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RISIKO MANAGER 05.2017

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18 RISIKO MANAGER 05|2017 Eine Einführung Die gemeinsame Modellierung von Eigen- und Fremdkapital Um relative Bewertungsunterschiede zwischen Anleihen und Aktienoptionen desselben Unternehmens zu entdecken, benötigt man ein mathematisches Modell, in dessen Rahmen beide Finanzinstrumente bewertet werden können. Diese sogenannten Credit-Equity-Modelle gehen typischerweise über den Rahmen der klassischen Finanzmarktmodelle, wie sie etwa im Rahmen einer Standard-Finanzmathematikvorlesung an der Universität behandelt werden, hinaus. Der vorliegende Artikel gibt eine kleine Einsicht in die Grundmechanismen solcher Modelle und diskutiert mathematische Schwierigkeiten, die dabei auftreten. 1 Einleitung Das marktübliche Finanzmarktmodell für die Bewertung von Aktienoptionen ist nach wie vor das Black-Scholes-Modell, siehe Black, Scholes (1973), welches die moderne Finanzmathematik im Wesentlichen neu begründete. Weite Teile der Weiterentwicklungen des Black-Scholes-Modells setzen bei der zugrunde liegenden Normalverteilungsannahme der Aktienreturns an, welche empirisch häufig nicht bestätigt werden kann. Prominente Beispiele sind sogenannte Lévy-Modelle, siehe Barndorff-Nielsen (1998); Madan et al. (1998); Kou (2002), Modelle mit stochastischer Volatilität, siehe Heston (1993); Barndorff-Nielsen, Shephard (2001), oder sogar Kombinationen hiervon. Aus mathematischer Sicht besteht die Kernidee all dieser Modelle stets darin, den Aktienkurs eines Unternehmens exogen durch einen mehr oder weniger komplizierten stochastischen Prozess zu modellieren. Darauf aufbauend wird mithilfe der Arbitragetheorie argumentiert, um Preisformeln für Aktienoptionen abzuleiten. Im Gegensatz dazu basiert die Bewertung einer Unternehmensanleihe auf einer Diskontierung der zugrunde liegenden Cashflows – eine Bewertungstechnik, welche es schon Jahrzehnte vor dem Erscheinen des bahnbrechenden Artikels von Black und Scholes gab. Zusätzlich zur gewöhnlichen Zinsdiskontierung müssen alle Cashflows mit den Überlebenswahrscheinlichkeiten des Unternehmens diskontiert werden. Aus mathematischer Sicht bedeutet dies, dass man den zukünftigen Zeitpunkt der Zahlungsunfähigkeit des Unternehmens stochastisch modellieren muss, um aus dem Modell für diesen zufälligen Zeitpunkt die benötigten Überlebenswahrscheinlichkeiten abzuleiten. Die in vielerlei Hinsicht einfachste, aber eben auch streitbare Annahme für diese Ausfallzeit ist, eine Exponentialverteilung, also eine konstante Ausfallintensität, zu unterstellen. Wie kann man nun die Bewertung von Anleihen und Aktienoptionen desselben Unternehmens in einem gemeinsamen Modell konsistent unter einen Hut bringen? Dafür wird ein mathematisches Modell benötigt, welches sowohl den Aktienkurs als auch die Ausfallzeit des Unternehmens erklärt, ein sogenanntes Credit-Equity-Modell. Es ist wenig überraschend, dass diese Modelle manchmal in einem mathematisch sehr aufwendigen Gewand daherkommen, insbesondere, wenn zusätzlich noch unterstellt wird, dass der Kursverlauf der Aktie einen Einfluss auf die Ausfallwahrscheinlichkeiten des Unternehmens haben soll und umgekehrt. Es ist allerdings unter allen Umständen davon abzuraten, diese Effekte komplett zu ignorieren und mit zwei völlig unabhängigen Modellen für Aktienoptionen bzw. für Anleihen zu arbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon auszugehen, dass in der Regel mit dem Zahlungsausfall eines Unternehmens der Aktienkurs massiv einbricht, wenn nicht sogar praktisch auf null fällt. Ignoriert man solche Effekte, so ignoriert man fundamentale Zusammenhänge zwischen Eigen- und Fremdkapital eines Unternehmens, welche die Grundlage für jegliche Form von Kapitalstrukturarbitrage bilden. Der vorliegende

Wünschenswerte theoretische Modelleigenschaften: (a) Wenn die Zahlungsunfähigkeit eines Unternehmens eingetreten ist, kann der Aktienkurs in der Regel technisch bedingt keinen anderen Wert als null annehmen. Wenn sich die Zahlungsunfähigkeit eines Unternehmens abzeichnet, aber noch nicht formell eingetreten ist, wird der Aktienskurs stark einbrechen. Marktrisiko fallwahrscheinlichkeiten des Unternehmens haben soll und umgekehrt. Es ist allerdings unter allen Umständen davon abzuraten, diese Effekte komplett zu ignorieren und mit zwei völlig unabhängigen Modellen für Aktienoptionen bzw. für Anleihen zu arbeiten. Denn es ist zum Beispiel davon auszugehen, dass in der Regel mit dem Zahlungsausfall eines Unternehmens der Aktienkurs massiv einbricht, wenn nicht sogar praktisch auf null Artikel fällt. gibt Ignoriert eine Übersicht man solche über Credit-Equity-Modelltale Zusammenhänge (ohne Anspruch zwischen auf Eigen- unten tendiert, und Fremdkapital dann sollte die Wahrschein- eines Effekte, (b) so Wenn ignoriert der Aktienkurs man fundamen- deutlich nach Vollständigkeit) Unternehmens, und diskutiert welche deren die Eigenschaftenpitalstrukturarbitrage Wie immer in der angewandten bilden. Zahlungsausfall des Unternehmens deut- Grundlage lichkeit für jegliche einen in Kürze Formbevorstehenden von Ka- Mathematik Der vorliegende kann im Allgemeinen Artikel gibt auch einelich Übersicht ansteigen. über Umgekehrt Credit-Equity- sollte diese hier festgestellt werden, dass die Modelle Wahrscheinlichkeit sinken, wenn der Aktienkurs deutlich steigt. Dieser Eigenschaft Modelle (ohne Anspruch auf Vollständigkeit), und diskutiert deren Eigenschaften. Wie immer in der angewandten Mathema- einen schwierigen Spagat zwischen Realismus auf der einen und Anwendbarkeit auf liegt die Idee zugrunde, dass der Aktienkurs festgestellt ein guter Indikator werden, für dass die finanzielle die der anderen tik kann Seite imbewerkstelligen Allgemeinen müssen. auch hier Bevor wir Modelle einzelne einen Modelle schwierigen vorstellen, werden zunächst einen und in Abschnitt Anwendbarkeit 2 einige grund- auf dermuss anderen diese Seite Annahme bewerkstelligen nicht immer zutref- Spagat Stärke zwischen des Unternehmens Realismus ist. auf Selbstredend der sätzliche müssen. Anforderungen Bevor diskutiert, wir einzelne welche Modelle fen. vorstellen, Man denke zum werden Beispiel zunächst an das Szenario eines Anforderungen Leveraged Buyouts, diskutiert, in dem die wir für inCredit-Equity-Modelle Abschnitt 2 einige als grundsätzliche sinnvoll erachten. Wir diskutieren in Abschnitt 3 das welche wir für Credit-Equity-Modelle Ausfallwahrscheinlichkeit als sinnvoll erachten. durch Wir den erhöhten Fremdkapitalbedarf erheblich an- denkbar einfachste Modell, welches für die diskutieren in Abschnitt 3 das denkbar einfachste Modell, welches für die Ausfallzeit des Unternehmens eine Exponentialverteilunsteigen kann und dennoch die Erwartungen der Aktionäre, unterstellt Ausfallzeit und annimmt, des Unternehmens eine Exponentialverteilung Aktienkurs unterstellt bei Zahlungsunfähig- und annimmt, Aktienkurs, dass der positive Aktienkurs Tendenzen bei Zah- aufweisen und damit auch der dass der keit auf lungsunfähigkeit null springt. Abschnitt auf null 4 widmet springt. können. Abschnitt Ein ebenfalls 4 widmet prominentes sich den Beispiel ist der simultane Anstieg der Credit sich den sogenannten 1 1 2 -Faktor Modellen, welche teilungsannahme die Exponentialverteilungsan- aufheben, indem Default sie die Swap Ausfallintensität Spreads und des Aktienkur- sto- Modellen, welche die Exponentialvernahmchastisch aufheben, indem als Funktion sie die Ausfallintensität stochastisch als Funktion des Akti- Zuckerman (2005). In „normalen“ Szena- des Aktienkurses von General definieren. Motors im Schließlich Mai 2005, siehe bieten wir in Abschnitt 5 noch einen Überblick über weitere Modellierungsansätze, Abschnitt 6 fasst zusammen. enkurses definieren. Schließlich bieten wir rien allerdings ist diese Annahme mehr als in Abschnitt 5 noch einen Überblick über realistisch und äußerst wünschenswert. weitere Modellierungsansätze, Abschnitt 6 (c) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der fasst zusammen. Aktienreturns sollte möglichst viele der Eigenschaften aufweisen, welche in unzähligen der empirischen einen Seite Arbeiten einfach erforscht ge-wur- Equity-Modell den, wie etwa Heavy Tailedness und Skew- gen an ein 2 Anforderungen Ein Credit-Equity-Modell an ein muss auf uity Modell nug sein, um effiziente Bewertungsroutinen möglich zu machen, d.h. um überhaupt von praktischem Interesse zu sein. Auf der Ein Credit-Equity-Modell muss auf der einen anderen Seite sollte man aber auch so viele theoretisch wünschenswerte möglich Eigenschaften zu machen, d. h. einbauen wie eben möglich. Dieser Seite einfach genug sein, um effiziente Bewertungsroutinen Abb. 01 Implizite Volatilitäten für europäische Puts/Calls mit einjähriger um überhaupt ganz natürliche von praktischem Zielkonflikt Interesse zu zwischen Praktikabilität Laufzeit im und einfachen Realismus der soll anderen in der Seite Folge sollte man näher aber beleuchtet werden, und Parametern indem wir ʎ = 0.1, ausσ = 0.4 Jump-to-Default-Modell, mit Aktienkurs S 0 = 10 sein. Auf auch so unserer viele theoretisch Sicht wünschenswerte Modelleigenschaften sammeln. Eigenschaften einbauen wie eben möglich. Dieser ganz natürliche Zielkonflikt zwischen Praktikabilität und Realismus soll in der Folge näher beleuchtet werden, indem wir aus unserer Sicht wünschenswerte Modelleigenschaften sammeln. 2 ness. Auf der anderen Seite gibt es je nach Anwendung notwendige Eigenschaften, welche das Modell in jedem Fall erfüllen muss, um überhaupt von praktischem Interesse zu sein. Unabdingbare Modelleigenschaften, die die technische Umsetzung ermöglichen: (a) Mit dem Modell sollen letztlich Unternehmensanleihen sowie Aktienoptionen bewertet werden. Beides muss also effizient möglich sein. Dies wird zusätzlich durch die Tatsache erschwert, dass marktübliche Put-Optionen, aber auch Anleihen im High-Yield-Sektor sowie Wandelanleihen im Allgemeinen, amerikanische Ausübungsoptionen enthalten. Das bedeutet, dass die Laufzeit des jeweiligen Instruments zufällig ist und vom Halter (oder vom Emittenten) selbst bestimmt werden kann. Sie ist damit abhängig in etwa vom Kursverlauf der Aktie. Finanzprodukte mit solchen amerikanischen Optionen werden in aller Regel durch numerische Methoden bewertet, welche im Wesentlichen auf einer Approximation des typischerweise stetigen Aktienkurses durch einen einfacheren, diskreten stochastischen Prozess basieren. Zum Beispiel kann man amerika- 19

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