark Jahr sin- überlebt. enkursprozess {S t } ist ein Martingal, zum Beispiel gilt für dessen ften: Dies aufzu- Wert (in %)

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