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RISIKO MANAGER 03.2019

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8 RISIKO MANAGER 03|2019 Aufschluss darüber, ob niedrige oder hohe Futures-Märkte tendeziell mehr oder weniger turbulent und volatil sind. Schließlich verrät der „Volatilität-der-Varianz”-Parameter σ etwas über die Wahrscheinlichkeiten extremer Bewegungen am Markt. Calendar-Spread-Optionen Calendar-Spread-Optionen sind an Futures- Märkten beliebte Optionen, deren Auszahlung auf der Differenz zweier Futures-Preise F(T, T m1 ) und F(T, T m2 ) zum Zeitpunkt T beruht. Ein Calendar Spread Call zahlt max (F(T, T m1 ) − F(T, T m2 ) − K, 0) aus, und ein Calendar Spread Put max (K − (F(T, T m1 ) − F(T, T m2 )), 0). Die Formel von Margrabe [Margrabe 1978] gibt den exakten Wert einer Calendar- Spread-Option in Fall K = 0 an, unter der Annahme, dass die beiden Futures-Preise jeweils wie im Black-Modell log-normal verteilt sind und mit einem Parameter ρ korreliert sind. Die Formeln von Kirk [Kirk 1995] und Bjerksund und Stensland [Bjerksund and Stensland 2011] verallgemeinern die Formel von Margrabe für beliebiges K durch Annäherungen, die beide im Fall K = 0 wieder exakt sind und mit der Formel von Margrabe übereinstimmen. Tab. 01 zeigt Call Spread Optionspreise, die mit der Margrabe-Formel für verschiedene Werte von σ 2 (der Volatilität des zweiten Futures) und ρ (dem Korrelationsparameter) berechnet wurden. Wie man schnell erkennt, hat ρ einen großen Einfluss auf den Preis und kann ihn um den Faktor drei oder vier schwanken lassen. Abb. 04 1,0100 1,0000 0,9900 0,9800 0,9700 0,9600 0,9500 0,9400 0,9300 0,9200 0,9100 0,9000 CLc1 CLc2 Korrelation mit CLc1 CLc3 CLc4 CLc5 CLc6 CLc7 CLc8 CLc1 Correlations CLc9 CLc10 CLc11 CLc12 CLc13 CLc14 CLc15 CLc16 CLc17 CLc18 CLc19 CLc20 CLc21 CLc22 CLc23 CLc24 Die Zeitreihen CLc1, CLc2, ..., CLc24 wurden für die Zeitspanne vom 10. Mai 2007 bis zum 12. Februar 2019 mit Thomson Reuters Eikon heruntergeladen. Danach wurden die Korrelationen dieser Zeitreihen, über die gesamte, fast zwölfjährige Zeitspanne, in Excel berechnet. Die Ergebnisse sind verblüffend glatt und sehen aus, als ob sie von einem Modell erzeugt worden wären! Abb. 04 zeigt die Korrelation des CLc1 Kontrakts mit den CLc2, ..., CLc24 Kontrakten. Man kann hier eine erste Art „Samuelson-Effekt” für die Korrelation sehen: Je weiter auseinander die Fälligkeiten der beiden Kontrakte liegen, desto geringer ist die Korrelation. Abb. 05 zeigt die „Calendar Spread”- Korrelationen für einen Zeitabstand von sechs Monaten in den Terminen der beiden Futures: der erste Wert ist die Korrelation zwischen CLc1 und CLc7, der zweite Wert die Korrelation zwischen CLc2 und CLc8, usw., bis hin zur Korrelation zwischen CLc18 und CLc24. Man kann hier eine zweite Art „Samuelson-Effekt” für die Korrelation sehen: Je später die Fälligkeiten der beiden Kontrakte liegen, desto größer ist die Korrelation. Korrelations-Risiko

Marktrisiko 9 Abb. 05 Sechs-Monats-Korrelationen Literatur 1,0000 0,9980 0,9960 0,9940 0,9920 0,9900 0,9880 0,9860 0,9840 CLc7 CLc1 CLc8 CLc2 CLc9 CLc10 CLc11 CLc12 CLc13 CLc14 CLc15 CLc16 CLc17 CLc18 CLc3 CLc4 CLc5 CLc6 CLc7 CLc8 CLc9 CLc10 CLc11 CLc12 6 month Correlations CLc19 CLc13 CLc20 CLc21 CLc22 CLc14 CLc15 CLc16 CLc23 CLc24 CLc17 CLc18 Petter Bjerksund und Gunnar Stensland. Closed form spread option valuation. Quantitative Finance, iFirst:1–10, 2011. Fisher Black. The pricing of commodity contracts. Journal of Financial Economics, 3(1-2):167–179, March 1976. CBOE. CBOE introduces new crude oil volatility index (OVX), 2008. Chicago, July 14, 2008. Les Clewlow und Chris Strickland. Valuing energy options in a one factor model fitted to forward prices. Working Paper, 30 pages, April 1999a. Les Clewlow und Chris Strickland. A multi-factor model for energy derivatives. Working Paper, 20 pages, August 1999b. Diese beiden Korrelations-Effekte werden im Artikel [Schneider and Tavin 2018] über einen anderen Weg, nämlich über Calendar-Spread-Optionspreise am Markt und die implizite Copula-Funktion im kalibrierten Modell, nachgewiesen. Die obigen empirischen Ergebnisse bestätigen diese Effekte aber ganz klar. In einem Multi-Faktor-Modell mit stochastischer Varianz ist auch die Korrelation zwischen zwei Futures mit verschiedenen Terminen wieder stochastisch, da sie als Funktion der Futures-Varianzen ausgedrückt werden kann. Im Modell kann diese Korrelation nun wiederum simuliert werden und für Risiko-Analysen korrelations-abhängiger Produkte verwendet werden. Autor Lorenz Schneider hat als quantitativer Analyst für Rohstoff- und hybride Derivate bei einer Investment Bank in der Londoner City gearbeitet. Seit 2009 hat er eine Professur für Finanzmathematik an der Emlyon Business School in Lyon, Frankreich. Steven Heston. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 6(2):327–343, 1993. E. Kirk. Correlations in the energy markets. Managing Energy Price Risk, pages 71–78, 1995. William Margrabe. The value of an option to exchange one asset for another. Journal of Finance, 33 (1):177–186, March 1978. Andrea Roncoroni, Gianluca Fusai, und Mark Cummins. Handbook of Multi-Commodity Markets and Products: Structuring, Trading and Risk Management. Wiley Finance Series. Wiley, 2015. Paul A. Samuelson. Proof that properly anticipated prices fluctuate randomly. Industrial Management Review, 6(2):41–49, Spring 1965. Lorenz Schneider und Bertrand Tavin. From the Samuelson volatility effect to a Samuelson correlation effect: An analysis of crude oil calendar spread options. Journal of Banking and Finance, 95:185–202, October 2018. Fazit Neben den Marktpreisen von Futures an Rohstoffmärkten schwanken auch implizite Parameter wie Volatilität oder Korrelation mit der Zeit. Diese Parameter können die Preise von europäischen, amerikanischen oder sogenannten Calendar-Spread-Optionen stark beeinflussen. Ein für den Markt geeignetes Modell sollte daher komplex genug sein, um diese stochastischen Faktoren mit abzubilden. Ist der Markt hinreichend aktiv, dann können die Modellparameter im risiko-neutralen Maß an Derivaten kalibriert werden oder im physischen Maß anhand von historischen Zeitreihen geschätzt werden. Der Einsatz eines solchen Modells ist ein unverzichtbarer Teil erfolgreichen Risikomanagements. Die immer weitere Verbreitung von Volatilitäts-Indizes – seit einigen Jahren auch im Ölmarkt – erleichtert diese Aufgabe ungemein und führt darüber hinaus zu wesentlich robusteren Ergebnissen.

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