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RISIKO MANAGER 03.2019

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6 RISIKO MANAGER 03|2019 wo B eine Brownsche Bewegung unter Q ist. Die ursprüngliche Futures-Kurve zur Zeit t = 0 wird direkt durch den Markt vorgegeben. Die Volatilität σ hängt vom Termin T m des gegebenen Futures ab; für diesen Future ist die Volatilität dann konstant, sie ändert sich nicht mit der Zeit t. Clewlow und Strickland verallgemeinern das Modell von Black, um den Samuelson- Volatilitäts-Effekt eines Futures beschreiben zu konnen. Ihr Modell [Clewlow and Strickland 1999a] beschreibt die stochastische Entwicklung der Futures-Kurve unter Q als Abb. 02 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 Oil Volatility Index (OVX) Gleichung 02 0,00 10.05.07 10.08.07 10.11.07 10.02.08 10.05.08 10.08.08 10.11.08 10.02.09 10.05.09 10.08.09 10.11.09 10.02.10 10.05.10 10.08.10 10.11.10 10.02.11 10.05.11 10.08.11 10.11.11 10.02.12 10.05.12 10.08.12 10.11.12 10.02.13 10.05.13 10.08.13 10.11.13 10.02.14 10.05.14 10.08.14 10.11.14 10.02.15 10.05.15 10.08.15 10.11.15 10.02.16 10.05.16 10.08.16 10.11.16 10.02.17 10.05.17 10.08.17 10.11.17 10.02.18 10.05.18 10.08.18 10.11.18 Oil Volatility Index (OVX) mit λ, σ > 0. In einem weiteren Artikel [Clewlow and Strickland 1999b] stellen sie eine multi-faktorielle Version dieses Modells vor. Schneider und Tavin verallgemeinern das Modell von Clewlow und Strickland, indem sie die Varianz σ² einem CIR-Prozess v(t) wie in Hestons Modell [Heston 1993] folgen lassen. Im risiko-neutralen Maß Q wird das Modell [Schneider and Tavin 2018] durch die beiden stochastischen Differentialgleichungen Gleichung 03 Volatilitäts-Risiko Wie im vorhergehenden Abschnitt beschrieben, kann man ein Modell im risiko-neutralen Maß Q an am Markt beobachteten Optionspreisen kalibrieren. Alternativ dazu kann man das Modell im physischen Maß P aufsetzen, zeitlich diskretisieren und dann die Modellparameter an historischen Zeitreihen schätzen, z. B. mithilfe eines Kalman-Filters. In der Regel hat dann der Futures-Preisprozess einen nicht-verschwindenden Drift-Term, und man kann das Modell benutzen, um Preise vorherzusagen. Auch können mit dem Modell zukünftige Markt-Szenarien simuliert werden und für das Risikomanagement eingesetzt werden. Die Preise von Optionen auf Futures hängen bekanntermaßen stark von der Markt-Volatilität ab. Im Modell kann, für einen gegebenen Zeithorizont, die Dichtefunktion der Varianz berechnet und wiederum für Risiko-Analysen verwendet werden. Im Modell von Schneider und Tavin gibt der geschätzte Korrelations-Parameter ρ Tab. 01 Calendar Spread Optionen Gleichung 04 dυ(t) = κ(θ-υ(t)) dt + σ√υ(t)dB2(t), υ(o) = υ 0 beschrieben. Die Korrelation der beiden Brownschen Bewegungen ist durch den Parameter ρ gegeben. Durch die stochastische Volatilität kann das Modell an den verschiedenen Volatility Smiles im Markt kalibriert werden. Abb. 03 zeigt drei Optionsmärkte vom 10. Dezember 2008, 9. März 2011 und 9. April 2014, und eine jeweils an diesen Märkten kalibrierte 2-Faktor-Version des Modells. ρ σ2 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.90 8,21 5,27 4,46 6,61 9,95 13,61 17,36 21,14 0.60 8,90 7,97 8,90 11,25 14,31 17,69 21,23 24,82 0.30 9,54 9,95 11,76 14,44 17,58 20,96 24,44 27,96 0.00 10,14 11,59 14,03 17,03 20,31 23,74 27,23 30,74 -0.30 10,71 13,02 15,97 19,25 22,69 26,20 29,72 33,24 -0.60 11,25 14,31 17,69 21,23 24,82 28,41 31,99 35,52 -0.90 11,76 15,48 19,25 23,02 26,76 30,44 34,07 37,62 Tabelle 1: Preis einer Calendar Spread Call Option: F1 = F2 = 100, K = 0, T = 1, r = 0, σ1 = 0,25

Marktrisiko 7 Abb. 03 Vergleich impliziter Volatilitäten von am Markt gehandelten WTI-Optionen und von einem kalibrierten 2-Faktor-Modell mit stochastischer Varianz. (Linke Spalte: implizite Volatilitäts-"smiles". Rechte Spalte: "At the money" implizite "term structure" der Volatilität) 1 WTI 2008 1 WTI 2008 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 30 40 50 60 70 K 80 90 100 110 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 T 3 3.5 4 4.5 5 WTI 2011 WTI 2011 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 60 80 100 120 K 140 160 180 0.1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 T 3 3.5 4 4.5 5 0.45 WTI 2011 0.45 WTI 2011 0.4 0.4 0.35 0.35 0.3 0.3 0.25 0.25 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.05 40 60 80 100 K 120 140 160 0.05 0 0.5 1 1.5 2 2.5 T 3 3.5 4 4.5 5

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