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RISIKO MANAGER 02.2019

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26 RISIKO MANAGER 02|2019 Klassiker des Risiko Managements F.Y. Edgeworth: The Mathematical Theory of Banking (1888) Francis Y. Edgeworth (1845 - 1926) war ein anglo-irischer Ökonom, Mathematiker und Philosoph. Er war Professor am King's College London sowie der Oxford University und erster Editor der Zeitschrift The Economic Journal. In seinem Artikel [Edgeworth 1888], erschienen im Journal of the Royal Statistical Society, plädiert er für den Einsatz von statistischen Methoden im Bankwesen und präsentiert eine Idee, die wir heute als den Value-at-Risk kennen. Neben der historischen Relevanz seines Beitrags besticht dieser durch seine an Parabeln reiche Sprache, die es lohnenswert macht, den Artikel gut 140 Jahre nach seiner Veröffentlichung wieder zu entdecken. “Probability is the foundation of banking.” Edgeworth kommt ohne Umschweife auf den Punkt: “Probability is the foundation of banking.” Diese, für seine Zeit sicherlich sehr ungewöhnliche Aussage, begründet er wie folgt: “The solvency and profits of the banker depend upon the probability that he will not be called upon to meet at once more than a certain amount of his liabilities.” Das Bankwesen im 19ten Jahrhundert wird also darauf reduziert, dass die Forderungen der Gläubiger zu jedem Zeitpunkt erfüllt werden können. Doch wie soll diese Bedingung modelliert wer- den? Dafür schlägt er den Einsatz von statistischen Methoden vor: “… when any quantity fluctuates subject to the influence of numerous independent agencies, the different values assumed from time to time by that variable quantity occur with a respective frequency which is indicated by a well known mathematical formula, or curve. I need not detail the observations of a Quetelet or Galton.” Die gut bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung, auf die er sich bezieht, ist natürlich die Normalverteilung. Doch er möchte sich nicht darauf verlassen, dass diese allen Lesern bekannt ist. Daher erläutert er folgendes Experiment: “Take (as I have taken) fifty digits from the pages of some mathematical table: for instance the penultimate digits of fifty successive logarithms. Add together these fifty items. The aggregate will obey the law of error. That is to say, if we go on taking digits by fifties and adding them together, the various aggregates thus formed will cluster about their mean value 225, in a manner which closely conforms to the law.“ Auf diese Weise illustriert, wendet er nun dasselbe Prinzip auf das Bankwesen an: “Similarly the law of error may be predicated of the variables with which the banker is concerned, so far as their quantity depends upon a variety of agencies, the fortunes and actions of a heterogeneous public.” und diskutiert dann länger verschiedene Situationen, wo es nicht passend ist. Retrospektiv sehr prophetisch ist seine Warnung: “The rules of chance apply to the ‘many-dimpled’ undulations of commercial fair weather, rather than to the solitary earthquake wave of a great crisis.” Statistische Analyse von umlaufenden Banknoten Edgeworth belässt es nicht bei theoretischen Überlegungen, er wendet sich einem konkreten Datensatz zu: “In fine I have verified the existence of the law where it was most to be expected, namely in the case of notes in the hands of the public. I take a series of returns of Bank of England notes in the hands of the public for a period which does not present much secular variation, such as 1826-44.” Diesen Datensatz übersetzt er in ein Histogramm: “The accompanying diagram represents the

27 Bankwesen als Glücksspiel siehe [Edgeworth (1888), Seite 120] […] each player receives a disposable fund of 100 counters, part of which he may invest in securities not immediately realisable, bearing say 5 cent. per ten minutes; another portion of the 100 may be held at call, bearing interest at 2 per cent. per ten minutes; the remainder is kept in the hands of the player as a reserve against certain liabilities. The demand which he has to meet is thus regulated. From time to time, say every two minutes, there are taken a certain number, say 22, digits at random from the pages of some mathematical or statistical tables [Anmerkung: Hier wird das Benfordsche Gesetz ignoriert]. The sum of these digits constitutes the demand which the player has to meet. We need not consider the provision which is made to meet the average amount (99) of this demand. The special object of the reserve above mentioned is to provide against demands which exceed that average. If the player can meet this excess of demand with his funds in hand, well; but if not he must call in part, or all, of the sum placed at call, incurring a forfeit of 10-per cent. on the amount called in. But if the demand is so great that he cannot even thus meet it, then he incurs an enormous forfeit, say 100l. or 1,000l. After each transaction the sum which each player may have paid is returned to him, so that he starts fresh as it were every two minutes. He is not allowed, let us suppose for simplicity, to add any of the interest won to the disposable fund of a 100, nor is compound interest permitted. The player who wins most interest wins the game […]. grouping of 173 such returns […]” und erläutert dabei sehr genau, wie er mit den Daten umgegangen ist. Dabei untersucht er, wie gut sich sein Datensatz mittels der Normalverteilung beschreiben lässt und nutzt dabei ein Verfahren, das nahe an der heutigen Version eines QQ- Plots ist. Nun besitzt er also ein statistisches Modell. Doch wofür kann dieses Modell im Bankwesen eingesetzt werden? Um dies zu erläutern, konstruiert er ein Spiel, das ihm als Parabel dient. Die Anleitung für dieses Spiel ist in obiger Infobox wiedergegeben. Anwendung des Modells: Der Value-at-Risk Nun soll das statistische Modell auf eine konkrete Fragestellung angewendet werden. Der historische Hintergrund dabei ist der Bank Charter Act von 1844. Dieses Gesetz bestimmt, dass nur die Bank of England neue Banknoten ausgeben darf. Die verbleibenden Privatbanken müssen im Fall einer Übernahme ihre bestehenden Banknoten zurückziehen. Gleichzeitig müssen neue Banknoten zu 100 Prozent mit Gold oder bis zu 14 Millionen Pfund an Staatsschulden unterlegt werden. Edgeworth betrachtet die Frage: “[…] what was the probability in 1844 that the notes in the bands of the public would not in the proximate future fall below 14,000,000l.; that is 15,500,000l. according to the reckoning employed in the returns up to 1844; for before that epoch there was included, what was afterwards excluded, a sum of 1,500,000l., made up of lost notes and bank post bills.” Basierend auf seiner angepassten Normalverteilung beantwortet er diese Frage mit: “the odds against a proximate return of Notes Out being below 15,000,000l. (according to the old reckoning) were less than 100 to 1”, eine Wahrscheinlichkeit, die er illustriert mit “the odds against the first man we meet in the street being 5 feet 2 inches”. Dann macht er die aus historischer Sicht interessante Beobachtung, eventuell die erste Nennung eines Value-at-Risk: “If a probability of the order 1 in 1,000 should appear to practical sagacity a sounder basis, then the limit 12,500,000l. would have been nearer the mark.” Sehr schön ist auch zu lesen, wie kritisch er die getroffenen Modellannahmen hinterfragt. So stellt er die Normalverteilungshypothese infrage, da durch Herdenverhalten im Fall einer öffentlichen Panik “the panic-stricken public acting, not ‘independently,‘ but like sheep“, die Unabhängigkeit der handelnden Menschen verletzt wird. Auch macht er die (später u. a. von Popper, Kahneman, Tversky und Taleb ausgearbeitete) Beobachtung, dass Ereignisse, die nicht in historischen Daten vorkommen, als solche für sehr unwahrscheinlich gehalten werden: “It appears to have been assumed by the men of 1844, that because the notes in the hands of the public has never sunk below 14,000,000l. – for so the facts may be summarily stated – therefore they would be unlikely in the future to sink below that limit.” Auch in diesem Punkt war Edgeworth seiner Zeit weit voraus. Quellen Edgeworth, F.Y. (1888). The Mathematical Theory of Banking. Journal of Royal Statistical Society, (51), 113-127. Hicks, J. (1983). Francis Ysidro Edgeworth. Hermathena, (135), 157-174. Autor Prof. Dr. Matthias Scherer (Technische Universität München). Er forscht auf dem Gebiet der Finanz- und Versicherungsmathematik sowie der Statistik und Stochastik und engagiert sich in vielfältiger Weise für den Austausch von Praxis und Wissenschaft.

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